1、第二讲 函数与方程及函数的应用,热点题型1 函数零点的判断 【感悟经典】 【典例】1.已知定义在R上的奇函数y=f(x),对于xR 都有f(1+x)=f(1-x),当-1x0时,f(x)=log2(-x),则函 数g(x)=f(x)-2在(0,8)内所有的零点之和为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12,2.(2018东营一模)已知f(x)= 若存在实数b, 使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是 _.,【联想解题】 1.看到讨论函数在给定区间内的零点之和,想到利用函数的奇偶性、对称性画出函数的图象. 2.零点问题化为方程的根,结合图象解不等式.,【规范解答】1.选D.
2、因为函数g(x)=f(x)-2在(0,8)内 所有的零点之和,就是f(x)=2在(0,8)内所有的根之和, 也就是y=f(x),y=2交点横坐标之和,画出y=f(x),y=2的 函数图象,如图,由图知x1+x2=2,x3+x4=10,所以,x1+x2+x3 +x4=12.,2.问题等价于方程x3=b(xa)与方程x2=b(xa)的根的 个数和为2,若两个方程各有一个根,则可知关于b的不 等式组 有解,所以a21;若方程 x3=b(xa)无解,方程x2=b(xa)有2个根,则可知关于b,的不等式组 有解,从而a0,综上,实数a的取值 范围是(-,0)(1,+). 答案:(-,0)(1,+),【规
3、律方法】 判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数.,(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.,(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,【对点训练】 1.已知函数f(x)= -log2x,在下列区间中,包含f(x)零 点的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+),【
4、解析】选C.由题意知,函数f(x)在(0,+)上为减函 数,又f(1) =6-0=60,f(2)=3-1=20,f(4)= -log24=-2=- 0,由零点存在性定理可知,函数f(x)在区间 (2,4)上必存在零点.,2.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选B.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点 个数即为函数y=2x,y=2-x3在区间(0,1)内的图象的交 点个数,作出图象(如图)即可知两个函数图象在区间 (0,1)内有1个交点,故原函数在区间(0,1)内的零点个 数是1.,【提分备选】1.在下列区
5、间中,函数f(x)=ex+4x-3的零 点所在的区间为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.因为f(x)=ex+40,f 0,f 0,由零点存在性定理知f(x)在上存在零点.,2.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是_.,【解析】令|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数 y=|2x-2|与y=b的图象有两个交点,结合函数图象可知, 0b2.答案:(0,2),3.已知函数f(x)= 有3个零点,则实数a 的取值范围是_.,【解析】因为函数f(x)有3个零点,所以当x0时,方程 ax-3=0有解,故a0,所以当x0时,需满足 即0a1.综上,
6、a的取值范围是(0,1). 答案:(0,1),热点题型2 函数与方程的综合应用 【感悟经典】 【典例】1.(2018烟台一模)已知x1,x2(x1x2)是函数 f(x)=ln x- 的两个零点,若a(x1,1),b(1,x2), 则 ( ),A.f(a)0,f(b)0 C.f(a)0,f(b)0,2.已知函数f(x)= 其中m0,若存在实 数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取 值范围是_.,【联想解题】 1.化函数零点为两个函数图象公共点,数形结合. 2.看到含有参数的方程根的讨论问题,想到先画出函数的部分图象,再平移图象使得符合条件,从而构造参数的不等式求解.,【规范解
7、答】1.选C.函数f(x)=ln x- 的零点即 f(x)=ln x- =0,所以ln x= ,分别作出y=ln x与 y= 的图象,如图所示,由图可知ln a ,f(a)=ln a- 0,ln b , f(b)=ln b- 0.,2.由题意画出函数图象为如图所示时才符合,要满足存 在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须 且只需有4m-m23,所以m的取值范围是(3,+).答案:(3,+),【规律方法】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象
8、的上、下关系问题,从而 构建不等式求解.,【对点训练】 1.设函数f(x)= 若方程f(x)=m有三个不同的 实根,则实数m的取值范围为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.作出函数y=f(x)的图象,如图所示.,当x0时,f(x)=x2-x= ,所以要使函数 f(x)=m有三个不同的零点,则- m0,即m的取值范围 为 .,2.已知函数f(x)= -log3x,若实数x0是方程f(x)=0 的解,且x0x1,则f(x1)的值 ( ) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零,【解析】选A.由于函数f(x)= -log3x在定义域内是 减函数,于是,若f(x0)=0,当x0x
9、1时,一定有f(x1)0.,【提分备选】设函数f(x)=log3 -a在区间(1,2)内 有零点,则实数a的取值范围是_.,【解析】因为x(1,2),所以 (2,3), log3 (log32,1),故要使函数f(x)在(1,2)内存在 零点,只要a(log32,1)即可. 答案:(log32,1),热点题型3 函数的实际应用 【感悟经典】 【典例】如图,现在要在边长为100 m的正方形ABCD内 建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四 个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛,以正方 形的中心为圆心建一个半径为 x2 m的圆形草地.为,了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕
10、岛行驶的路宽 均不小于10 m.,(1)求x的取值范围(运算中 取1.4). (2)若中间草地的造价为a元/m2,四个花坛的造价为ax元/m2,其余区域的造价为 元/m2,当x取何值 时,可使“环岛”的整体造价最低?,【联想解题】 (1)看到求x的取值范围,想到列关于x的不等式. (2)由整体造价最低,想到求函数的最小值.,【规范解答】(1)由题意,得解得 即9x15. 故x的取值范围为9,15.,(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意,得 y=a axx2+ = , 令f(x)=- x4+ x3-12x2, 则f(x)=- x3+4x2-24x,=-4x , 由f(x)=0,解得x=10
11、或x=15,列表如下:所以当x=10时,y取最小值,故当x=10时,可使“环岛” 的整体造价最低.,【规律方法】 与函数有关的应用题的常见类型及解题关键 (1)常见类型:与函数有关的应用题,经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.,(2)解题关键:解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.,【对点训练】 1.(2018山东省实验诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入 空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲 线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再 过m min甲
12、桶中的水只有 L,则m的值为 ( ) A.5 B.8 C.9 D.10,【解析】选A.因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等, 所以函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n= a, 可得n= ln , 所以f(t)=a ,设k min后甲桶中的水只有 L, 则f(k)=a = ,所以 = , 解得k=10,所以m=k-5=5(min).,2.某人想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门 面装修费为20 000元,每天需要房租、水电等费用100 元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销 售总收益R与门面经营天数x的关系式是R=R(x)=则总利润最大时,该门面经营的天 数是 ( )
13、 A.100 B.150 C.200 D.300,【解析】选D.由题意知,总成本C=20 000+100x. 所以总利润P=R-C = 则P= 所以P在0,300上单调递增,在(300,+)上单调递减, 由题意易知当x=300时,总利润最大.,【提分备选】1.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_(单位:元).,【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, .则该容器 的最低总造价是y=80+20x+ 160.当且仅当x=2时取 到最小值. 答案:160,2.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一
14、个更大的矩形 花坛AMPN,要求M在AB的延长线上,N在AD的延长线上,且 对角线MN过C点.已知AB=3米,AD=2米,设AN=x(单位:米).,(1)要使花坛AMPN的面积大于32平方米,求x的取值范围. (2)若x3,4)(单位:米),则当AM,AN的长度分别是多少时,花坛AMPN的面积最大?并求出最大面积.,【解析】(1)因为NDCNAM,所以 , 所以AM= , 所以SAMPN=|AN|AM|= ,依题意可得:323x2-32x+640(x0), 解得:x (8,+).,(2)设f(x)= ,x3,4), 所以f(x)=3 =3 , 设t=x-2,则t1,2), 则y=3 ,根据对勾
15、函数可得:,t=1时,y达到最大值,即y=27, 此时t=1x=3,所以AN=3,AM= =9. 答:当AN=3,AM=9时,四边形AMPN的面积最大,为27 平方 米.,3.时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成 为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日 的销售量y(单位:千套)与销售价格: x(单位:元/套)满足的关系式为y= ,其中 2x6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出 套题21千套.,(1)求m的值. (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数
16、),【解析】(1)将x=4,y=21代入关系式可得:21= +4m=10,(2)依题意所获利润f(x)=(x2)y = , 化简可得: f(x)=4x3-56x2+240x-278(2x6), 所以f(x)=12x2-112x+240,=4(3x10)(x6), 令f(x)0,即解不等式(3x10)(x6)0, 因为2x6,所以解得x , 所以f(x)在 单调递增,在 单调递减,所以f(x) 在x= 取得最大值,即x3.3.,4.如图,某海滨浴场的岸边可近似地看成直线,位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救,救生员没有直接从A处游向B处,而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处,然后游向B处,若救
17、生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海中的行进速度为2米/秒,BAD=45.,(1)分析救生员的选择是否正确. (2)在AD上找一点C,使救生员从A到B的时间为最短,并求出最短时间.,【解析】(1)从题干图形可得: |AB|= =300 , 所以t1= =150 (秒), 而|AD|=|BD|=300, 所以t2= =200(秒), 因为t1t2,所以救生员的选择是正确的.,(2)设|CD|=x,则|BC|= ,设所用时间为f(x), 所以f(x)= , 所以f(x)=- = ,令f(x)0,即解不等式3x- 03x , 所以9x23002+x2, 所以x2 ,解得:x75 , 所以f(x)在
18、单调递减,在 单调递增, 所以f =f =50+100 (秒).,答:当|CD|=75 时,救生员所用的时间最短,为50+100 秒.,直观想象函数的零点问题中的数学素养 【相关链接】 1.函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用 联系和变化的观点提取数学对象,抽象其数学特征,建 立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函 数的有关性质,使问题得到解决.,2.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.,3.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的
19、,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.,4.利用函数与方程思想能解决的函数零点问题的常见类型是:(1)判断零点个数.(2)求零点所在区间.(3)求参数值或范围问题.,【典例】(2018济南一模)已知函数f(x)是定义在R上 的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x-1,0时,f(x)= -x3,则关于x的方程f(x)=|cos x|在 上的所有 实数解之和为 ( ) A.-7 B.-6 C.-3 D.-1,【规范解答】选A.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x-1) =f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+2),所以函数f(x)的周
20、期 为2,又当x-1,0时,f(x)=-x3,由此在同一平面直角 坐标系内作出函数y=f(x)与y=|cos x|的图象,如图 所示.,由图知关于x的方程f(x)=|cos x|在 上的实数 解有7个.不妨设x1x2x3x4x5x6x7,则由图,得x1+x2 =-4,x3+x5=-2,x4=-1,x6+x7=0,所以方程f(x)=|cos x| 在 上的所有实数解的和为-4-2-1+0=-7.,【通关题组】 1.函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个为正实数的零点, 则实数m的取值范围是 ( ) A.(-,1 B.(-,01 C.(-,0)(0,1 D.(-,1),【解析】选B.当m=0时,x= 为函数的零点;当m0时, 若=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若0,显然 函数x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实 数零点等价于方程mx2-2x+1=0有一个正根和一个负根, 即mf(0)0,即m0.,2.已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k 有两个不同的实根,则实数k的取值范围是_.,【解析】f(x)的图象如图所示,由图象可知若使f(x)的 图象与y=k有两个不同交点,则有0k1.答案:(0,1),
