（天津专用）2020版高考数学大一轮复习8.3直线、平面平行的判定与性质精练.docx

1、18.3 直线、平面平行的判定与性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度直线、平面平行的判定与性质1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2016 天津文,172015 天津文,172014 天津文,17直线、平面平行的判定和性质定理的灵活应用直线、平面垂直的判定和性质定理分析解读 1.理解空间直线和平面位置关系的定义,了解直线和平面的位置关系,掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理;2.会运用直线与平面及平面与平面的位置关系,以及它们平行

2、的判定定理和性质定理解决简单的应用问题与证明问题;3.推理和证明要严谨、合理、充分;4.高考对本节内容的考查,一般通过对图形或几何体的认识,考查线线平行、线面平行、面面平行之间的转化思想,题型以解答题为主,属中档题.破考点【考点集训】考点 直线、平面平行的判定与性质1.(2016 课标文,11,5 分)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 13答案 A 2.(2016 山东文,18,12 分)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EFDB

3、.(1)已知 AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH平面 ABC.2证明 (1)因为 EFDB,所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF.连接 DE.因为 AE=EC,D 为 AC 的中点,所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDE=D,所以 AC平面 BDEF,因为 FB平面 BDEF,所以 ACFB.(2)设 FC 的中点为 I.连接 GI,HI.在CEF 中,因为 G 是 CE 的中点,I 是 FC 的中点,所以 GIEF,又 EFDB,所以 GIDB,又 DB平面 ABC,GI平面 ABC,所以 GI平面 ABC.在

4、CFB 中,因为 H 是 FB 的中点,I 是 FC 的中点,所以 HIBC,又 BC平面 ABC,HI平面 ABC,所以 HI平面 ABC.又 HIGI=I,所以平面 GHI平面 ABC.因为 GH平面 GHI,所以 GH平面 ABC.3思路分析 第(1)问连接 DE,利用等腰三角形的性质得 ACDE,ACDB,从而得线面垂直,利用线面垂直的性质得结论;第(2)问取 FC 的中点 I,连接 GI,HI,利用三角形的中位线得线线平行从而得线面平行,进而证面面平行,再利用面面平行的性质得出结论.评析本题主要考查线面垂直的判定与性质以及线面平行的判定与性质,考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力,同

5、时考查学生对转化与化归思想的应用.炼技法【方法集训】方法 1 证明线面平行的方法1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,底面 ABCD 为菱形,ABC=60,PA=AB=1,E 为PC 的中点.(1)求证:PA平面 BDE;(2)求三棱锥 P-BDE 的体积.解析 (1)证明:连接 AC,设 ACBD=O,连接 OE,则 O 为 AC 的中点,E 为 PC 的中点,PAOE,又 OE平面 BDE,PA平面 BDE,PA平面 BDE.(2)连接 AE,由(1)知 PA平面 BDE,P 到平面 BDE 的距离与 A 到平面 BDE 的距离相等,即VP-BDE=VA-BDE,又 V

6、A-BDE=VE-ABD= VP-ABD= 1 11sin120= ,12 12 13 12 324V P-BDE= .324方法 2 证明面面平行的方法42.如图,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是等腰梯形,ABCD,点 O 是线段 AB 的中点,PO平面 ABCD,PO=CD=DA= AB=4,M 是线段 PA 的中点.12(1)证明:平面 PBC平面 ODM;(2)求点 A 到平面 PCD 的距离.解析 (1)证明:由题意,得 CDBO,且 CD=BO,四边形 OBCD 为平行四边形,BCOD.BC平面 PBC,OD平面 PBC,OD平面 PBC.又O 是 AB 的中点,

7、M 是 PA 的中点,OMPB.又 OM平面 PBC,PB平面 PBC,OM平面 PBC.又 OMOD=O,平面 PBC平面 ODM.(2)取 CD 的中点 N,连接 ON,PN,如图所示,则 ONCD.PO平面 ABCD,CD平面 ABCD,POCD.又ONCD,POON=O,CD平面 PNO.PN平面 PNO,CDPN.ON,PN 分别为ACD,PCD 的公共边 CD 上的高.由题意可求得 ON=2 ,则 PN=2 ,3 7设点 A 到平面 PCD 的距离为 d.V 三棱锥 A-PCD=V 三棱锥 P-ACD,5即 42 d= 42 4,13 12 7 13 12 3d= .即点 A 到平

8、面 PCD 的距离为 .4217 4217过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组1.(2016 天津文,17,13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE= ,DE=3,BAD=60,G 为 BC 的中点.6(1)求证:FG平面 BED;(2)求证:平面 BED平面 AED;(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.解析 (1)证明:取 BD 中点 O,连接 OE,OG.在BCD 中,因为 G 是 BC 中点,所以 OGDC 且 OG=DC=1,又因为 EFAB,ABDC,所以 EFOG 且 EF=OG,即四

9、边形 OGFE 是平行四边形,所以12FGOE.又 FG平面 BED,OE平面 BED,所以,FG平面 BED.(2)证明:在ABD 中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得 BD= ,进而ADB=90,即3BDAD.又因为平面 AED平面 ABCD,BD平面 ABCD,平面 AED平面 ABCD=AD,所以 BD平面 AED.又因为 BD平面 BED,所以,平面 BED平面 AED.6(3)因为 EFAB,所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角.过点 A 作 AHDE 于点 H,连接 BH.又平面 BED平面 AED=ED,由(2)知 A

10、H平面 BED.所以,直线 AB 与平面 BED 所成的角即为ABH.在ADE 中,AD=1,DE=3,AE= ,由余弦定理得 cosADE= ,所以 sinADE= ,因此,623 53AH=ADsinADE= .53在 RtAHB 中,sinABH= = .AHAB56所以,直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值为 .56方法总结 证明线面平行常用线线平行或面面平行进行转化;在证明面面垂直时注意线、面垂直之间的相互转化;解决线面角问题的关键是找出斜线在平面内的射影,常用定义法求解.2.(2015 天津文,17,13 分)如图,已知 AA1平面ABC,BB1AA 1,AB=AC=3,BC

11、=2 ,AA1= ,BB1=2 ,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点.5 7 7(1)求证:EF平面 A1B1BA;(2)求证:平面 AEA1平面 BCB1;(3)求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小.解析 (1)证明:如图,连接 A1B.在A 1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点,所以EFBA 1.又因为 EF平面 A1B1BA,所以 EF平面 A1B1BA.7(2)证明:因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AEBC.因为 AA1平面 ABC,BB1AA 1,所以 BB1平面 ABC,从而 BB1AE.又因为 BCBB 1=B,所以 A

12、E平面 BCB1,又因为 AE平面 AEA1,所以平面 AEA1平面 BCB1.(3)取 BB1的中点 M 和 B1C 的中点 N,连接 A1M,A1N,NE.因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点,所以 NEB 1B,NE= B1B,故 NEA 1A 且 NE=A1A,所以 A1NAE,且 A1N=AE.又因为 AE平面 BCB1,所12以 A1N平面 BCB1,从而A 1B1N 为直线 A1B1与平面 BCB1所成的角.在ABC 中,可得 AE=2,所以 A1N=AE=2.因为 BMAA 1,BM=AA1,所以 A1MAB,A 1M=AB,又由 ABBB 1,有 A1MBB 1

13、.在 RtA 1MB1中,可得 A1B1= =4.B1M2+A1M2在 RtA 1NB1中,sinA 1B1N= = ,A1NA1B112因此A 1B1N=30.所以,直线 A1B1与平面 BCB1所成的角为 30.评析本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B 组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2017 课标文,6,5 分)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )答案 A 2.(2016 课标,14,5

14、 分), 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:8如果 mn,m,n,那么 .如果 m,n,那么 mn.如果 ,m,那么 m.如果 mn,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 3.(2018 课标文,19,12 分)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异CD CD于 C,D 的点.(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由.解析 本题考查平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质.(1)证明:由题设知,平面 CMD平

15、面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DMCM.CD又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)当 P 为 AM 的中点时,MC平面 PBD.理由如下:如图,连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 中点.连接 OP,因为 P 为AM 中点,所以 MCOP.MC平面 PBD,OP平面 PBD,所以 MC平面 PBD.易错警示 使用面面垂直的判定定理和性质定理进行推理证明时要使条件完备.4

16、.(2018 江苏,15,14 分)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AA 1=AB,AB1B 1C1.求证:(1)AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.9证明 本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查学生的空间想象能力和推理论证能力.(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,ABA 1B1.因为 AB平面 A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABB1A1为平行四边形.又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1为菱形,所以 AB1A 1B

17、.因为 AB1B 1C1,BCB 1C1,所以 AB1BC.又因为 A1BBC=B,A 1B平面 A1BC,BC平面 A1BC,所以 AB1平面 A1BC,又因为 AB1平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.5.(2016 课标文,19,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.(1)证明:MN平面 PAB;(2)求四面体 N-BCM 的体积.解析 (1)证明:由已知得 AM= AD=2,23取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC

18、 的中点知 TNBC,TN= BC=2.(3 分)1210又 ADBC,故 TNAM, 故四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MNAT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(6 分)(2)因为 PA平面 ABCD,N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.(9 分)12取 BC 的中点 E,连接 AE.由 AB=AC=3 得 AEBC,AE= = .AB2-BE2 5由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 ,5故 SBCM = 4 =2 .12 5 5所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM= SBCM = .(12 分)13 PA

19、2453评析本题考查了线面平行的判定,考查了求三棱锥的体积,考查了学生的空间想象力.线段的中点问题一般应用三角形的中位线求解.6.(2016 四川文,17,12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= AD.12(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM平面 PAB,并说明理由;(2)证明:平面 PAB平面 PBD.解析 (1)取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD),点 M 即为所求的一个点.理由如下:连接 CM.因为 ADBC,BC= AD,12所以 BCAM,且 BC=AM.所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CMAB.

20、又 AB平面 PAB,CM平面 PAB,所以 CM平面 PAB.(说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)11(2)证明:连接 BM,因为 ADBC,BC= AD,所以直线 AB 与 CD 相交,12因为 PAAB,PACD,所以 PA平面 ABCD.从而 PABD.因为 ADBC,BC= AD,12所以 BCMD,且 BC=MD.所以四边形 BCDM 是平行四边形.所以 BM=CD= AD,所以 BDAB.12又 ABAP=A,所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD,所以平面 PAB平面 PBD.思路分析 (1)要得到 CM平面 PAB,可以先猜出 M 点

21、所在位置再证明.(2)由已知的线线垂直想到线面垂直,再证面面垂直.评析本题考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定和性质及面面垂直的判定,熟练掌握线面平行与线面垂直的判定与性质是解题的关键.7.(2014 山东文,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AP平面 PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F 分12别为线段 AD,PC 的中点.(1)求证:AP平面 BEF;(2)求证:BE平面 PAC.证明 (1)设 ACBE=O,连接 OF,EC.由于 E 为 AD 的中点,12AB=BC= AD,ADBC,12所以 AEBC,AE=AB=BC,因此四边形 ABCE 为菱形,

22、所以 O 为 AC 的中点.又 F 为 PC 的中点,因此在PAC 中,可得 APOF.又 OF平面 BEF,AP平面 BEF,所以 AP平面 BEF.(2)由题意知 EDBC,ED=BC,所以四边形 BCDE 为平行四边形,因此 BECD.又 AP平面 PCD,所以 APCD,因此 APBE.因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BEAC.又 APAC=A,AP,AC平面 PAC,所以 BE平面 PAC.C 组 教师专用题组1.(2013 广东,6,5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若 ,m,n,则 mnB.若 ,m,n,则 mn C.若 m

23、n,m,n,则 D.若 m,mn,n,则 答案 D 2.(2013 安徽,15,5 分)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 当 0CQ 时,S 为四边形;12当 CQ= 时,S 为等腰梯形;12当 CQ= 时,S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R= ;34 1313当 CQ1 时,S 为六边形;34当 CQ=1 时,S 的面积为 .62答案 3.(2014 湖北,19,12 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A

24、1B1C1D1中,E,F,M,N 分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1上移动,且 DP=BQ=(02).(1)当 =1 时,证明:直线 BC1平面 EFPQ;(2)是否存在 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.解析 (1)证明:如图 1,连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1是正方体,知 BC1AD 1.当 =1 时,P 是 DD1的中点,又 F 是 AD 的中点,所以 FPAD 1.所以 BC1FP.而 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.

25、(2)如图 2,连接 BD.因为 E,F 分别是 AB,AD 的中点,所以 EFBD,且 EF= BD.12又 DP=BQ,DPBQ,所以四边形 PQBD 是平行四边形,故 PQBD,且 PQ=BD,从而 EFPQ,且 EF= PQ.1214在 RtEBQ 和 RtFDP 中,因为 BQ=DP=,BE=DF=1,于是 EQ=FP= ,所以四边形 EFPQ 是等腰梯形.1+ 2同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形.分别取 EF,PQ,MN 的中点为 H,O,G,连接 OH,OG,则 GOPQ,HOPQ,而 GOHO=O,故GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角.若存在 ,使

26、面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则GOH=90.连接 EM,FN,则由 EFMN,且 EF=MN,知四边形 EFNM 是平行四边形.连接 GH,因为 H,G 是 EF,MN 的中点,所以 GH=ME=2.在GOH 中,GH 2=4,OH2=1+ 2- = 2+ ,(22)2 12OG2=1+(2-) 2- =(2-) 2+ ,由 OG2+OH2=GH2,得(2-) 2+ + 2+ =4,解得 =1 ,故存(22)2 12 12 12 22在 =1 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角.224.(2014 天津文,17,13 分)如图,四棱锥 P-ABC

27、D 的底面 ABCD 是平行四边形,BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点.2 5(1)证明 EF平面 PAB;(2)若二面角 P-AD-B 为 60,(i)证明平面 PBC平面 ABCD;(ii)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.解析 (1)证明:如图,取 PB 中点 M,连接 MF,AM.15因为 F 为 PC 中点,故 MFBC 且 MF= BC.由已知有 BCAD,BC=AD.又由于 E 为 AD 中点,因而12MFAE 且 MF=AE,故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EFAM.又 AM平面 PAB,而 EF平面PAB,所以

28、EF平面 PAB.(2)(i)证明:连接 PE,BE.因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点,故 PEAD,BEAD,所以PEB为二面角 P-AD-B 的平面角.在PAD 中,由 PA=PD= ,AD=2,可解得 PE=2.在ABD 中,由5BA=BD= ,AD=2,可解得 BE=1.在PEB 中,PE=2,BE=1,PEB=60,由余弦定理,可解得 PB=2,从而PBE=90,即 BEPB.又 BCAD,BEAD,从而 BEBC,因此 BE平面 PBC.又3BE平面 ABCD,所以,平面 PBC平面 ABCD.(ii)连接 BF.由(i)知,BE平面 PBC,所以EFB 为直线

29、 EF 与平面 PBC 所成的角.由 PB=及已知,得ABP 为直角.而 MB= PB= ,可得 AM= ,故 EF= .又 BE=1,故在直角三角形312 32 112 112EBF 中,sinEFB= = .BEEF21111所以,直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .21111评析本题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【三年模拟】解答题(共 90 分)1.(2019 届天津七校联考期中,16)如图,在三棱柱 ABM-DCN 中,侧面 ABCD 为菱形,且 MA平面 ABCD.(1)求证:A

30、CBN;(2)当点 E 在 AB 的什么位置时,AN平面 MEC 成立,并加以证明.解析 (1)证明:连接 BD,由题意得 ACBD,又因为 MA平面 ABCD,MADN,所以 DN平面 ABCD,所以 ACDN.16因为 DNDB=D,所以 AC平面 NDB,又因为 BN平面 NDB,所以 ACBN.(2)当 E 为 AB 的中点时,有 AN平面 MEC.设 CM 与 BN 交于 F,连接 EF,由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形,所以 F 是 BN 的中点.因为 E 是 AB 的中点,所以 ANEF.又 EF平面 MEC,AN平面 MEC,所以 AN平面 MEC.2.(2018 天津

31、十二区县一模,17)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1A平面ABC,AC=BC,AB=2A1A=4,以 AB,BC 为邻边作平行四边形 ABCD,连接 A1D,DC1.(1)求证:DC 1平面 A1ABB1;(2)若二面角 A1-DC-A 为 45.求证:平面 A1C1D平面 A1AD;求直线 AB1与平面 A1AD 所成角的正切值.解析 (1)证明:由题意知 ADBCB 1C1且 AD=BC=B1C1,四边形 ADC1B1为平行四边形,AB 1DC 1,又AB 1平面 A1ABB1,DC1平面 A1ABB1,DC 1平面 A1ABB1.(2)证明:取 DC 中点 M,连接 A1M,

32、AM,易知 RtA 1ADRtA 1AC,17A 1D=A1C,A 1MDC,又易知 AMDC,A 1MA 为二面角 A1-DC-A 的平面角,A 1MA=45,在 RtA 1AM 中,AA 1=AM=2,AD=AC=2 ,2AC 2+AD2=DC2,ACAD,由题知 ACAA 1,ADAA 1=A,AC平面 A1AD,又ACA 1C1,A 1C1平面 A1AD,又A 1C1平面 A1C1D,平面 A1C1D平面 A1AD.AB 1C 1D,C 1D 与平面 A1AD 所成角与 AB1与平面 A1AD 所成角相等,由知 C1A1平面 A1AD,A 1D 为线段 C1D 在平面 A1AD 内的射

33、影,A 1DC1为直线 DC1与平面 A1AD 所成的角,在 RtA 1DC1中,tanA 1DC1= = ,A1C1A1D 63直线 AB1与平面 A1AD 所成角的正切值为 .633.(2018 天津河北一模,17)如图,平面 ABE平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,CBA=90,ADBCEF,ABE 为等边三角形,AB=2 ,BC=2,AD=4,EF=3,G 为 CD 的中点.3(1)求证:FG平面 ABE;(2)求证:平面 CDF平面 ABCD;(3)求直线 AF 与平面 CDF 所成角的正切值.解析 (1)证明:取 AB 的中点 H,连接 EH,GH,则 GH 为直角梯形

34、 ABCD 的中位线,18GH= (AD+BC)=3,GHAD,12又 EF=3,EFAD,GHEF,GH=EF,四边形 EFGH 是平行四边形,故 EHFG,又 FG平面 ABE,EH平面 ABE,FG平面 ABE.(2)证明:ABE 是等边三角形,EHAB,又平面 ABE平面 ABCD,平面 ABE平面 ABCD=AB,EH平面 ABE,EH平面 ABCD,又 EHFG,FG平面 ABCD,又 FG平面 CDF,平面 CDF平面 ABCD.(3)连接 AC,AG,在直角梯形 ABCD 中,AC= =4,又 AD=4,G 为 CD 中点,AGCD.AB2+BC2又 FG平面 ABCD,AG平

35、面 ABCD,FGAG,AG平面 FCD,AFG 为直线 AF 与平面 CDF 所成的角,CD= =4,AC=4,AG= =2 ,AB2+(AD-BC)2 AC2-CG2 3ABE 是等边三角形,AB=2 ,3FG=EH=3,tanAFG= = .AGFG2334.(2018 天津南开二模,17)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,PCAD,PA=AB=BC,点 E在棱 PB 上,且 PE=2EB,ABDC,ABBC.(1)求证:平面 PAB平面 PCB;(2)求证:PD平面 EAC;(3)求二面角 A-CD-P 的正切值.解析 (1)证明:PA底面 ABCD,BC平面 ABC

36、D,PABC,19ABBC,PAAB=A,BC平面 PAB,BC平面 PCB,平面 PAB平面 PCB.(2)证明:PA底面 ABCD,AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影.又PCAD,ACAD.ABBC,AB=BC,BAC=45,又 ABDC,DCA=BAC=45,故DAC 为等腰直角三角形,DC= AC=2AB.2连接 BD,交 AC 于点 M,连接 EM,则 = =2.DMMBDCAB在BPD 中, = =2,PEEBDMMBPDEM,又PD平面 EAC,EM平面 EAC,PD平面 EAC.(3)取 DC 中点 H,连接 AH,PH,由(2)可知DAC 为等腰直角三角形,AHDC.

37、PA底面 ABCD,CD平面 ABCD,PACD,又 AHPA=A,CD平面 PAH,CDPH,PHA 即为二面角 A-CD-P 的平面角,tanPHA= =1.PAAH205.(2018 天津部分区县期末,17)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,BCF 为正三角形,G,H 分别为 BC,EF 的中点,EF=4 且 EFAB,EFFB.(1)求证:GH平面 EAD;(2)求证:FG平面 ABCD;(3)求 GH 与平面 ABCD 所成角的正弦值.解析 (1)证明:如图,取 AD 的中点 M,连接 EM,GM,因为四边形 ABCD 是边长为 2 的正

38、方形,M、G 分别为 AD、BC 的中点,所以 MGAB,又 EFAB,所以 MGEF,因为 H 为 EF 的中点,EF=4,AB=2,所以 EH=AB=MG,所以四边形 EMGH 为平行四边形,所以 GHEM,又因为 GH平面 EAD,EM平面 EAD,所以 GH平面 EAD.(2)证明:因为 EFFB,EFAB,所以 ABFB,在正方形 ABCD 中,ABBC,BCFB=B,所以 AB平面 FBC,又 FG平面 FBC,所以 ABFG,在正三角形 FBC 中,FGBC,又 ABBC=B,所以 FG平面 ABCD.(3)如图,连接 HM,由(1)(2)可知 HM平面 ABCD,所以HGM 为

39、 GH 与平面 ABCD 所成的角,在 RtHGM 中,HM= ,MG=2,3所以 HG= = ,所以 sinHGM= = = .HM2+MG2 7HMHG37 217216.(2018 天津部分区县二模,17)在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,FC平面 ABCD,EDFC,点 G为 AB 的中点,且 FC=AB=2ED=2CD=2,ABC=60.(1)求证:AE平面 GCF;(2)求证:平面 ACF平面 BCF;(3)求直线 FB 与平面 ADE 所成角的正弦值.解析 (1)证明:取 FC 的中点 N,连接 EN,因为 EDFC,FC=2ED,所以 ED 平行且等于 NC,所以四边形 ED

40、CN 是平行四边形,所以 EN 平行且等于 DC,连接 NG,因为 DC 平行且等于 AG,所以 EN 平行且等于 AG,所以四边形 EAGN 是平行四边形,所以 EANG,又 EA平面 GCF,NG平面 GCF,所以 AE平面 GCF.(2)证明:因为 DC 平行且等于 AG,所以四边形 AGCD 为平行四边形,所以 AD=CG,因为 AD=BC,所以 BC=GC,因为ABC=60,所以BCG 为等边三角形,因为 AB=2,所以 BC=BG= AB=1,由余弦定理得12AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=3,所以 AC2+BC2=AB2,即ACB=90,所以 ACBC,又 ACC

41、F,BCFC=C,所以 AC平面 BCF,又 AC平面 ACF,所以平面 ACF平面 BCF.(3)因为 EDFC,ED平面 GCF,FC平面 GCF,所以 ED平面 GCF,22由(1)知 AE平面 GCF,且 AEED=E,所以平面 ADE平面 GCF,所以直线 FB 与平面 ADE 所成的角也为直线 FB 与平面 GCF 所成的角.由(2)知 CG=BG=BC=1,设 Q 为 CG 中点,连接 BQ,FQ,所以 BQGC.因为 FC平面 ABCD,所以 FCBQ,因为 FCGC=C,所以 BQ平面 GCF,所以BFQ 为直线 FB 与平面 ADE 所成的角,因为 BQ= CG= ,32

42、32在直角BCF 中,FB= = ,又 sinBFQ= = = ,FC2+BC2 5BQFB325 1510所以直线 FB 与平面 ADE 所成角的正弦值为 .15107.(2017 天津耀华中学第二次月考,17)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD平面 ABCD,ADCD,且 DB 平分ADC,AC 与 BD 交于点 O,E 为 PC 的中点,AD=CD=1,PD=2,DB=2 .2(1)证明:PA平面 BDE;(2)证明:AC平面 PBD;(3)求三棱锥 B-AEC 的体积.解析 (1)证明:连接 OE,在ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分ADC,所以 O 为 AC 的中点,又

43、由题设知 E 为 PC 的中点,故 EO 是三角形 PAC 的中位线,故 EOPA,又 EO平面 BDE,PA平面 BDE,所以 PA平面 BDE.(2)证明:因为 PD平面 ABCD,AC平面 ABCD,所以 PDAC.因为 AD=CD,DB 平分ADC,所以 BDAC,又 PDBD=D,故 AC平面 PBD.(3)取线段 CD 的中点 F,连接 EF,则 EFPD,因为 PD平面 ABCD,所以 EF平面 ABCD,EF=1,因为ADC 为等腰直角三角形,AD=CD=1,23所以 AC= ,DO= ,OB= ,222 322所以 VB-AEC=VE-ABC= SABC EF= .13 12解题分析 本题考查证明线面平行、线面垂直的方法,求棱锥的体积,推出 AC 垂直于 BD 是解题的关键.