[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷141及答案与解析.doc
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1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 141 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 均为 n 阶非零矩阵,且 AB=O,则 A 与 B 的秩( )(A)必有一个为零(B)均小于 n(C)一个小于 n,一个等于 n(D)均等于 n2 设有向量组 1=(1,1,2,4), 2=(0,3,1, 2), 3=(3,0,7,14),4=(1, 2, 2,0) , 5=(2,1,5,10) 则该向量组的极大无关组是( )(A) 1, 2, 3(B) 1, 2, 4(C) 1, 2, 5(D) 1, 2, 4, 53 设 1=(a1,a 2,a 3)T, 2=(
2、b1,b 2,b 3)T, 3=(c1, c2,c 3)T则 3 条平面直线a1x+b1y+c1=0,a 2x+b2y+c2=0,a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20,i=1 ,2,3)交于一点的充分必要条件是( )(A) 1, 2, 3 线性相关(B) 1, 2, 3 线性无关(C)秩 r(1, 2, 3)=秩 r(1, 2)(D) 1, 2, 3 线性相关,而 1, 2 线性无关二、填空题4 5 设 A= ,B 为 3 阶非零矩阵,且 AB=O,则 t=_6 设矩阵 B= ,已知矩阵 A 相似于 B,则秩 (A2E)与秩(A E)之和等于_7 若向量组 1=(1,1,) T,
3、 2=(1, ,1) T, 3=(,1,1) T 线性相关,则=_8 设 1, 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值,x 1 为对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 B=A 1x1x1T 有两个特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设行列式 已知 1703,3159,975,10959 都能被 13 整除,不计算行列式 D,试证明 D 能被 13 整除10 设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B,其中 A= ,求 B10 设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB11 证明:AE 为可逆矩阵;12 当 B= 时,求 A13 已知 3 阶方阵 A=(ai
4、j)33 的第 1 行元素为:a 11=1,a 12=2,a 13=1(A *)T其中 A*为 A 的伴随矩阵求矩阵 A14 设向量组() : 1, 2, , r 线性无关,且()可由(): 1, 2, s 线性表示证明:在() 中至少存在一个向量 j,使得向量组 j, 2, r 线性无关15 若齐次线性方程组 Ax=0 的解都是齐次线性方程组 Bx=0 的解,则有 r(A)r(B)15 已知 1=(1,0,2,3) , 2=(1,1,3,5) , 3=(1,1,a+2 ,1) ,4=(1, 2,4, a+8),=(1,1,b+3,5)16 a、b 为何值时, 不能表示成 1, 2, 3, 4
5、 的线性组合 ?17 a、b 为何值时, 可表示成 1, 2, 3, 4 的线性组合 ?并写出该表示式18 设矩阵 A、B 的行数都是 m,证明:矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是r(A)=r(A B)19 设 1, 2, , k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量证明:存在 n 阶满秩方阵 P,使得 P 以 1, 2, k 为其前 k 列19 设矩阵 A= 与矩阵 B= 相似20 求 a,b 的值;21 求一个可逆矩阵 P,使 P1 AP=B22 设 A= ,问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵23 设矩阵 A= ,B
6、=P 1 A*P,求 B+2E 的特征值和特征向量,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 为 3 阶单位矩阵24 求一个正交变换,化二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+4x22+4x324x 1x2+4x1x38x 2x3 成标准形25 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值,X 1,X n 分别为对应于1、 n 的特征向量,记 f(X)=X TAXX TX,X Rn, X0 证明: 1f(X)n,maxf(X)= n=f(Xn),minf(X)= 1=f(X1)25 设 A 是 n 阶实对称矩阵,证明:26 存在实数 c,使对一切 xRn,有|x TAx|cxTx27
7、必可找到一个数 a,使 A+aE 为对称正定矩阵考研数学三(线性代数)模拟试卷 141 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AO,BO,故 r(A)1,r(B)1又 AB=O r(A)n,否则 r(A)=n,则 A 可逆,有 A1 AB=O,即 B=O,这与 BO 矛盾,故必有 r(A)n,同理有 r(B)n,故只有 B 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由下列矩阵的初等行变换:A= 1T 5T知1, 2, 4 是一个极大无关组或用排除法:因 3=31+2 5=21+2,故A、C、D 组都是线性
8、相关的,因而只有 B 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 题设 3 条直线交于一点 联立线性方程组 x1+y2+3=0 有唯一解(x,y) T由该非齐次线性方程组有唯一解 (1, 2)=r(1, 2, 3)=2 1, 2 线性无关,而 1, 2, 3 线性相关,即知 D 正确注意 C 中的条件只保证了方程组有解,但不能保证解是唯一的,故 C 不对【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 a n+(1) n+1+bn【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 -3【试题解析】 在条件下必有|A|=0(否则|A|0,则 A 可逆,用 A1 左乘 AB=O 两端,得 B=
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