1、1第二节 函数的单调性与最值A 组 基础题组1.已知函数 f(x)= ,则该函数的单调递增区间为( ) x2-2x-3A.(-,1 B.3,+)C.(-,-1 D.1,+)答案 B 设 t=x2-2x-3,由 t0 得 x2-2x-30,解得 x-1 或 x3.所以函数的定义域为(-,-13,+).因为函数 t=x2-2x-3 的图象的对称轴为直线 x=1,所以函数 t 在(-,-1上单调递减,在3,+)上单调递增.所以函数 f(x)的单调递增区间为3,+).2.定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(x)在(-,2)上是增函数,则( )A.f(-1)f(3)C.f
2、1)=f(3) D.f(0)=f(3)答案 A 依题意得 f(3)=f(1),因为-13(a-3)x+2,x 1,-4a-lnx,x1 0 成立,则实数 a 的取值范围是( )A.(-,3 B.(-,3) C.(3,+) D.1,3)答案 D 由(x 1-x2)f(x2)-f(x1)0,得(x 1-x2)f(x1)-f(x2)0,0,x=0,-1,x1,0,x=1,-x2,x0,x0).1a1x(1)求证:f(x)在(0,+)上是增函数;(2)若 f(x)在 上的值域是 ,求 a 的值.12,2 12,2解析 (1)证明:任取 x1,x2(0,+),且 x2x1,则 x2-x10,x1x2
3、0,f(x2)-f(x1)= - = - = 0,f(x 2)f(x1),(1a-1x2)(1a-1x1)1x11x2x2-x1x1x2f(x)在(0,+)上是增函数.(2)f(x)在 上的值域是 ,12,2 12,2f(x)在 上单调递增,12,2f = ,f(2)=2.易得 a= .(12)12 259.判断并证明函数 f(x)=ax2+ (其中 10,20,故 f(x2)-f(x1)0,1x1x2即 f(x2)f(x1),故当 a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.B 组 提升题组1.(2019 山东青岛模拟)若 f(x)=-x2+4mx 与 g(x)= 在区间2,4上都是减函数,
4、则 m 的取值范围是( ) 2mx+1A.(-,0)(0,1B.(-1,0)(0,1C.(0,+) D.(0,1答案 D 函数 f(x)=-x2+4mx 的图象开口向下,且以直线 x=2m 为对称轴,若在区间2,4上是减函数,则2m2,解得 m1;g(x)= 的图象由 y= 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间2,4上是减函数,则2mx+1 2mx2m0,解得 m0.综上可得,m 的取值范围是(0,1.故选 D.2.(2018 甘肃肃南调研)已知函数 f(x)=lnx+2x,若 f(x2-4)0),且 f(x)在0,1上的最小值为 g(a),求 g(a)的最大值.1a解析 f(x)= x+ ,(a-1a) 1a当 a1 时,a- 0,1a此时 f(x)在0,1上为增函数,g(a)=f(0)= .1a当 00 且 f(x)在(1,+)上单调递减,求 a 的取值范围.解析 (1)证明:任取 x1,x2(-,-2),且 x10,x1-x20,x2-x10,又由题意知 f(x1)-f(x2)0,所以(x 1-a)(x2-a)0 在(1,+)上恒成立,所以 a1.所以 0a1.
