1、2015 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 已知 2 阶行列式 =( )（A）一 2（B）一 1（C） 1（D）22 设 A*= ，则 A-1= ( )3 设向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， ， s 线性表出，则下列结论中正确的是 ( )（A）若 st，则 1， 2， s 必线性相关（B）若 st，则 1， 2， s 必线性相关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 st（D）若 1， 2， s 线性无关，则 st4 设有非齐次
2、线性方程组 Ax=b，其中 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=r1，r(A ，b)=r 2，则下列结论中正确的是 ( )（A）若 r1=m，则 Ax=0 有非零解（B）若 r1=n，则 Ax=0 仅有零解（C）若 r2=m，则 Ax=b 有无穷多解（D）若 r2=n，则 Ax=b 有唯一解5 设 n 阶矩阵 A 满足2E 一 3A=0 ，则 A 必有一个特征值 = ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设行列式 中元素 aij 的代数余子式为 Aij(i，j=1，2)，则a11A21+a12A22=_7 已知矩阵 A= ，则 A2+2A+E=_8 设矩阵 B=
3、，若矩阵 A 满足 AP=B，则 A=_9 设向量 1=(1，0，0) T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，1，1) T，=(2，1，3) T，则 由向量组 1， 2， 3 线性表出的表示式为 =_10 设向量组 1=(1，2，1) T， 2=(一 1，1，0) T， 3=(0，2，k) T 线性无关，则数 k 的取值应满足_11 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵(A ，b)经初等行变换可化为(A，b)若该方程组无解，则数 k=_12 设 0=一 2 是 n 阶矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 A 一 3E 必有一个特征值是_13 设 2 阶矩阵 A 与 B 相似，其中 A
4、= ，则数=_14 设向量 1=(1，一 1，0) T， 2=(4，0，1) T，则 2 一 =_15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=一 2x12+x22+4x1x3 的规范形为_三、计算题16 计算行列式 的值17 已知矩阵 A= ，若矩阵 X 满足等式 AX=B+X，求X。18 已知矩阵 A，B 满足关系式 B=EA，其中 B= ，计算(1)E+A+A 2 与A3；(2)B(E+A+A 2)19 求向量组 1=(1，一 1，2，1) T， 2=(1，0，2，2) T， 3=(0，2，1，1)T， 4=(1，0，3，1) T 的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性
5、无关组线性表出20 设 3 元线性方程组 ，问数 a，b 分别为何值时，方程缉有天穷多解? 并求出其通解 (要求用其一个特解和导出组的基础解系表示 )21 设矩阵 A= ，求 A 的全部特征值和特征向量22 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12x1x2+x2x3 为标准形，并写出所作的可逆线性变换四、证明题23 设向量组 1， 2， 3 的秩为 2，且 3 可由 1， 2 线性表出，证明 1， 2 是向量组 1， 2， 3 的一个极大线性无关组2015 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的
6、，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知得 =(a1+a2)(一 2b2)一( 一 2a2)(b1+b2)=一2a1b2+2a2b1=2即：一 a1b2+a2b1=1，则 =a1b2 一 a2b1=一 1答案为 B。2 【正确答案】 A【试题解析】 A -1=答案为A。3 【正确答案】 D【试题解析】 设 S=1， 2， s，T= 1， 2， t，且已知向量组 S 可由向量组 T 线性表出，由定理 332 知道，如果 S 为线性无关组，则必有 st答案为 D。4 【正确答案】 B【试题解析】 根据定理 423 知道，当 r=n 时，Ax=
7、0 只有零解，而 Ax=b 有唯一解答案为 B。5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意2E3A=0，则有 EA=0 ；根据定义 512知道，EnA=0 为 A 的特征方程，所以，必有一个特征值 = 答案为C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 所以有 a11A12+A12A22=07 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵的加法知道 A+aEn= ，由题意知道，8 【正确答案】 【试题解析】 设 A=，根据定义221 知道，AP=B，即 ，所以 A=1，b=1，c=3，d=2，故A= 9 【正确答案】 A 1=2a2+3a3【试题解析
8、】 设 x11T+x22T+x33T=T，知道所以 =122+3310 【正确答案】 k【试题解析】 设 x11+x22+x33=0，即 x1(1，2，1)+x 2(一 1，1，0)+x 3(0，2，K)=(0，0，0)，令等式两边的三个分量分别相等，就可以列出组合系数满足的线性方程组 ，因为它的系数行列式=3k 一 2当 3k 一 20 时，即k 此线性方程组只有零解，说明 1， 2， 3 线性无关11 【正确答案】 一 2【试题解析】 根据题意知道，非齐次线性方程组为无意义，无解12 【正确答案】 一 5【试题解析】 设 B=A 一 3E，对应的多项式为 f(x)=x 一 3，A 的特征值
9、是一 2，所以 B 的特征值就是 f(一 2)=一 513 【正确答案】 4【试题解析】 A 与 B 相似，根据A=B知道 ，即 21 一(一 3)(一 2)=一 1a 一 00，得到 a=414 【正确答案】 (2，2，1) T【试题解析】 (，)=(1，一 1，0) T=(4，0，1) T 一 2(1，一 1，0) T=(2，2，1) T15 【正确答案】 Z 12 一 Z22【试题解析】 用配方法求二次型的标准形f(x 1，x 2)=一 2x12+x22+4x1x2=x22 一(2x 12一 4x1x2=2x22)=x22 一( x2)2，就可得到所给二次型的合同标准形f=Z 12一 Z
10、22三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 将等式 AX=B+X 整理为(AE)X=B18 【正确答案】 19 【正确答案】 由( 1， 2， 3， 4)= 可知该向量组的秩为 3， 1， 2， 3 为一个极大线性无关组，并且有 4=212+3(极大线性无关组不唯一)20 【正确答案】 方程组的增广矩阵因此，当 a=1，b=0时，r(A)=r(A，b)=23，方程组有无穷多解由同解方程组 得到特解 =(1，一 1，0) T，导出组的一个基础解系 =(2，一 1，1) T 从而方程组的通解为 +k=(1，一 1，0) T+k(2，一 1，1) T，其中 k 为任意常数。21 【正确答案
11、】 故A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5 对于 1=2=一 1，求解齐次线性方程组(一 E 一 A)x=0，得到基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T 从而 A 的属于特征值1=2=一 1 的全部特征向量为 k 11+k22，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数对于3=5，求解齐次线性方程组(5EA)x=0 ，得到基础解系 3=(1，1，1) T 从而 A 的属于特征值 3=5 的全部特征向量为 k 33，其中 k3 是不为零的任意常数。22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12x1x2+x2x3将原二次型化为标准形 y12y22+y32(标准形不唯一)四、证明题23 【正确答案】 由 3 可由 1， 2 线性表出，知向量组 1， 2， 3 可由 1， 2 线性表出， 故 r(1， 2， 3)r(1， 2)2 又 r(1， 2， 3)=2，从而必有 r(1， 2)=2，即 1， 2 线性无关 所以 1， 2 是向量组 1， 2， 3 的一个极大线性无关组。
