1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 46 及答案与解析一、填空题1 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b=_。2 曲线 的拐点坐标为_。3 函数 y=x2x 在区间(0，1上的最小值为_。4 函数 f(x)=|4x3 一 18x2+27|在区间0，2上的最小值为_，最大值为_。5 曲线 的水平渐近线方程为_。6 曲线 的斜渐近线方程为_。7 曲线 的斜渐近线方程为_。8 曲线 的过原点的切线是_。9 设 y=y(x)由参数方程 确定，则_，y=y(x)在任意点处的曲率K=_。10 曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是_。11 曲线 y=x2+x(x0
2、)上曲率为 的点的坐标是_。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知曲线 L 的方程 40612 讨论 L 的凹凸性；13 过点(一 1，0) 引 L 的切线，求切点 (x0，y 0)，并写出切线的方程；14 求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。15 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数，且 f(x0)=0,f(x0)0，证明当 f(x0)0，f(x)在x0 处取得极小值。15 设 f(x)为 一 a，a 上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= -aa|xt|一 f(t)dt16 证明 F(x)单调增加；17 当 x 取何值
3、时，F(x)取最小值；18 当 F(x)的最小值为 f（A）一 a2 一 1 时，求函数 f(x)。19 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。20 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求 y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。21 设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。22 求函数 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。22 设 f(x)在a，b上可导 f(x)+f(x)2 一 axf(t)dt=0，且 a-bf(t)dt=
4、0.证明：23 axf(t)dt 在(a，b) 的极大值不能为正，极小值不能为负；24 axf(t)dt 在(a，b) 内恒为零。25 设 a1,f(t)=a t 一 at 在(一，+) 内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小? 并求出最小值。26 设函数 ，求 f(x)的最小值。27 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 028 证明：29 设 ，且 f(x)0，证明 f(x)x(x0)。30 设 0x1，证明：31 设 eab，证明：32 试确定方程 x=aex(a0) 实根的个数。33 讨论曲线 y=41nx+k 与 y=4x+ln4
5、x 的交点个数。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 46 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 3【试题解析】 根据题意 y=3x3+2ax+by=6x+2a 令 y=0，得 所以a=3。又因为曲线过点(一 1，0)，代入曲线方程，得 b=3。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 (一 1，一 6)【试题解析】 由题设 ，则有 ，x=一1 时，y=0；x=0 时，y 不存在。在 x=一 1 左右两侧的微小邻域内，y异号，在x=0 左右微小邻域内 y0，且 y(一 1)=一 6。故曲线的拐点为(一 1，一 6)。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x2
6、x(2lnx+2)，令 y=0 得驻点为 当时，y(x)0。故 y 在 上单调递减，在 上单调递增。故 为 y=x2x 的极小值点，此时 而且 y(1)=1，因此 y=x2x 在区间(0，1上的最小值为【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 (x)=4x318x2+27，则 所以 (x)在0 ，2单调递减，(0)=27 ，(2)=一 13，利用介值定理知，存在唯一x0(0，2)，(x 0)=0。且 f(0)=27,f(x0)=0,f(2)=13。因此,f(x) 在0，2上的最小值为0，最大值为 27。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 【试题解析】 直
7、接利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于因此曲线的水平渐近线为 。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线为 y=ax+b，因为【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。因为【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0，0)不在曲线上，需首先求出切点坐标。把(0，0)代入上式，得 x0=一 3 或 x0=一 15。则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0 与 x+y=0。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 由参数方程求导法则
8、， 因此，y=y(x)的曲率【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 (x 一 2)2+(y 一 2)2=2【试题解析】 由题干可知，因此，所求方程为(x 一 2)2+(y 一 2)2=2。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (一 1，0)【试题解析】 将 y=2x+1，y=2 代入曲率计算公式，有整理得(2x+1) 2=1，解得 x=0 或一 1。又x0，所以 x=一 1，此时 y=0，故该点坐标为(一 1，0)。【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 当 t0 时，所以曲线 t 在 t0
9、 时是凸函数。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 切线方程为 设 x0=t02+1，y 0=4t0 一t02，则 即 4t02 一 t02=(2 一 t0)(t02+2)，整理得 t02+t02=0或者(t 一 1)(t0+2)=0，解之得 t0=1 或 t0=一 2，因为 t00，所以 t0=1。此时对应的点为(2， 3)，进而可得切线方程为 y=x+1。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 L 的方程为 x=g(y)，则 S=03g(y)一(y 一 1)dy。根据 t2 一4t+y=0 解得 由于(2，3)在 L 上，因此可知【知识模块】 一元函数微分学15 【正
10、确答案】 由题设 f(x0)0，且由导数定义可知则对于 x0 的去心邻域(x 0 一 ，x 0)u(x0，x 0+)(0) ，有 当 x(x0，x 0)时， x 一 x00，则 f(x)0；当x(x0，x 0+)时，x 一 x0 0，则 f(x)0。由第一充分条件可知 f(x)在点 x0 处取得极小值。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 所以 f(x)=2f(x)0，因此 F(x)为单调增加的函数。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因为 且 f(x)为偶函数，所以F(0)=0，又因为 f(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也
11、为最小值点。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由 20n(t)dt=f（A）一 a21，两边对 a 求导得 2af（A ）=f(a)一2a，于是 f(x)一 2xf(x)=2x，解得 f(x)=2xe -2xdxdx+Ce-2xdx=Cex2 一 1，在 202tf(t)dt=f（A）一 a2 一 1 中，令 a=0，得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)=2ex2 一 1。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 f(x)=3ax 2+2x，由题意 f(0)=0，f( 一 1)=3a 一 2=0，由此可得，于是 f(x)=2x2+2x,f(x)=4x+2，令 f(x
12、)=0，则可得 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下：由此可知，函数 f(x)的单调增区间是( 一，一 1)和(0，+)，单调减区间是(一1，0)，极大值是 ，极小值为 f(0)=2，拐点是【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 列表如下由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=1，极小值为 曲线 y=y(x)凹区间为 曲线 y=y(x)的拐点为【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 要判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性，只需判断 y(1)的正负。在方程 ylny 一 x+y=0 两边对 x 求导得 ylny+y一 1+y=0，上式两边对 x 求导
13、得于是 所以曲线 y=y(x)在点(1， 1)附近是凸的。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由已知得，令 y=0，得驻点 x1=0，x 2=一 1。列表 6由上表可知, 为极小值， 为极大值。以下求渐近线。由于 所以此函数无水平渐近线；同理，函数图形也没有铅直渐近线。因此令 综上知，函数图形的渐近线为 y=a1x+b1=e(x 一 2)及 y=a2x+b2=x 一 2，共两条。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 记 F(x)=a2f(t)dt，假设 F(x)在(a， b)内能取到正的极大值，且记该极大值点为 x0，于是 F(x0)=0，F(
14、x 0)0，即 f(x0)=0， 0x0f(t)dt0。在方程 f(x)+f(t)2 一 axf(t)dt=0 中令 x=x0，得 F(x0)=ax0f(t)dt0，故 F(x0)应是极小值，这与假设矛盾。所以 axf(t)dt 在(a ，b)的极大值不能为正，极小值不能为负。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 若 F(x)在(a，b) 内可取正值，由于 F（A ）=F（B）=0 ，故 F(x)在(a， b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)在(a，b)内存在正的极大值，与(I)中的结论矛盾，故 F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证 F(x)在(a，b)内也不可能取到负值
15、，故 F(x)在(a，b)内恒为零。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(t)=allnaa=0，解得 f(t)的驻点为 对 t t(a)关于 a 求导，可得 令t(a)0，解得 ae e.则当 ae e 时，t t(a)单调递增；当 1a e e 时，t(a)单调递减。所以当 a=ee 时，t t(a)最小，且最小值为 。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由题意 ，令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1。当 x(0，1)时 f(x)0,f(x) 单调递减；当 x(1，+)时 f(x)0,f(x)单调递增。所以函数在 x=1 处取得最小值 f(1)=1。【知识模块
16、】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=xsinx+2cosx+x，需证 0ax 时,f(x)是单调增加的。f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosxsinx+，f(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，所以 f(x)严格单调减少。又 f()=cos+=0 ，故 0ax 时,f(x)的一阶导数大于零，从而函数单调增加，根据 ba 可得,f（B）f（A ），即可得bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由 所以 f(0)=0(因为 f(x)存在，
17、则 f(x)一定连续)。且 f(x)在 x=0 展成一阶麦克劳林公式 因为 f(x)0，则 f()0，故 f(x)f(0)+f(0)x=x(c0)。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 在 两边同时取对数得令 F(x)= ，则 F(1)=0.原命题等价于当 0x1 时，F(x)0 恒成立。对 F(x)求导，得【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 要证明 ，只需要证明 alnablnb 。设函数 f(x)=xlnx。当 xe 时 f(x)=lnx+10 ，故 f(x)单调递增。又因 eab，所以 f（B）f（A），即 alnablnb。要证明 设函数，故 g(x)单调递减。又
18、因 ea b，故 g(a)g(b)，即 综上所述：当 eab 时，【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 将已知方程变形为 xe-x 一 a=0，令 f(x)=xe-x 一 a，x0，则 f(x)=e-x 一 xe-x=(1 一 x)e-x，由 f(x)=0，解得 x=1，因此当 x(0，1)时 f(x)0，即 f(x)单调递增；当 x(1，+)时,f(x)0，即 f(x)单调递减。所以 x=1 是 f(x)的最大值，且 又因为 f(0)=一 a0, ，所以当 时 f(1)0，原方程有两个实根；当 时,f(1)=0，原方程只有一个实根；当时,f(1)0，原方程无实根。【知识模块】 一元
19、函数微分学33 【正确答案】 曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数等价于方程 (x)=ln4x 一4lnx+4x 一 k 在区间(0，+)内的零点个数。对以上方程两端求导得可知 x=1 是 (x)的驻点。当 0x1 时，ln3x0，则 ln3x 一 1+x0，而 ，因此 (x)0，即 (x)单调减少；当 x1时，ln 3x0，则 ln3x1+x0,，且 ，因此 (x)0，即 (x)单调增加。故(1)=4 一 k 为函数 (x)的唯一极小值，即最小值。当 (1)=4 一 k0，即当k4 时，(x)(1)0，(x)无零点，两曲线没有交点；当 (1)=4 一 k=0，即当k=4 时， (x)(1)=0，(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；当 (1)=4 一 k0，即当 k4 时，由于 由连续函数的介值定理，在区间(0，1)与(1，+)内各至少有一个零点，又因 (x)在区间(0，1)与(1，+)内分别是严格单调的，故 (x)分别各至多有一个零点。因此，当k4 时，(x)有两个零点。综上所述，当 k4 时，两曲线没有交点；当 k=4 时，两曲线仅有一个交点；当 k4 时，两曲线有两个交点。【知识模块】 一元函数微分学
