1、16.2 等差数列挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 浙江,6 等差数列的概念 三角形面积2015 浙江,3等差数列的通项公式、前 n 项和等比数列等差数列的有关概念及运算1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.掌握等差数列的前 n 项和公式.4.了解等差数列与一次函数之间的关系.2014 浙江文,19等差数列的前 n 项和等差数列的性质及应用能利用等差数列的性质解决有关问题.2017 浙江,6等差数列的前 n 项和充分条件与必要条件分析解读 1.等差数列知识属于常考内容.2.考查等差数列定义、性质、通项公式、前 n 项和公式等知
2、识.3.灵活运用通项公式、前 n 项和公式处理最值问题、存在性问题是高考的热点.4.以数列为背景,考查学生归纳、类比的能力.5.预计 2020 年高考试题中,等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的考查必不可少.复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点一 等差数列的有关概念及运算1.(2018 浙江绍兴高三 3 月适应性模拟,13)设 Sn为等差数列a n的前 n 项和,满足S2=S6, - =2,则 a1= ,公差 d= . 5544答案 -14;422.(2018 浙江稽阳联谊学校高三联考,13)九章算术是我国古代著名的数学著作,其中有一道数列问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,
3、齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,问几日相逢及各行几何?”请研究本题,并给出下列结果:两马同时出发后第 9 天,良马日行 里,从长安出发后第 天两马第一次相遇. 答案 297;16考点二 等差数列的性质及应用1.(2018 浙江嵊州高三期末质检,7)设等差数列a n的前 n 项的和为 Sn,若 a60,且a7|a6|,则( ) A.S11+S120C.S11S120答案 C 2.(2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一,13)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a10,S8=S11,则a10= ;使 Sn取到最大值
4、的 n 为 . 答案 0;9 或 10炼技法【方法集训】方法 1 等差数列中“基本量法”解题的方法1.(2018 浙江新高考调研卷一(诸暨中学),5)已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a1=3,若 a2,a3,a6成等比数列,则a n前 n 项和的最大值为( ) A.3 B. -1 C.-5 D.-3答案 A 2.(2018 浙江杭州地区重点中学期中,14)设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为Sn,且 S5S6=-15,则 d 的取值范围是 ;若 a1=-7,则 d 的值为 . 答案 (-,-2 2 ,+);3 或2 23310方法 2 等差数列的判定方法1.(2
5、018 浙江杭州地区重点中学第一学期期中,4)已知数列a n是等差数列,则数列b n一定为等差数列的是( )A.bn=|an| B.bn= C.bn=-an D.bn=1 23答案 C 2.(2017 浙江金华十校调研,6)若等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn,记 bn= ,则( )A.数列b n是等差数列,且公差为 dB.数列b n是等差数列,且公差为 2dC.数列a n+bn是等差数列,且公差为 dD.数列a n-bn是等差数列,且公差为答案 D 过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 等差数列的有关概念及运算1.(2016 浙江,6,5 分)如图,点列A n,B
6、n分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnA n+2,nN *,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnB n+2,nN *.(PQ 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn=|AnBn|,Sn为A nBnBn+1的面积,则( ) A.Sn是等差数列 B. 是等差数列2C.dn是等差数列 D. 是等差数列2答案 A 2.(2015 浙江,3,5 分)已知a n是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn.若 a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40答案 B 43.(2014 浙江文,19,14 分)已知等差数列a n的
7、公差 d0.设a n的前 n 项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求 d 及 Sn;(2)求 m,k(m,kN *)的值,使得 am+am+1+am+2+am+k=65.解析 (1)由题意知(2a 1+d)(3a1+3d)=36,将 a1=1 代入上式解得 d=2 或 d=-5.因为 d0,所以 d=2.从而 an=2n-1,Sn=n2(nN *).(2)由(1)得 am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由 m,kN *知 2m+k-1k+11,故 2+-1=13,+1=5, 所以 =5,=4.评析 本题主要考查等差数列的
8、概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力.考点二 等差数列的性质及应用(2017 浙江,6,4 分)已知等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 等差数列的有关概念及运算1.(2018 课标全国理,4,5 分)记 Sn为等差数列a n的前 n 项和.若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12答案 B 2.(2017 课标全国理,4,5 分)记 Sn
9、为等差数列a n的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则a n的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 C 53.(2017 课标全国理,9,5 分)等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则a n前 6 项的和为( )A.-24 B.-3 C.3 D.8答案 A 4.(2016 课标全国,3,5 分)已知等差数列a n前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( )A.100 B.99 C.98 D.97答案 C 5.(2018 北京理,9,5 分)设a n是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则a n的通项公式为 .答案
10、a n=6n-36.(2017 课标全国理,15,5 分)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 = .=11答案 2+17.(2016 江苏,8,5 分)已知a n是等差数列,S n是其前 n 项和.若 a1+ =-3,S5=10,则 a9的值22是 . 答案 208.(2016 北京,12,5 分)已知a n为等差数列,S n为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 S6= .答案 69.(2018 北京文,15,13 分)设a n是等差数列,且 a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求a n的通项公式;(2)求 + + .12 解析 (1)设a
11、n的公差为 d.因为 a2+a3=5ln 2,所以 2a1+3d=5ln 2.又 a1=ln 2,所以 d=ln 2.所以 an=a1+(n-1)d=nln 2.6(2)因为 =eln 2=2, = =eln 2=2,1 -1-1所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.所以 + + =2 =2(2n-1).12 1-21-210.(2016 山东,18,12 分)已知数列a n的前 n 项和 Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且 an=bn+bn+1.(1)求数列b n的通项公式;(2)令 cn= ,求数列c n的前 n 项和 Tn.(+1)+1(+2)解析 (1)由题意知,当 n2 时
12、,a n=Sn-Sn-1=6n+5.当 n=1 时,a 1=S1=11,所以 an=6n+5.设数列b n的公差为 d.由 即1=1+2,2=2+3, 11=21+,17=21+3,可解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1.(2)由(1)知 cn= =3(n+1)2n+1.(6+6)+1(3+3)又 Tn=c1+c2+cn,得 Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-T n=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=34+4(1-2)1-2 -(+1)2+2=-3n2n+2.所以 Tn=3n2n+2.方法总结 若某
13、数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前 n 项和可以采用错位相减法求解,注意相减后的项数容易出错.评析 本题主要考查了等差数列及前 n 项和,属中档题.11.(2014 大纲全国,18,12 分)等差数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2为整数,且SnS 4.7(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和 Tn.1+1解析 (1)由 a1=10,a2为整数知,等差数列a n的公差 d 为整数.又 SnS 4,故 a40,a 50,于是 10+3d0,10+4d0.解得- d-.103因此 d=-3.故数列a n的通项公式为 an
14、=13-3n.(6 分)(2)bn= = .(8 分)1(13-3)(10-3)13( 110-3- 113-3)于是 Tn=b1+b2+bn=13(17-110)+(14-17)+( 110-3- 113-3)= = .(12 分)13( 110-3-110) 10(10-3)评析 本题考查了等差数列的定义及其前 n 项和、裂项相消法求数列前 n 项和.第(1)问的解题关键在于分析已知条件“a 2为整数”“S nS 4”中隐含的条件;第(2)问,对通项公式 bn进行裂项相消的过程中易漏了系数而导致错解.考点二 等差数列的性质及应用1.(2015 北京,6,5 分)设a n是等差数列.下列结论
15、中正确的是( )A.若 a1+a20,则 a2+a30B.若 a1+a3 13D.若 a10答案 C 2.(2015 重庆,2,5 分)在等差数列a n中,若 a2=4,a4=2,则 a6= ( )A.-1 B.0 C.1 D.6答案 B 3.(2015 广东,10,5 分)在等差数列a n中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8= . 答案 1084.(2014 北京,12,5 分)若等差数列a n满足 a7+a8+a90,a7+a100 C.a1d0答案 C 3.(2015 安徽,13,5 分)已知数列a n中,a 1=1,an=an-1+ (n2),则数列a n的前 9
16、 项和等于 .答案 274.(2017 课标全国,17,12 分)记 Sn为等比数列a n的前 n 项和.已知 S2=2,S3=-6.(1)求a n的通项公式;(2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析 本题考查等差、等比数列.(1)设a n的公比为 q,由题设可得 1(1+)=2,1(1+2)=-6.解得 q=-2,a1=-2.故a n的通项公式为 an=(-2)n.(2)由(1)可得 Sn= =-+(-1)n .1(1-)1- 2+13由于 Sn+2+Sn+1=-+(-1)n2+3-2+23=2 =2Sn,-23+(-1)2+13 故 Sn+1,Sn,Sn+2成等
17、差数列.方法总结 等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:a n+1-an=d,常用于等差数列的证明.通项公式:a n=a1+(n-1)d.前 n 项和公式:S n= =na1+ d.(1+)2 (-1)210(2)等比数列:递推关系式: =q(q0),常用于等比数列的证明.+1通项公式:a n=a1qn-1.前 n 项和公式:S n=1(=1),1(1-)1- (1).(3)在证明 a,b,c 成等差、等比数列时,还可以利用等差中项: =b 或等比中项:ac=b 2+2来证明.5.(2015 福建,17,12 分)等差数列a n中,a 2=4,a4+a7=15.(1)求数列a
18、n的通项公式;(2)设 bn= +n,求 b1+b2+b3+b10的值.2-2解析 (1)设等差数列a n的公差为 d.由已知得 1+=4,(1+3)+(1+6)=15,解得 1=3,=1.所以 an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得 bn=2n+n.所以 b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)= +2(1-210)1-2 (1+10)102=(211-2)+55=211+53=2 101.评析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题
19、(每小题 4 分,共 12 分)1.(2019 届浙江名校协作体高三联考,9)已知公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若存在正整数 n0,对任意正整数 m,使得 0 D. 00 0+1 0+1 0+2答案 C 2.(2018 浙江温州高三质量检查,5)已知数列a n满足 =25 ,且 a2+a4+a6=9,则5+1 5lo (a5+a7+a9)=( ) 13A.-3 B.3 C.- D.答案 A 3.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中,5)已知等差数列a n,Sn表示前 n 项的和,a5+a110,a6+a90,所以 Sn0,所以 Sn=2 .(4 分)当 n2 时,a n=
20、Sn-Sn-1=2 -2 , -1当 n=1 时,a 1=2 也满足上式,所以 an=2 -2 (nN *).(6 分) -1(2)由(1)知 Sn=2 ,所以 = = = - .(8 分)1 12 1+ 1+1+ +1 所以 + + -1.(10 分)11121+1又因为 = 0,即 M1M3M4,1034(M n)max=M2=10 -1= ,(13+14) 296S 2n-Sn的最大值为 S4-S2= .2969.(2018 浙江金丽衢十二校第三次联考(5 月),22)有一列数 a0,a1,a2,a3,对任意的m,nN,mn,满足 2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知 a1=
21、2.(1)求 a0,a2,a3 ;(2)证明:对一切 nN *,数列a n+1-an为等差数列;(3)若对一切 nN *, + + 恒成立,求 的最小值.11121解析 (1)令 m=n=0,得 a0=0,令 m=n=1,得 a2=6,令 m=2,n=1,得 a3=12.(2)证明:令 n=1,得 2am+4-2=am+1+am-1,即(a m+1-am)=(am-am-1)+2.所以数列a n+1-an是公差为2 的等差数列.(3)因为 an+1-an=(a1-a0)+n2=2(n+1),所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+2+0=n(n+1).所以 + + = + + =1- ,要使 1- 恒成立, 的最小值为 1.11121 112 123 1(+1) 1+1 1+1
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