（天津专用）2020版高考数学大一轮复习4.3三角函数的图象与性质精练.docx

1、14.3 三角函数的图象与性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017 天津,7三角函数的周期性三角函数求值2016 天津文 ,8三角函数的周期性函数零点2015 天津文 ,14三角函数的单调性及对称性三角函数图象及其性质1.三角函数的性质及其应用1.了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等);理解正切函数的单调性2014 天津文 ,8三角函数的周期性及最值三角函数图象及其性质2.三角函数的图象及其变换1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象2.了解函数y=Asin(x+)的物理意义

2、;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数 A,对函数图象变化的影响2018 天津,6三角函数图象的平移变换三角函数的单调性分析解读 通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数化为一个角的函数形式,再利用整体换元的思想通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、2奇偶性、周期性及最值是主要考点.本节重点考查三角恒等变换及数形结合能力,在高考备考复习中应给予重视.破考点【考点集训】考点一 三角函数的性质及其应

3、用1.函数 y=3sin 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是( )(2x+ 4)A.2 B. C. D. 2 4答案 C 2.(2017 课标,14,5 分)函数 f(x)=sin2x+ cosx- 的最大值是 . 334(x 0, 2)答案 13.已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在0,上的单调递增区间.解析 (1)f(x)=2sinxcosx+2cos 2x-1=sin2x+cos2x= sin .2 (2x+ 4)所以 f(x)的最小正周期 T= =.22(2)由- +2k2x+ +2k(kZ), 2 4 2得-

4、+kx +k(kZ).38 8当 x0,时,单调递增区间为 和 .0, 8 58, 思路分析 (1)根据二倍角公式、两角和的正弦公式将原式化简,得到 f(x)= sin2,根据周期公式得到 T= =;(2)由题意得到- +2k2x+ +2k(kZ),从(2x+ 4) 22 2 4 2而得到单调增区间,再与0,取交集.考点二 三角函数的图象及其变换4.将函数 y=3sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数( )(2x+ 3) 2A.在区间 上单调递减12,712B.在区间 上单调递增 C.在区间 上单调递减12,712 - 6, 33D.在区间 上单调递增- 6, 3答案 B 5.

5、如图,已知函数 f(x)=sin(x+),xR(其中 0,-0,- 20, 0,| |0),若函数 y=f(x+a)(a0)的部分图象如图所示,则 = ,a的最小值是 . 5答案 2;12方法 2 三角函数性质问题的求解方法4.(2016 课标,7,5 分)若将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的12对称轴为( )A.x= - (kZ) B.x= + (kZ) C.x= - (kZ) k2 6 k2 6 k2 12D.x= + (kZ)k2 12答案 B 5.(2018 课标,10,5 分)若 f(x)=cosx-sinx 在-a,a是减函数,则 a 的最大值是(

6、 )A. B. C. D. 4 2 34答案 A 6.已知函数 f(x)=sinx(cosx- sinx).3(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在 x0,上的单调递增区间.解析 (1)因为 f(x)=sinx(cosx- sinx)3=sinxcosx- sin2x3= sin2x+ cos2x-12 32 32=sin - ,(2x+ 3) 32所以函数 f(x)的最小正周期 T= =.22(2)由 2k- 2x+ 2k+ ,kZ,得 2 3 22k- 2x2k+ ,kZ,56 6所以 k- xk+ ,kZ.512 12所以函数 f(x)在 x0,上的单调递增区间是

7、和 .0,12 712, 6思路分析 (1)根据二倍角公式和辅助角公式化简 f(x)即可得最小正周期;(2)求出 f(x)的单调递增区间,再根据 x0,得出所求.方法点拨 第(2)问中求得函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ),k=0 时,单k -512,k +12调递增区间为 ;k=1 时,单调递增区间为 .将两个区间与0,取交集,可-512,12 712,1312得所求单调递增区间为 和 .0,12 712, 过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组考点一 三角函数的性质及其应用1.(2017 天津,7,5 分)设函数 f(x)=2sin(x+),xR,其中 0,|0),xR.若 f

8、(x)在区间x2 12 12(,2)内没有零点,则 的取值范围是( )A. B. C. D. (0,18 (0,14 58,1) (0,58 (0,18 14,58答案 D 3.(2014 天津文,8,5 分)已知函数 f(x)= sinx+cosx(0),xR.在曲线 y=f(x)与直3线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( ) 3A. B. C. D.2 2 23答案 C 4.(2015 天津文,14,5 分)已知函数 f(x)=sinx+cosx(0),xR.若函数 f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,

9、则 的值为 . 答案 25.(2016 天津,15,13 分)已知函数 f(x)=4tanxsin cos - .( 2-x) (x- 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;7(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性.- 4, 4解析 (1)f(x)的定义域为 .x|x 2+k ,k Zf(x)=4tanxcosxcos -(x- 3) 3=4sinxcos -(x- 3) 3=4sinx -(12cosx+ 32sinx) 3=2sinxcosx+2 sin2x-3 3=sin2x+ (1-cos2x)-3 3=sin2x- cos2x=2sin .3 (2x- 3)所以,f(x)的

10、最小正周期 T= =.22(2)令 z=2x- ,易知函数 y=2sinz 的单调递增区间是 ,kZ. 3 - 2+2k, 2+2k由- +2k2x- +2k,得- +kx +k,kZ. 2 3 2 12 512设 A= ,B= ,易知 AB= .- 4, 4 x|-12+k x 512+k ,k Z -12, 4所以,当 x 时,f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递- 4, 4 -12, 4 - 4,-12减.考点二 三角函数的图象及其变换(2018 天津,6,5 分)将函数 y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应(2x+ 5) 10的函数( )A.在区间 上单调递增3

11、4,54B.在区间 上单调递减 C.在区间 上单调递增34, 54,32D.在区间 上单调递减32,2 答案 A B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 三角函数的性质及其应用1.(2017 课标,6,5 分)设函数 f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )(x+ 3)8A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 C.f(x+)的一个零点为 x=83 6D.f(x)在 单调递减( 2, )答案 D 2.(2016 课标,12,5 分)已知函数 f(x)=sin(x+) ,x=- 为 f(x)的( 0,| | 2) 4零点,x= 为 y=f(x)图象的对称轴,

12、且 f(x)在 单调,则 的最大值为( ) 4 (18,536)A.11 B.9 C.7 D.5答案 B 3.(2015 安徽,10,5 分)已知函数 f(x)=Asin(x+)(A, 均为正的常数)的最小正周期为 ,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )23A.f(2)0,| |0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为 ,求 的最小值.(512,0)12解析 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,=2,=- . 6数据补全如下表:x+ 0 2 32 2x 12 3 712 56 1312Asin(x+) 0 5 0 -5 0且函数

13、表达式为 f(x)=5sin .(2x- 6)(2)由(1)知 f(x)=5sin ,(2x- 6)故 g(x)=5sin .(2x+2 - 6)因为 y=sinx 的对称中心为(k,0),kZ.令 2x+2- =k, 6解得 x= + -,kZ.k2 12由于函数 y=g(x)的图象关于点 成中心对称,(512,0)令 + -= ,解得 = - ,kZ.k2 12 512 k2 3由 0 可知,当 k=1 时, 取得最小值 . 6【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1.(2019 届天津一中 1 月月考,3)若由函数 y=sin 的图象变换得到 y=sin 的(2x+ 2)

14、 (x2+ 3)图象,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把 y=sin 图象上所有点的横坐标变为(2x+ 2)原来的 4 倍,纵坐标不变;第二步,可以把所得图象沿 x 轴( )A.向右平移 个单位长度 3B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度512 3D.向左平移 个单位长度512答案 A 132.(2019 届天津耀华中学统练(2),5)将函数 y=sin(x+)的图象 F 向左平移 个单位长度后 6得到图象 F,若图象 F的一个对称中心为 ,则 的一个可能取值是( )( 4,0)A. B. C. D.12 6 56 712答案 D 3.(2019 届天津新华中学期中,7)已知

15、函数 f(x)=sin (0)的图象向左平移半个( 3-x )周期后得到 g(x)的图象,若 g(x)在0,上的值域为 ,则 的取值范围是( )-32,1A. B. C. D.16,1 23,32 13,76 56,53答案 D 4.(2018 天津和平三模,6)将函数 f(x)= cos2x-sin2x(xR)的图象向左平移 个单位长3 6度后得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)( )A.是奇函数B.是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数答案 A 5.(2018 天津九校联考,6)函数 f(x)=Asin(x+) 的部分图象(A0, 0,| |0,函

16、数 y=2cos 的图象向右平移 个单位长(x + 5) 5度后与函数 y=2sin 的图象重合,则 的最小值是( )(x + 5)A. B. C. D.12 32 52 72答案 C 147.(2018 天津南开一模,5)若函数 y=cos2x 与函数 y=sin(2x+)在 上的单调性相同,0, 4则 的一个值为( )A. B. C. D. 6 4 34 32答案 C 8.(2018 天津河西二模,7)已知函数 f(x)= sinx+cosx(0)的图象与 x 轴交点的横3坐标构成一个公差为 的等差数列,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,得到 2 6函数 g(x)的图象

17、,关于函数 g(x),现有如下命题:在 上是增函数;其图象关于点 对称;函数 g(x)是奇函数;当 x 4, 2 (- 4,0)时,函数 g(x)的值域是-2,1. 6,23其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C 9.(2018 天津红桥二模,6)设函数 f(x)=sinx+cosx(0)的最小正周期为 ,将 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=g(x)的图象,则( ) 8A.g(x)在 上单调递增(0, 2)B.g(x)在 上单调递减 C.g(x)在 上单调递减( 4,34 ) (0, 2)D.g(x)在 上单调递增( 4,34 )答案 C 10.(2

18、018 天津耀华中学第二次月考,7)已知函数 f(x)=sinx+ cosx(0),若在区间3(0,)上有三个不同的 x 使得 f(x)=1,则 的取值范围是( )A. B. C. D.(52,236 (52,236) (32,196) (32,196答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)11.(2019 届天津耀华中学月考,12)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 的最小正值是 . 答案 381512.(2017 天津河东二模,13)已知 0,在函数 y=sinx 与 y=cosx 的图象的交点中,距离最近的两个

19、交点间的距离为 ,则 的值为 . 3答案 三、解答题(共 35 分)13.(2019 届天津南开中学开学考试,14)已知函数 f(x)=2 sin cos +2cos2 (a0),且函数的最小正周期为 .3 (ax- 4) (ax- 4) (ax- 4) 2(1)求 a 的值;(2)求 f(x)在 上的最大值和最小值.0, 4解析 (1)因为 f(x)=2 sin cos +2cos2 = sin +cos +13 (ax- 4) (ax- 4) (ax- 4) 3 (2ax- 2) (2ax- 2)=2sin +1=2sin +1,(2ax- 2+ 6) (2ax- 3)又 f(x)的最小正

20、周期为 , 2所以 T= = ,22a 2解得 a=2.(2)由(1)可知 f(x)=2sin +1,(4x- 3)令- +2k4x- +2k,kZ,得- + x + ,kZ,所以当- 2 3 2 24k2 524k2+ x + ,kZ 时,f(x)单调递增,24k2 524k2设 A= ,B= x - + x + ,kZ ,易知 AB= ,当 x 时,f(x)在区0, 4 24k2 524k2 0,524 0, 4间 上单调递增,在区间 上单调递减,0,524 524, 4且 f(0)=- +1,f =3,f = +1,所以,在 上,f(x)的最大值是 3,最小值是-3 (524) ( 4)

21、 3 0, 4+1.3思路分析 本题主要考查两角和与差公式和倍角公式与半角公式.(1)根据正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式及正弦函数的和差公式将 f(x)化简为f(x)=2sin +1,由于 f(x)的最小正周期为 ,根据周期公式 T= ,即可解出 a.(2ax- 3) 2 216(2)首先求出函数 f(x)的单调区间,进而计算闭区间端点处函数值及极值,即可求解函数最值.14.(2018 天津一中 4 月月考,15)已知函数 f(x)=sinxcos ,xR.(x+ 6)(1)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到 g(x)的图象,求 g(x)的单调递增区间; 6(2)若 f()=

22、- ,且 0 ,求 sin2 的值.512 2解析 (1)函数 f(x)=sinxcos(x+ 6)=sinx(cosxcos 6-sinxsin 6)= sinxcosx- sin2x32 12= sin2x+ cos2x-34 14 14= sin - ,xR,12 (2x+ 6)14将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到 y=g(x)= sin 2 + - = sin - 6 12 (x- 6) 6 1412 (2x- 6)的图象,14即 g(x)= sin - ,12 (2x- 6)14令 2k- 2x- 2k+ ,kZ, 2 6 2解得 k- xk+ ,kZ, 6 3g(x)的

23、单调递增区间为 ,kZ.k - 6,k + 3(2)若 f()=- ,则 sin - =- ,512 12 (2 + 6)14 512sin =- ,(2 + 6) 13又0 ,2+ , 2 676cos =- =- ,(2 + 6) 1-sin2(2 + 6) 223sin2=sin (2 + 6)- 6=sin cos -cos sin(2 + 6) 6 (2 + 6) 6=- - 13 32(-223) 1217= .22- 3615.(2017 天津一中 3 月月考,15)函数 f(x)=cos(x+) 的部分图象如图所(0 2)示.(1)求 及图中 x0的值;(2)设 g(x)=f(

24、x)+f ,求函数 g(x)在区间 上的最大值和最小值.(x+13) -12,13解析 (1)由题意,得 f(0)=cos(0+)= ,32(0 2) 的值是 . 6 =cos ,32 ( x0+ 6)2- =x 0+ ,易知 T=2, 6 6x 0(0,2),故 x0的值是 .53(2)由题意可得 f =cos +(x+13) (x+13) 6=cos =-sinx,( x+ 2)所以 g(x)=f(x)+f(x+13)=cos -sinx( x+ 6)=cosxcos -sinxsin -sinx 6 6= cosx- sinx-sinx= cosx- sinx32 12 32 32= cos ,3 ( x+ 3)因为 x ,-12,13所以- x+ . 6 3 2318所以当 x+ =0,即 x=- 时,g(x)取得最大值 ; 3 13 3当 x+ = ,即 x= 时,g(x)取得最小值- . 323 13 32解题分析 本题主要考查了三角函数的化简求值,三角函数的图象与性质,三角函数最值的解法,属于中档题.