1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B）一 1（C）（D）一 22 周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 ，则y=f(x)在点(5,f(5)处的切线斜率为( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 23 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是( )（A）（B）（C）一 8ln2+3（D）8ln2+34 设函数 f(x)在(一
2、，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（A）若 f(x)在(一，+) 上可导且单调增加，则对一切 x(一，+)，都有 f(x)0。（B）若 f(x)在点 x0 处取得极值，则 f(x0)=0。（C）若 f(x0)=0，N(x 0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）若 f(x0)=0,f(x0)=0,f(x0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点。5 设区间0 ，4 上 y=f(x)的导函数的图形如图 1-2-1 所示，则 f(x)( )（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，4 单调下降且为凹的。（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，
3、2，4是凸的。（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的。（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的。6 设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0,f(x)0(x0)，又设 ba0，则axb 时恒有 ( )（A）af(x) xf（A）（B） by(x)xf （B ）（C） xf(x) bf（B）（D）xf(x)af(x)7 设 则( )（A）f(x)在1，+)单调增加（B） f(x)在1，+)单调减少（C） f(x)在1，+)为常数（D）f(x)在1，+)为常数 08 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在
4、 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加。（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少。（C）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 。（D）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)。9 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 122 所示，则导函数 y=f(x)的图形为( )（A）（B）（C）（D）10 设常数 k0，函数 在(0，+)内零点个数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）011 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0
5、)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点， R(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点12 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）313 设 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调增加，则 在(a，b内( )（A）有极大值。（B）有极小值。（C）单调递减。（D）单调递增。14 设 y=f(x)是方程 y一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0,f(x 0)=0，则函数 f(x)在点x0 处( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）
6、某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少15 设函数 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。二、填空题16 设 =_。17 设 =_。18 已知 =_。19 设 y=y(x)是由 =_。20 设 =_。21 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_。22 作变量替换 x=lnt，方程 可简化为_。23 设 y=sin4x，则 y(n)=_
7、。24 设函数 则 y(n)(0)=_。25 函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数。26 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g(x)0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：27 在开区间(a，b)内 g(x)0；28 在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使28 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1。证明：29 存在 (0，1)，使得 f()=1 一
8、；30 存在两个不同的点 n，(0，1)，使得 f(n)f()=1。30 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)=02f(x)dx=f(2)+f(3)。31 证明存在 (0，2)，使 f(n)=f(0)；32 证明存在 (0，3)，使 f()=0。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将题中等式两端同乘 2，得 由导数定义可知 f(1)=一 2，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+)
9、内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f(x)=f(x+4k)。取 x=1，k=1，可得 f(1)=f(5)。又由 可得 f(1)=一 2，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=3 时，根据等式 t2+2t=3，得 t=1，t=一 3(舍去) ，因此有所以过点 x=3(y=ln2)的法线方程为：yln2=一 8(x 一 3)，令 y=0，可得法线与 x 轴交点的横坐标为 ，故应选 A。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 若在(一，+)上 f(x)0，则一定有 f(x)在(一，+)上单调增加，但可导函数
10、f(x)在(一，+) 上单调增加，可能有 f(x)0 例如 f(x)=x3 在(一 ，+)上单调增加，f(0)=0 故不选 A。f(x) 若在 x0 处取得极值，且 f(x0)存在，则有 f(x0)=0，但当 f(x)在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f(x0)=0，例如 f(x)=x在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B。如果 f(x)在 x0 处二阶导数存在，且(x 0,f(x0)是曲线的拐点，则 f(x0)=0，反之不一定，例如 f(x)=x4 在x0=0 处 f(0)=0，但 f(x)在( 一，+) 没有拐点，故不选 C。由此选 D。【知识模
11、块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0， 1)或(3，4)时 f(x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降。当 x(1，3)时 f(x)0，那么 f(x)在1 ，3单调上升。又 f(x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的 f(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4 是凸的。故选B。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 将选项 A、B 分别改写成 于是，若能证明或 xf(x)的单调性即可。 令 g(x)=xf(x)一 f(x)，g(0)=0， g(x)=xf(x)0(x0)，因此 g(x)0(x0)所以有 故在(0 ，+)
12、 内单调减小。因此当 axb 时, 故选 B。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 按选项要求，先求 f(x)。又 f(x)在1，+) 连续，则 。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU6(0),有 于是当 x(一 ，0)时，有 f(x)f(0)；当 x(0，)时，有 f(x)f(0)。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由题干图象可知：当 x0 时,f(x)单调递增，所以 f(x)0；当x0 时，随着 x 的增大,f(x)先单调递增，再单调递
13、减，最后再单调递增，对应的f(x)先大于零，再小于零，最后再大于零；观察四个选项，可知选 D。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 因 令 f(x)=0，得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e ，+)内都具有单调性。又 f(e)=k 0，而 因此 f(x)在(0，e)与(e ，+) 内分别有唯一零点，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论 x=0 两边 f(x)f(x)的符号。可以选择区间 (一
14、 1，1)来讨论。可见 f(x)在 x=0 两边异号，因此(0，0)是极值点;f(x)在 x=0 两边异号，所以 (0，0)也是曲线的拐点。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y 有 y=2(x 一 1)2(x 一 3)+2(x 一 1)2(x 一 3)=4(x 一 1)(x 一2)(x 一 3)，y=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2)=4(3x212x+1 1)令 y=0，得 又由 y=24(x 一 2)，可得 y(x1)0，y(x 2)0，因此曲线有两个拐点，故选 C。【知识模块】 一元
15、函数微分学13 【正确答案】 D【试题解析】 由导数运算法则及拉格朗日中值定理得，其中axb.因 f(x)严格单调增加，所以 f(x)一 f()0，从而 F(x)0，即 r(x)在(a，b内单调递增。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点。将 x=x0 代入方程，得y(x0)一 2y(x0)+4y(x0)=0。考虑到 y(x0)=f(x0)=0,y(x0)=f(x0)，y(x 0)=f(x0)0，有y(x0)=一 4f(x0)0，由极值的第二判定定理知 f(x)在点 x0 处取得极大值，故选A。【知识模块】
16、 一元函数微分学15 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导，得 f(x)+2f(x)f(x)=1。令 x=0，可得f(0)=1(因由上式可推得 f(x)连续)。又 f(0)=0，由拐点的充分条件可知， (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 0【试题解析】 由题干可得，【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法则【知识模块】 一元函数微分
17、学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 先将原式分解为 由数学归纳法，求余弦函数 n 阶导数，即【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 一 2n(n1)!(n=1，2，3，)【试题解析】 将 ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18、。26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 利用反证法。假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a，c和c ，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得 g(1)=g(2)=0 成立。接着再对 g(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，可知存在 3(1， 2)，使得 g(3)=0 成立，这与题设条件 g(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内 g(x)0。【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 构造函数 F(x)=f(x)g(x)一 g(x)f(x)，由题设条件得函数 F(x)在区间a， b
19、上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F（A）=F （B）=0。根据罗尔定理可知，存在点 (a，b)，使得 F()=0。即 f()g()-f()g()=0，因此可得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一10，F(1)=10，故由介值定理知，存在 (0， 1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 在0，和 ，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)， (，1)，使得【知识模块】 一元函数微分
20、学【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，x0，2 。由于 f(x)在0 ，2上连续，所以可知F(x)在0 ，2上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在 (0，2)，使得，即 2f()=02f(x)dx，所以 f()=f(0)。【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 (因为 f(2)+f(3)=2f(0)，即 ，又因为 f(x)在2，3上连续，由介值定理知，至少存在一点 12，3使得 f(1)=f(0)。又因为函数在0，上连续，在(0，)上可导，且 f(0)=f()，由罗尔定理知，存在 1(0，)，有f(1)=0。因为 f(x)在 ， 1上是连续的，在(， 1)上是可导的，且满足 f()=f(0)=f(1)，由罗尔定理知，存在 2(， 1)，有 f(2)=0。因为 f(x)在 1， 2上是二阶可导的，且 f(1)=f(2)=0，根据罗尔定理，至少存在一点 (1， 2)，使得 f()=0。【知识模块】 一元函数微分学
