（天津专用）2020版高考数学大一轮复习5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示精练.docx

1、15.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017 天津,13向量的线性运算和几何意义平面向量的数量积1.平面向量的基本概念与线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义2009 天津,15两个向量相等的含义利用数量积求两向量的夹角22.向量共线问题掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义2016 课标,13向量平行向量的坐标运算3.平面向量基本定理了解平面向量基本定理及其意义

2、2014 福建,8平面向量基本定理平面向量的坐标表示4.平面向量的坐标运算1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法和数乘运算3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件2012 天津,8平面向量的坐标运算利用坐标表示向量的模分析解读 高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟

3、练掌握.破考点【考点集训】考点一 平面向量的基本概念与线性运算1.向量 a=(2,-9),b=(-3,3),则与 a-b 同向的单位向量为( )A. B. C. D.(513,-1213) (-513,1213) (1213,-513) (-1213,513)答案 A 2.在ABC 中,G 为重心,记 a= ,b= ,则 =( )AB AC CGA. a- b B. a+ b C. a- b D. a+ b13 23 13 23 23 13 23 13答案 A 3.M 是ABC 所在平面内一点, + + =0,D 为 AC 中点,则 的值为( )23MBMAMC |MD|BM|3A. B. C

4、.1 D.212 13答案 B 考点二 向量共线问题4.已知向量 a=(1,1),点 A(3,0),点 B 在直线 y=2x 上,若 a,则点 B 的坐标为 . AB答案 (-3,-6)考点三 平面向量基本定理5.D 是ABC 所在平面内一点, = + (,R),则“00,y0),则 4x+y 的最小值为 . AMABANAC答案 94方法 3 平面向量的坐标运算的解题策略6.已知向量 a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,),若(2a-b)c,则实数 =( )A.-3 B. C.1 D.313答案 A 57.已知 O 为坐标原点,向量 =(2,3), =(4,-1),且 =3 ,则|

5、 |= . OA OB APPB OP答案 72过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2017 天津,13,5 分)在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且BDDCAE ACAB =-4,则 的值为 . ADAE答案 3112.(2012 天津,8,5 分)已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| +3 |的最小值为 . PAPB答案 53.(2009 天津,15,4 分)在四边形 ABCD 中, = =(1,1), + = ,则四边形 ABCDABDC1|BA|BA1|BC|BC 3

6、|BD|BD的面积为 . 答案 3B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 平面向量的基本概念与线性运算1.(2018 课标,6,5 分)在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则 =( )EBA. - B. - C. + D. +34AB14AC 14AB34AC 34AB14AC 14AB34AC答案 A 2.(2015 课标,7,5 分)设 D 为ABC 所在平面内一点, =3 ,则( )BCCDA. =- + B. = - C. = + D. = -AD13AB43AC AD13AB43AC AD43AB13AC AD43AB13AC答案 A 3.(2014

7、课标,15,5 分)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 = ( + ),则 与 的夹角为 .AO12ABAC ABAC答案 90考点二 向量共线问题61.(2015 四川,2,5 分)设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x=( )A.2 B.3 C.4 D.6答案 B 2.(2017 山东,11,5 分)已知向量 a=(2,6),b=(-1,).若 ab,则 = . 答案 -33.(2016 课标,13,5 分)已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 ab,则 m= . 答案 -6考点三 平面向量基本定理1.(2014 福建,8,5 分)在下列向量组中,可以

8、把向量 a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e2=(-2,3)答案 B 2.(2015 课标,13,5 分)设向量 a,b 不平行,向量 a+b 与 a+2b 平行,则实数 = .答案 12考点四 平面向量的坐标运算1.(2017 课标,12,5 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 = + ,则 + 的最大值为( )AP AB ADA.3 B.2 C. D.22 5答案 A 2.(

9、2016 课标,3,5 分)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则 m=( )A.-8 B.-6 C.6 D.8答案 D 3.(2014 广东,3,5 分)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( )A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)答案 B 4.(2018 课标,13,5 分)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若 c(2a+b),则 = .答案 1275.(2015 江苏,6,5 分)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,nR),则 m-n 的值为 . 答案

10、 -3C 组 教师专用题组1.(2015 安徽,8,5 分)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足 =2a, =2a+b,AB AC则下列结论正确的是( )A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b) BC答案 D 2.(2015 陕西,7,5 分)对任意向量 a,b,下列关系式中 的是( )不恒成立 A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b) 2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案 B 3.(2014 课标,6,5 分)设 D,E,F 分别为ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 + =( )EBFCA. B.

11、C. D.AD12AD BC 12BC答案 A 4.(2014 福建文,10,5 分)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 + + + 等于( )OAOBOCODA. B.2 C.3 D.4OM OM OM OM答案 D 【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2019 届天津耀华中学统练(2),2)已知 A、B、C、D 是平面内任意四点,现给出下列式子: + = + ; + = + ; - = + .其中正确的有( )ABCDBCDA ACBDBCAD ACBDDCABA.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3

12、个答案 C 82.(2017 天津河北一模,7)若 O 为ABC 所在平面内的任一点,且满足( - )( + -2 )OBOC OBOCOA=0,则ABC 的形状为( )A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案 B 3.(2018 天津和平一模,7)如图,在直角梯形 ABCD 中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E 为 AD 的中点,若 = + (,R),则 + 的值为( )CA CE DBA. B. C.2 D.65 85 83答案 B 4.(2018 天津河东一模,7)设 P 是ABC 边 BC 上的任意一点,Q 为 AP 的中点,若 = +AQ AB

13、(,R),则 +=( )ACA. B. C. D.114 13 12答案 C 5.(2018 天津和平二模,7)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 = , =2 ,G 为线段 EF 上DE12ECBFFC的一点,且 = , = + (,R),则 的值为( )EG12GFAG AB AD A. B. C. D.25 12 47 58答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 45 分)6.(2018 天津河西二模,13)在ABC 中,A=60,| |=2,点 D 在边 AB 上,点 E 在边 BC 上,AC= , = ,若 = ,则| |= . AD12ABBE23BC DEBC83 AB答案

14、 597.(2019 届天津第二十中学第三次月考,7)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 BC 的中点,=2 ,则 = . DFFC AEBF答案 238.(2018 天津部分区县二模,14)在ABC 中,AB=6 ,AC=6,BAC= ,点 D 满足 = ,点 E2 4 BD23BC在线段 AD 上运动(不包括端点),若 = + (,R),则 3+ 取得最小值时, 的AE AB AC13 AE模为 . 答案 2 59.(2018 天津南开中学第六次月考,13)在平行四边形 ABCD 中,AB=3,AD=2,BAD=120,P 是平行四边形 ABCD 内的一点,且 AP=1,若 =x

15、+y ,则 3x+2y 的最大值为 . APABAD答案 210.(2018 天津耀华中学一模,13)如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,AD=DC=CB= AB=1,F 是12BC 的中点,点 P 在以 A 为圆心,AD 为半径的圆弧 DE 上变动,E 为圆弧 DE 与 AB 的交点,若= + ,其中 ,R,则 2+ 的取值范围是 . AP ED AF答案 0,211.(2017 天津河东二模,14)如图,在ABC 中,点 M 在线段 AC 上,点 P 在线段 BM 上,且满足= =2,若| |=2,| |=3,BAC=120,则 的值为 . AMMCMPPB AB AC APBC答案

16、 -212.(2017 天津实验中学热身训练,13)已知ABC 的外接圆圆心为 P,若点 P 满足 = ( + ),AP25ABAC则 cosBAC= . 答案 141013.(2017 天津新华中学模拟,14)在平面内,定点 A,B,C,D 满足| |=| |=| |, = = =-2,动点 P,M 满足| |=1, = ,则| |2的最大值DA DB DCDADBDBDCDCDA AP PMMC BM是 . 答案 49414.(2017 天津耀华中学二模,14)已知函数 f(x)=| -x |(xR),其中 MN 是半径为 4 的圆MPMNO 的一条弦,O 为原点,P 为单位圆 O 上的点

17、,设函数 f(x)的最小值为 t,当点 P 在单位圆上运动时,t 的最大值为 3,则线段 MN 的长度为 . 答案 4 3三、解答题(共 10 分)15.(2019 届天津河西期中,19)设平面内的向量 =(-1,-3), =(5,3), =(2,2),点 P 在直OA OB OM线 OM 上,且 =-16,其中 O 为坐标原点.PAPB(1)求 的坐标;OP(2)求APB 的余弦值;(3)设 tR,求| +t |的最小值.OAOP解析 (1)设 P(x,y),由点 P 在直线 OM 上,可知 与 共线,而 =(2,2),OPOM OM2x-2y=0,即 x=y,P(x,x). = - =(-

18、1-x,-3-x), = - =(5-x,3-x),PAOAOP PBOBOP =(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)PAPB=2x2-4x-14=-16x=1,P(1,1),则 =(1,1).OP(2)由(1)得 P(1,1), =(-2,-4), =(4,2),PA PB| |= =2 ,PA (-2)2+(-4)2 5| |= =2 ,PB 42+22 5cos= =- .PAPBPAPB|PA|PB| 4511APB 的余弦值为- .45(3) +t =(-1,-3)+(t,t)=(t-1,t-3),OAOP| +t |= = = .OAOP (t-1)2+(t-3)2 2t2-8t+10 2(t-2)2+2当 t=2 时,| +t |min= .OAOP 2