[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷46及答案与解析.doc
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1、考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 46 及答案与解析一、填空题1 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1,0),则 b=_。2 曲线 的拐点坐标为_。3 函数 y=x2x 在区间(0,1上的最小值为_。4 函数 f(x)=|4x3 一 18x2+27|在区间0,2上的最小值为_,最大值为_。5 曲线 的水平渐近线方程为_。6 曲线 的斜渐近线方程为_。7 曲线 的斜渐近线方程为_。8 曲线 的过原点的切线是_。9 设 y=y(x)由参数方程 确定,则_,y=y(x)在任意点处的曲率K=_。10 曲线 xy=1 在点 D(1,1)处的曲率圆方程是_。11 曲线 y=x2+x(x0
2、)上曲率为 的点的坐标是_。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知曲线 L 的方程 40612 讨论 L 的凹凸性;13 过点(一 1,0) 引 L 的切线,求切点 (x0,y 0),并写出切线的方程;14 求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。15 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数,且 f(x0)=0,f(x0)0,证明当 f(x0)0,f(x)在x0 处取得极小值。15 设 f(x)为 一 a,a 上的连续偶函数,且 f(x)0,令 F(x)= -aa|xt|一 f(t)dt16 证明 F(x)单调增加;17 当 x 取何值
3、时,F(x)取最小值;18 当 F(x)的最小值为 f(A)一 a2 一 1 时,求函数 f(x)。19 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值,求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。20 设函数 y=y(x)由参数方程 确定,求 y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。21 设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。22 求函数 的单调区间和极值,并求该函数图形的渐近线。22 设 f(x)在a,b上可导 f(x)+f(x)2 一 axf(t)dt=0,且 a-bf(t)dt=
4、0.证明:23 axf(t)dt 在(a,b) 的极大值不能为正,极小值不能为负;24 axf(t)dt 在(a,b) 内恒为零。25 设 a1,f(t)=a t 一 at 在(一,+) 内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时,t(a)最小? 并求出最小值。26 设函数 ,求 f(x)的最小值。27 证明:当 0a b 时,bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 028 证明:29 设 ,且 f(x)0,证明 f(x)x(x0)。30 设 0x1,证明:31 设 eab,证明:32 试确定方程 x=aex(a0) 实根的个数。33 讨论曲线 y=41nx+k 与 y=4x+ln4
5、x 的交点个数。考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 46 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 3【试题解析】 根据题意 y=3x3+2ax+by=6x+2a 令 y=0,得 所以a=3。又因为曲线过点(一 1,0),代入曲线方程,得 b=3。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 (一 1,一 6)【试题解析】 由题设 ,则有 ,x=一1 时,y=0;x=0 时,y 不存在。在 x=一 1 左右两侧的微小邻域内,y异号,在x=0 左右微小邻域内 y0,且 y(一 1)=一 6。故曲线的拐点为(一 1,一 6)。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x2
6、x(2lnx+2),令 y=0 得驻点为 当时,y(x)0。故 y 在 上单调递减,在 上单调递增。故 为 y=x2x 的极小值点,此时 而且 y(1)=1,因此 y=x2x 在区间(0,1上的最小值为【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 0;27【试题解析】 令 (x)=4x318x2+27,则 所以 (x)在0 ,2单调递减,(0)=27 ,(2)=一 13,利用介值定理知,存在唯一x0(0,2),(x 0)=0。且 f(0)=27,f(x0)=0,f(2)=13。因此,f(x) 在0,2上的最小值为0,最大值为 27。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 【试题解析】 直
7、接利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于因此曲线的水平渐近线为 。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线为 y=ax+b,因为【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。因为【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0,0)不在曲线上,需首先求出切点坐标。把(0,0)代入上式,得 x0=一 3 或 x0=一 15。则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0 与 x+y=0。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 由参数方程求导法则
8、, 因此,y=y(x)的曲率【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 (x 一 2)2+(y 一 2)2=2【试题解析】 由题干可知,因此,所求方程为(x 一 2)2+(y 一 2)2=2。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (一 1,0)【试题解析】 将 y=2x+1,y=2 代入曲率计算公式,有整理得(2x+1) 2=1,解得 x=0 或一 1。又x0,所以 x=一 1,此时 y=0,故该点坐标为(一 1,0)。【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 当 t0 时,所以曲线 t 在 t0
9、 时是凸函数。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 切线方程为 设 x0=t02+1,y 0=4t0 一t02,则 即 4t02 一 t02=(2 一 t0)(t02+2),整理得 t02+t02=0或者(t 一 1)(t0+2)=0,解之得 t0=1 或 t0=一 2,因为 t00,所以 t0=1。此时对应的点为(2, 3),进而可得切线方程为 y=x+1。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 L 的方程为 x=g(y),则 S=03g(y)一(y 一 1)dy。根据 t2 一4t+y=0 解得 由于(2,3)在 L 上,因此可知【知识模块】 一元函数微分学15 【正
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