1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 141 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 与 B 的秩( )（A）必有一个为零（B）均小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）均等于 n2 设有向量组 1=(1，1，2，4)， 2=(0，3，1， 2)， 3=(3，0，7，14)，4=(1， 2， 2，0) ， 5=(2，1，5，10) 则该向量组的极大无关组是( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 53 设 1=(a1，a 2，a 3)T， 2=(
2、b1，b 2，b 3)T， 3=(c1， c2，c 3)T则 3 条平面直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)=秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关，而 1， 2 线性无关二、填空题4 5 设 A= ，B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_6 设矩阵 B= ，已知矩阵 A 相似于 B，则秩 (A2E)与秩(A E)之和等于_7 若向量组 1=(1，1，) T，
3、 2=(1， ，1) T， 3=(，1，1) T 线性相关，则=_8 设 1， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，x 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1x1x1T 有两个特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设行列式 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13 整除，不计算行列式 D，试证明 D 能被 13 整除10 设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= ，求 B10 设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB11 证明：AE 为可逆矩阵；12 当 B= 时，求 A13 已知 3 阶方阵 A=(ai
4、j)33 的第 1 行元素为：a 11=1，a 12=2，a 13=1(A *)T其中 A*为 A 的伴随矩阵求矩阵 A14 设向量组() ： 1， 2， ， r 线性无关，且()可由()： 1， 2， s 线性表示证明：在() 中至少存在一个向量 j，使得向量组 j， 2， r 线性无关15 若齐次线性方程组 Ax=0 的解都是齐次线性方程组 Bx=0 的解，则有 r(A)r(B)15 已知 1=(1，0，2，3) ， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8)，=(1，1，b+3，5)16 a、b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3， 4
5、 的线性组合 ?17 a、b 为何值时， 可表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?并写出该表示式18 设矩阵 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是r(A)=r(A B)19 设 1， 2， ， k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1， 2， k 为其前 k 列19 设矩阵 A= 与矩阵 B= 相似20 求 a，b 的值；21 求一个可逆矩阵 P，使 P1 AP=B22 设 A= ，问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵23 设矩阵 A= ，B
6、=P 1 A*P，求 B+2E 的特征值和特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵24 求一个正交变换，化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x324x 1x2+4x1x38x 2x3 成标准形25 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1、 n 的特征向量，记 f(X)=X TAXX TX，X Rn， X0 证明： 1f(X)n，maxf(X)= n=f(Xn)，minf(X)= 1=f(X1)25 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：26 存在实数 c，使对一切 xRn，有|x TAx|cxTx27
7、必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 141 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AO，BO，故 r(A)1，r(B)1又 AB=O r(A)n，否则 r(A)=n，则 A 可逆，有 A1 AB=O，即 B=O，这与 BO 矛盾，故必有 r(A)n，同理有 r(B)n，故只有 B 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由下列矩阵的初等行变换：A= 1T 5T知1， 2， 4 是一个极大无关组或用排除法：因 3=31+2 5=21+2，故A、C、D 组都是线性
8、相关的，因而只有 B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 题设 3 条直线交于一点 联立线性方程组 x1+y2+3=0 有唯一解(x，y) T由该非齐次线性方程组有唯一解 (1， 2)=r(1， 2， 3)=2 1， 2 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关，即知 D 正确注意 C 中的条件只保证了方程组有解，但不能保证解是唯一的，故 C 不对【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 a n+(1) n+1+bn【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 -3【试题解析】 在条件下必有|A|=0(否则|A|0，则 A 可逆，用 A1 左乘 AB=O 两端，得 B=
9、O，这与 BO 矛盾) ， t=3【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 4【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=B， P1 (A2E)P=P1 AP2E=B2E ，即 A2E 与 B2E 相似，故有 r(A2E)=r(B2E)同理得 r(AE)=r(B E) 故 r(A2E)+r(AE)=3+1=4【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 1 或2【试题解析】 由行列式| 1 2 3|=( 1) 2(+2)=0， =1 或 =2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 0， 2【试题解析】 Bx 1=Ax1 1x1(x1Tx1)=1x1 1x1=0=0x1，设 x2 是 A 属
10、于 2 的特征向量，则 Bx2=Ax2 1x1(x1Tx2)=Ax2 1x10=Ax2=2x2，故 B 有特征值 0 和 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 将 D 的第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第 4 列，则所得行列式第 4 列每个元素都有公因子 13【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B=(A 2E)1 A【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由 ABBA=O， (AE)B(A E)=E ， (AE)(BE)=E，即知 AE 可逆；【知识模块】 线性
11、代数12 【正确答案】 A=E+(B+E) 1 (或 A=B(BE) 1 )【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由(A *)T 知A11=7，A 12=5，A 13=4， |A|=a11A11+a12A12+a13A13=1，又由AA*=|A|E=E， A=(A *)1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 用反证法否则对()中每个向量 j，向量组 j， 2， r 都线性相关 j 可由 2， r 线性表出 ()可由 2， r 线性表出 ()可由2， ， r 线性表出 1 可由 2， r 线性表出，这与()线性无关矛盾【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 设方程组 Ax=0 及 Bx
12、=0 都是 n 元方程组，则由题设条件有nr(A)nr(B)，所以有 r(A)r(B)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 a=1 且 b0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 当 a1 时， 可由 1， 2， 3， 4 唯一地线性表示为：=3+04；当 a=1 且 b=0 时， 可由 1， 2， 3， 4 线性表示为：=(2c 1+c2)1+(1+c12c 2)2+c13+c24(c1，c 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 B、X 按列分块分别为 B=b1 b2bpX=x 1 x2xp，则AX=B， Ax1 Ax2Axp=b1 b2b
13、p Axj=bj(j=1，2，p)，故 AX=B 有解Axj=bj(j=1，2，p)有解，故由非齐次线性方程组 Axj=bj 有解的充要条件可知，AX=B 有解 r(A)=r(A bj)(j=1，2，p) r(A)=rA b1 b2bp=rA B【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 取齐次线性方程组 的基础解系 1， nk ，则可证明 1， ， k， 1， nk 线性无关：设 11+ kk+11+ nk nk =0，两端左乘( 11+ kk)T，并利用 iTj=0(i=1，k ；j=1 ，nk)，得(11+ kk)T(11+ kk)=0，即 11+ kk=0， 11+ kk=0，而1， ，
14、 k 线性无关， 1= k=0， 11+ nk nk =0，又 1， nk 线性无关， 1= nk =0，于是证得 1， k， 1， nk 线性无关，令矩阵P=1 k1 nk ，则 P 为满秩方阵，且以 1， k 为其前 k 列【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 的特征值为 2，2，b，由 2+2+b=1+4+a，22b=|A|=6(a1)，a=5，b=6；【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由|EA|=(+1)2(1)一0，得 A 的全部特征值为 1=2=1， 3=1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值1=
15、2=1 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(EA)X=0 的基础解系含 2 个向量 3r(EA)=2 r(EA) =0当 k=0 时，可求出 A 的对应于特征值1，1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1=(1，2，0)T， 2=(1，0，2) T； 3=(1， 0，1) T，故得【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 B+2E 的特征值为 1=2=9， 3=3对应于特征值9 的全部特征向量为 k1(1，1，0) T+k2(2，0，1) T；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3(0，1，1) T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 化 f 成 f=9y32【知识模块】 线性代数25
16、 【正确答案】 存在正交变换 X=PY(P 为正交矩阵，Y=(y 1，y 2，y n)T)，使得XTAX 1y12+ nyn2n(y12+yn2)=nY2=nX2=nXTX，当 X0时，有XTX0，上面不等式两端同除 XTX，得 f(X)=XTAXX TXn，又 f(Xn)=XnTAXnX nTXn=XnTnXnX nTXn=n，故 maxf(X)=n=f(Xn)类似可证 minf(X)=1=f(X1)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 A 的特征值为 1， 2， n令 c=max|1|，| 2|，| n|，则有正交变换 x=Py，使 xTAx= iyi2，且 yTy=xTx，故|xTAx|=| iyi2|c yi2=cyTy=cxTx【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为(A+aE) T=A+aE，所以 A+aE 对称又若 A 的特征值为1， n 则 A+aE 的全部特征值为 1+a， n+a，若取a=max|1|+1，| n|+1)，则 i+ai+|i|+11，所以 A+aE 正定【知识模块】 线性代数
