1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（A）a=0 ，b=2（B） a=1，b=3（C） a=3，b=1（D）a= 1， b=12 下列函数中，在区间(0，1)内有界的函数是 ( )（A）y=（B） y=lgx（C） y=ex（D）y=3 下列广义积分发散的是 ( )（A）（B）（C）（D）4 设 F(x)= f(t)dt，函数 f(x)连续，则 F(x) ( )（A）（B） f(lnx)+f( )（C）（D）f(
2、1nx)f( )5 若级数 un 收敛，则下列级数中收敛的是 ( )（A） (un+0001)（B） un+1000（C）（D）二、填空题6 函数 f(x)= 的第二类间断点为_ 7 =_8 若函数 f(x)=ax2+bx 在 x=1 处取得极值 2，则 a=_，b=_9 已知函数 f(sin2x)=cos2x，则 f(x)=_10 设函数 f(x)= 则函数 f(f(x)的表达式是_11 极限 用定积分可表示为_12 垂直于 z 轴及向量(3， 5，2) 的单位向量为_13 微分方程 的通解为_14 lgx 在 x=1 处的幂级数展开式为 _15 平行于 xOz 平面且经过点(2，一 5，3
3、) 的平面方程为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 求极限18 设 ，求 f(0)19 已知函数 y=ln ，求 y(n)20 计算不定积分x 2ln(1+x)dx21 求点(一 1，2，0) 在平面 x+2y 一 z+1=0 的投影点坐标22 计算定积分 dx23 求幂级数 的收敛区间与收敛半径，并求其和函数 S(x)四、综合题24 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型25 设 f(x)在0，)内连续，且 f(x)=1，证明： y=ex etf(t)dt 满足方程：y=f(x)，并求 y(x)26 设函数 (x)满足 (x)=ex+ (t 一 x)
4、(t)dt，求 (x)浙江专升本（高等数学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=x2+ax+b 在点(1，一 1)处的斜率 y(1)=(2x+a) x=1=a+2，另一方面，由隐函数求导法，可知 2y=1+xy 3 确定的隐函数导数为 2y=y3+3xy2y，所以 y(1)=1，因此 a=1，又因点(1，一 1)在曲线 y=x2+ax+b 上，所以可得 b=1，故选项 D 正确2 【正确答案】 C【试题解析】 利用函数的有界性可知，当 x(0， 1)时，y 的取值范围是一个有限区间，即可说明函数 y=f(
5、x)在(0，1) 内有界，易知选项 C 中，y(1，e)为有限区间，故 C 正确3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 dx 发散4 【正确答案】 A【试题解析】 由变限函数求导公式可知，F(x)=f(lnx)(lnx)一 f =，可见选项 A 正确5 【正确答案】 B【试题解析】 据题意可知， un=0，从而可知 (un+0001)0， 0，由级数收敛的必要条件可知，A 和 D 选项不正确；对于 C 选项，举反例 可知，C 错误，因此只有选项 B 正确二、填空题6 【正确答案】 x2【试题解析】 因为 =，而2，所以 x2 是第二类无穷间断点7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】
6、a 2， b4【试题解析】 f(x)ax 2bx f(x)=2axb，令 f(x)=0 得到驻点因 f(x)在 x=1 处取得极值为 2，故9 【正确答案】 x x2C【试题解析】 因为 f(sin2x)=f(1cos 2x)一 cos2x，所以令 t=cos2x，则有 f(1 一 t)=t，由换元法可知 f(u)=1u，因此 f(x)=f(x)dx=(1 一 x)dx=x 一 x2+C10 【正确答案】 f(f(x)=【试题解析】 根据函数的基本含义可知： 化简可得：f(f(x)=11 【正确答案】 【试题解析】 利用定积分的定义，分割，求和，取极限可知12 【正确答案】 a=【试题解析】
7、据题意，设所求向量为 a，则 a=或者 a=即 a=13 【正确答案】 x=lny+【试题解析】 原方程可化为 为一阶线性微分方程P(y)= ，Q(y)= ，其通解为 x=eP(y)dy Q(y).eP(y)dydy+C，代入可计算得通解为 x=lny+14 【正确答案】 (x1) n，x (0，2【试题解析】 lgx= .ln1+(x1)= (x1)n，x (0，215 【正确答案】 y+5=0【试题解析】 所求平面的法向量可以取 n=(0，1，0)，故由点法式可知，所求平面方程为 0.(x 一 2)+1.(y+5)+0.(x 一 3)=0，即 y+5=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤
8、。16 【正确答案】 17 【正确答案】 因为 10n1 n+2n+10n10.10 n 所以 10且 10=10 所以，由夹逼准则知， =10 18 【正确答案】 当 x0 时，f(x)= 当 x0时，f(x)= 一 2sin2x 所以 f(x)=19 【正确答案】 函数 y=ln =ln(1+x)一 ln(1 一 x) ln(1+x)(n)=(一 1)n1因此 y(n)=(n1)20 【正确答案】 x 2ln(1x)dx= ln(1x)dx 3 x3ln(1x) dx= x3ln(1+x) dx= x3ln(1+x)dx= x3ln(1+x) ln(1x)C21 【正确答案】 过点(一 1
9、，2，0)且与平面 x+2yz+1=0 垂直的直线方程为= 所以设该垂线与平面 x+2yz+1=0 的交点为 Q(t 一1，2t+2 ，一 t)， 即为点 Q 是点( 一 1，2，0)在平面 x+2yz+1=0 的投影点，由点Q，可得 t= 故 Q( )22 【正确答案】 1xx4dx= (1x)(x4)dx (1x)(x4)dx= (x 25x4)dx (x 25x4)dx= (x25x4)dx (x25x4)dx= =323 【正确答案】 利用比值判别法原理， =x21 ，收敛故收敛半径为 R=1，收敛区间为 x(一 1，1) 据题意 S(x)= ，x (1,1)逐项可导 S(x)= =1
10、+x2+x4+x2n2 += 所以 S(x)= =，x(一 1，1)四、综合题24 【正确答案】 当x1 时， =1+x；当x1 时， =0；当 x1 时，f(1)(1) 所以 f(x)= 当 x(一 1，1)U(一，一 1)U(1，+)时，f(x)连续；f(x)=0=f(1)，因此 f(x)在x1 处连续； f(x)=0，所以 f(x)在 x=1 处间断，且 x=1 是第一类跳跃间断点 25 【正确答案】 y=e x . etf(t)dty=e x . etf(t)dte x .exf(x)e x . etf(t)dtf(x)y yf(x) ，即 ye x . f(t)dt 满足方程 yf(
11、x)又f(x)在0，+)内连续，且 f(x)=1，存在 X00，当 X00 时， f(x)当 x+时， etf(t)dt ，=126 【正确答案】 (x)=e x (t)dt (I)在 (I)式两边同时对 x 求导得 (x)=ex (t)dt ()在()式两边同时对 x 求导得(x)=ex(x) ，即 (x)+(x)=x 下求微分方程 y+y=ex 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解特征方程 r2+1=0，特征根为 r1=i，r 2i 所以 y+y=0 的通解为 C1cosx+C2sinx 又因 =1 不是特征方程的根，所以取 k=0 所以 y+y=ex 的特解形式可设为 y*=aex，且(y *)=aex，(y *)=aex，把(y *)=aex 和 y*)=aex 代入 y+y=ex 中可解得 a= 所以 y*= ex，所以 y+y=ex 的通解为 y=C1cosx+C2sinx+ ex 又因 y(0)=1，y(0)=1，且 y=C 1sinx+C2cosx ex 所以解得 C1=C2= 故微分方程y+y=ex 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解为 y= (sinx+cosx+ex)，即 (x)= (sinx+cosx+ex)
