1、1专题五 解析几何高频考点真题回访1. (2018全国卷)直线 x+y+2=0分别与 x轴,y 轴交于 A,B两点,点 P在圆+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是 ( )(-2)2A. B.2,6 4,8C. D.22,32【解题指南】本题以直线与圆作为问题背景,考查圆的方程、点到直线的距离以及三角形的面积的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选 A.由 A(-2,0),B(0,-2),则三角形 ABP的底边|AB|=2 ,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为 d= =2 ,又因为半径为 r= ,所以点 P到直线2 2x+y
2、+2=0的距离的最大值为 2 + =3 ,最小值为 2 - = ,则三角形 ABP的2 2 2 2 2 2面积的最大值为 Smax= 2 3 =6,最小值为 Smin= 2 =2,故ABP 面积12 2 2 12 2 2的取值范围为2,6.2.(2018全国卷)设 F1,F2是双曲线 C: - =1(a0,b0)的左,右焦点,O 是坐标原点.2222过 F2作 C的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若 = ,则 C的离心率为 ( )|1| 6|A. B.2 C. D.5 3 2【解题指南】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现
3、了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选 C.方法一:设渐近线的方程为 bx-ay=0,则直线 PF2的方程为 ax+by-ac=0,由可得 P ,由 F1(-c,0)及|PF 1|= |OP|,+-=0,-=0, (2,) 6得 = ,化简可得 3a2=c2,即 e= .6(2)2+()2 32方法二: 因为|PF 2|=b,|OF2|=c,所以|PO|=a,在 RtPOF 2中,设PF 2O=,则有 cos = = ;|2|2|因为在PF 1F2中,cos = = ,所以 = b2+4c2-6a2=4b24c2-6a2=3c2-3a2c2=3a2e= .2+42-(6)22
4、2 33.(2018全国卷)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( )2222 3A.y= x B.y= x2 3C.y= x D.y= x【解题指南】本题考查双曲线的简单几何性质.【解析】选 A.因为 e= = ,所以 = =3,即 =2, = ,所以渐近线方程3222+22 22 2为 y= x.24.(2017全国卷)设 A,B是椭圆 C: + =1长轴的两个端点,若 C上存在点 M满足23AMB=120,则 m的取值范围是 ( )A.(0,19,+) B.(0, 9,+)3C.(0,14,+) D.(0, 4,+)3【解析】选 A.当 03时,焦点在 y轴上,
5、要使 C上存在点 M满足3 33AMB=120,则 tan 60= ,即 ,得 m9,故 m的取值范围为(0,1 3 39,+),故选 A.5.(2018全国卷)已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0)的左,右焦点,A 是 C的2222左顶点,点 P在过 A且斜率为 的直线上,PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C的离心率为 ( )A. B. C. D.23 12 13 14【解题指南】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选 D.由题意直线 AP的方程为 y= (x+a),PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,所以 PF2=2c
6、,PF 2x=60,故 P(2c, c),代入 y= (x+a)得,3(2c+a)= c,解得 e= = .3146.(2018全国卷)已知椭圆 C: + =1的一个焦点为 ,则 C的离心率为 ( )2224 (2,0)A. B. C. D.13 12 223【解析】选 C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则 c=2,所以 a2=b2+c2=8,a=2 ,所以离心率 e= .27.(2018全国卷)已知双曲线 C: -y2=1,O为坐标原点,F 为 C的右焦点,过 F的直线与23C的两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则 = ( )|A. B.3 C.2 D.432 34【
7、解析】选 B.渐近线方程为: -y2=0,即 y= x,23所以MON= .3因为OMN 为直角三角形,假设ONM= ,如图,2所以 kMN= ,直线 MN方程为 y= (x-2).3 3联立 =-33,=3(-2),所以 N ,即 ON= ,因为MON= ,(32,- 32) 3所以|MN|=3.8.(2018全国卷)设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 且斜率为 的直线与23C交于 M,N两点,则 = ( )A.5 B.6 C.7 D.8【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出 M(1,2),N(4,4),之后借助于抛物
8、线的方程求得 F(1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M,N的坐标,应用根与系数的关系得到结果.【解析】选 D.由题意知直线 MN的方程为 y= (x+2),F(1,0).23设 M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立有 可得 或=23(+2),2=4, 52=4,2=4,所以 =(0,2), =(3,4),所以 =03+24=8.9.(2018全国卷)已知点 M 和抛物线 C:y2=4x,过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A,B两点.若AMB=90,则 k=_. 【解题指南】本题以直线与抛物线作为问题背景,考
9、查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.【解析】由抛物线的方程 y2=4x可知其焦点 F的坐标为(1,0),所以直线 AB的方程为y=k(x-1),由 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,=(-1),2=4, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2= ,x1x2=1,因为AMB=90,所以 =(x1+1,y1-1)(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+k(x1-1)-1k(x2-1)-1=(1-k-k2)(x1+x2)+(
10、1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2) +(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解 得 k=2.答案:210.(2018全国卷)直线 y=x+1与圆 x2+y2+2y-3=0交于 A,B两点,则=_. |【解析】由 x2+y2+2y-3=0,得圆心为(0,-1),半径为 2,所以圆心到直线的距离 d= = .2所以|AB|=2 =2 .2答案:2 2611.(2018全国卷)设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过 F且斜率为 k(k0)的直线 l与 C交于 A,B两点,|AB|=8.(1)求 l的方程.(2)求过点 A,B且与 C的准线相切的圆的方程.【解题指南】本题考查抛物
11、线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得 F(1,0),l的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(-1),2=4, =16k 2+160,故 x1+x2= .所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x2+1)= .由题设知 =8,解得 k=-1(舍去),k=1.因此 l的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2),所以 AB的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0
12、,y0),则解得 或 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3) 2+(y-2)2=16或(x-11) 2+(y+6)2=144.12.(2018全国卷)设抛物线 C:y2=2x,点 A ,B ,过点 A的直线 l与 C(2,0)交于 M,N两点.(1)当 l与 x轴垂直时,求直线 BM的方程.(2)证明:ABM=ABN.【解析】(1)当 l与 x轴垂直时, l的方程为 x=2,可得 M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线 BM的方程为 y= x+1或 y=- x-1.12 127(2)当 l与 x轴垂直时,AB 为 MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当 l与 x轴不垂直时,设
13、 l的方程为 y=k(x-2)(k0),M(x 1,y1),N(x2,y2),则 x10,x20.由 得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2= ,y1y2=-4.=(-2),2=2, 2直线 BM,BN的斜率之和为kBM+kBN= + = .11+222+221+12+2(1+2)(1+2)(2+2)将 x1= +2,x2= +2及 y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0.212+4(1+2) -8+8所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.13.(2018全国卷)设椭圆 C:
14、 +y2=1的右焦点为 F,过 F的直线 l与 C交于 A,B两点,22点 M的坐标为 .(1)当 l与 x轴垂直时,求直线 AM的方程.(2)设 O为坐标原点,证明:OMA=OMB.【解析】(1)由已知得 F(1,0),l的方程为 x=1.代入 +y2=1可得,22点 A的坐标为 或 .(1,22)所以直线 AM的方程为 y=- x+ 或 y= x- .2 2(2)当 l与 x轴重合时,OMA=OMB=0.当 l与 x轴垂直时,OM 为线段 AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当 l与 x轴不重合也不垂直时,设 l的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x 1,y1),B(x2,y2),则
15、 x1 ,x2 ,直线 MA,MB的斜率之和为 kMA+kMB= + .2 211-222-28由 y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB= .212-3(1+2)+4(1-2)(2-2)将 y=k(x-1)代入 +y2=1得(2k 2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,x 1+x2= ,x1x2=22 4222+1.22-222+1则 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= =0.43-4-123+83+422+1从而 kMA+kMB=0,故 MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.14.(2018全国卷)已知斜率为 k的直线 l与椭圆 C:
16、+ =1交于 A,B两点.线段 AB的23中点为 M .(1)证明:k- .12(2)设 F为 C的右焦点,P 为 C上一点,且 + + =0.证明: , , 成等差数列,并求该数列的公差.【解题指南】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理论证能力、运算求 解 能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【解析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1.214213 224223两式相减,并由 =k得 + k=0.1-21-21+24 1+23由题设知 =1, =m,于是 k=- .1+22 1+22 349由题设得 0m ,故 k-
17、 .32 12(2)由题意得 F(1,0),设 P(x3,y3),则(x 3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点 P在 C上,所以 m= ,34从而 P ,| |= .(1,-32) 32于是| |= =(1-1)2+3(1-214)=2- .12同理| |=2- .22所以| |+| |=4- (x1+x2)=3.12故 2| |=| |+| |,即| |,| |,| |成等差数列.设该 数列的公差为 d,则 2|d|=| |-| |= |x1-x2|= .将 m= 代入得 k=-1.34所以 l的方程为 y=-x+ ,代入 C的方程,并整理得 7x2-14x+ =0.74 14故 x1+x2=2,x1x2= ,代入解得|d|= .32128所以该数列的公差为 或- .32128 32128
