1、1考点规范练 5 函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.(2018 余姚中学高三教学质量检测)设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,则下列结论中一定正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C 解析 由 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,得 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,|g(-x)|=|g(x)|,|f(x)|和 |g(x)|都为偶函数,故 f(x)g(x)为奇函数, |f(x)|
2、g(x)为偶函数, f(x)|g(x)|为奇函数, |f(x)g(x)|为偶函数,故选C.2.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: f(x+1)=f(x-1),且当 -10 且 a1),则函数 f(x)的奇偶性( )2ax-12A.与 a 无关,且与 b 无关 B.与 a 有关,且与 b 有关C.与 a 有关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关答案 D 解析 由 ax-10,得 x0,则函数 f(x)的定义域为 x|x0 .由函数 f(x)= +b,得 f(-x)2ax-1= +b= +b,当 b=1 时, f(-x)+f(x)=0,此时 f(x)为奇函数,显然当 b1 时函数
3、为非奇非偶函2a-x-1 -2axax-1数,所以函数 f(x)的奇偶性与 a 无关,但与 b 有关,故选 D.6.(2017 课标 高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x( - ,0)时, f(x)=2x3+x2,则 f(2)= . 答案 12 解析 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x).又因为当 x( - ,0)时, f(x)=2x3+x2,所以 f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12.7.(2018 台州高三一模)若函数 f(x)=a- (aR)是奇函数 ,则 a= ,函数 f(x)的值域为 .22x-1答案 -1 (- ,-1)(1, + )
4、解析 函数 f(x)=a- (aR)是奇函数,22x-1f (-x)+f(x)=0,即 a- +a- =2a- =2a- =0,22x-1 22-x-1 22x-1+ 22-x-1 2(1-2x)2x-1解得 a=-1,则 f(x)=-1- .22x-1令 y=-1- 1-2x= ,即有 2x= 0,解得 y1 或 yf(- ),则2a 的取值范围是 . 答案 (12,32)解析 由题意知函数 f(x)在区间(0, + )上单调递减,又 f(x)是偶函数,则不等式 f(2|a-1|)f(- )可2化为 f(2|a-1|)f( ),则 2|a-1|1 时, f(x)=loga(x-1),且 f(
5、3)=-1,则不等式 f(x)1 的解集是( )A. B.(- ,-3)(-3,32) (32,+ )C.(- ,-1) D.(- ,-1)(32,+ ) (1,32)答案 D 解析 由题意, f(x)=-f(2-x), 当 x1 时, f(x)=loga(x-1),且 f(3)=-1, loga2=-1,a= , 当 x112时,不等式 f(x)1 可化为 lo (x-1)1, 11 时,不等式 f(x)1 可化为 -lo (1-x)g12 32 g121,x0 时为减函数,且 f(2)=0,则 x|f(x-2)0= . 答案 x|00,当 x-20 时, f(x-2)0=f(2),x (0
6、, + )时, f(x)为减函数, 01 时,f(x+2)=f(x),则 f(8)= . 答案 2-ln 2 解析 由题意, f(8)=f(23+2)=f(2)=-f(-2)=-(ln2-2)=2-ln2,故填 2-ln2.16.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意的 xR都有 f(1+x)=f(1-x),且当 x0,1时, f(x)=2x-1,则当 x -2,6时,方程 f(x)=- 所有根之和为 .12答案 4 解析 由 f(1+x)=f(1-x),得 f(x+2)=f(-x),又函数 f(x)是奇函数,则有 f(x+2)=f(-x)
7、=-f(x),从而有 f(x+4)=f(x),即 f(x)是以 4 为周期的函数 .5又函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,从而其图象又关于直线 x=-1 对称,由周期性知函数图象关于直线 x=2k+1,kZ 对称 .由题意知函数 f(x)在区间0,1是增函数,其值域为0,1,此时方程f(x)=- 无解,由对称性知函数 f(x)在区间1,2是减函数 ,其值域为0,1,此时方程 f(x)=- 也无解 .由12 12函数图象关于原点对称知方程 f(x)=- 在区间 -2,-1和 -1,0上各有一根,由对称性知两根之和为12-2.由周期性知方程 f(x)=- 在区间2,3和3,4上各有一根
8、,由对称性知两根之和为 6.在区间4,6上12方程 f(x)=- 无解 ,故在区间 -2,6上共有 4 个根,其和为 4.故答案为 4.1217.(2018 浙江诸暨高三 5 月适应性考试)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且 f(x)=f(4-x),当 -2 x0 时, f(x)=log3|x|,则 f = . 113答案 1 解析 由 f(x)=f(4-x)知, f =f 4- =f ,又因为 f(x)是奇函数,所以 f =-f - =-log3 -113 113 13 13 13 13=1.18.设 f(x)是( - ,+ )上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当 0 x1 时
9、, f(x)=x.(1)求 f()的值;(2)当 -4 x4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积 .解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 f() =f(-14+) =f( -4)=-f(4-) =-(4-) = -4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x+2)=-f(x),得 f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即 f(1+x)=f(1-x).故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称 .又当 0 x1 时, f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如下图所示 .当 -4 x4 时, f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S OAB=4 =4.(1221)
