1、1第 7讲 二次函数与幂函数1.二次函数的图像和性质解析式 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0(a0)恒成立的充要条件是“ a0且 0,则函数 y=ax2+bx的大致图像是 (填序号) . 图 2-7-16.设二次函数 f(x)=x2-x+a(a0),若 f(m)”“np B.mpnC.npm D.pnm(2)2018乌鲁木齐二模 已知点( m,8)在幂函数 f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f ,b=f(ln ), c=f ,则 a,b,c的大小关系为 ( )(33) (22)A.a4ac; 2a-b=1;a-b+c= 0; 5a0(a0)恒成立,即转化为(2)对
2、于轴定区间不定的一元二次不等式恒成立问题,可结合对称轴的情况,a0,b2-4acf(cx)D.不确定3.【微点 2】已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间( - ,5上为减函数,则实数 a的取值范围为 . 4.【微点 4】若一元二次不等式 2kx2+kx- 0,且过原点,故大致图像是 .b2a6. 解析 f(x)=x2-x+a图像的对称轴为直线 x= ,且 f(1)0,f(0)0,而 f(m)120.7.m - 解析 当 m=0时,函数在给定区间上是增函数,不合题意;当 m0 时,函数是二次16函数,其图像的对称轴为直线 x=- ,依题意知 解得 m - .12m m0,10-2a
3、0,a+110-2a,99.(- ,1) 解析 当 m0时,根据题意知 mpm,故选 C.(2)函数 f(x)=(m-1)xn为幂函数,所以 m=2.由题意,点(2,8)在幂函数的图像上,即 8=2n,所以 n=3,即 f(x)=x3,则 f(x)在(0, + )上是增函数,又 0,即 b24ac, 正确 .对称轴为直线 x=-1,即 - =-1,即 2a-b=0, 错误 .b2a结合图像知,当 x=-1时, y0,即 a-b+c0, 错误 .由对称轴为直线 x=-1知, b=2a,又函数图像开口向下,所以 a0,且-110,0) (0,110其图像的对称轴为直线 x=1.因为 ,- , 与对
4、称轴之间的距离分别为 | -1|, ,| -1|,且 | -232 3 2 |-32-1| 3 21|f(2x).f (3x) f(2x),即 f(bx) f(cx).故选 A.123.a -4 解析 易知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2的图像开口向上,且以直线 x=1-a为对称轴,若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间( - ,5上是减函数,则 51 -a,即 a -4.4.(-3,0) 解析 由题意知 k1时,函数图像如图 所示,函数 f(x)在区间 t,t+1上为增函数,所以最小值为 f(t)=t2-2t+2.综上可知, f(x)min=t2+1,t1.例 4 配合例 6使用 函数 f(x)=a2x+3ax-2(a1),若在区间 -1,1上 f(x)8 恒成立,则 a的最大值为 . 答案 2解析 令 ax=t,因为 a1,x -1,1,所以 t a,原函数可化为 g(t)=t2+3t-2,显然 g(t)1a在 上单调递增,所以 f(x)8 恒成立,即 g(t)max=g(a)8 恒成立,所以有 a2+3a-28,1a,a解得 -5 a2,又 a1,所以 a的最大值为 2.
