1、第一节 集合及其运算,1.元素与集合,2.集合间的基本关系,3.集合的基本运算,教材研读,考点一 集合的基本概念,考点二 集合间的基本关系,考点三 集合的基本运算,考点突破,考点四 集合中的新定义问题,2.集合间的基本关系,提醒 (1)“”与“ ”的区别:ABA=B或A B,若AB和A B同时成立,则A B更准确.,(2),0和的区别,是集合,不含有任何元素,0含有一个元素0; 含有一个元素,且和都正确. (3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能 性,如:若AB,则要考虑A=和A两种情况.,3.集合的基本运算,知识拓展 1.非常规性表示常用数集:如x|x=2(n-1)
2、,nZ为偶数集,x|x=4n1,n Z为奇数集等. 2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子 集. (2)任何一个集合是它本身的子集; (3)对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC(真子集也满足).,3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子 集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集. 4.(1)并集的性质:A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA; (2)交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB; (3)补集的性质:A(UA)=U;A(UA)=;U(UA)=A;U(AB)=( UA)(UB);U(AB)=
3、(UA)(UB).,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1. ( ) (2)若x2,1=0,1,则x=0,1. ( ) (3)x|x1=t|t1. ( ) (4)对于任意两个集合A,B,(AB)(AB)恒成立. ( ) (5)若AB=AC,则B=C. ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.若集合A=xN|x ,a=2 ,则下面结论中正确的是 ( ) A.aA B.aA C.aA D.aA,答案 D 因为a=2 N,A=xN|x ,所以aA.,D,3.(2018课标全国,1,5分)已知集合A=0,2,B=
4、-2,-1,0,1,2,则AB= ( ) A.0,2 B.1,2 C.0 D.-2,-1,0,1,2,答案 A 本题主要考查集合的基本运算. A=0,2,B=-2,-1,0,1,2,AB=0,2,故选A.,A,4.(教材习题改编)满足0,1A0,1,2,3的集合A的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 由题意得A可为0,1,0,1,2,0,1,3,0,1,2,3.,5.若全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,3,B=2,3,4,则U(AB)= .,答案 1,4,5,D,6.(教材习题改编)已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个 数为 .,答案
5、2,解析 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以AB=2,4,所以AB中 元素的个数为2.,集合的基本概念,考点突破,典例1 (1)(2018课标全国,2,5分)已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,y Z,则A中元素的个数为 ( ) A.9 B.8 C.5 D.4 (2)已知a,bR,若 =a2,a+b,0,则a2 018+b2 018=( ) A.1 B.0 C.-1 D.1,A,A,答案 (1)A (2)A,解析 (1)本题主要考查集合的含义与表示. 由题意可知A=(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1
6、),故 集合A中共有9个元素,故选A. (2)由已知得a0,则 =0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中 元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 018+b2 018=(-1)2 018+02 018=1.,方法技巧 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集; (2)看这些元素满足什么限制条件; (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数. 易错警示 要注意检验集合中元素的互异性,如本例(2).,1-1 设集合A=0,1,2,3,B=x|-xA,1-xA,则集合B中元素的个数为 ( ) A.1 B.2
7、 C.3 D.4,答案 A 若xB,则-xA,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0B时,1-0=1A; 当-1B时,1-(-1)=2A;当-2B时,1-(-2)=3A;当-3B时,1-(-3)=4A, 所以B=-3,故集合B中元素的个数为1.,A,1-2 已知集合A=xN|18 B.k8 C.k16 D.k16,答案 C 因为集合A中至少有3个元素,所以log2k4,所以k24=16,故选 C.,C,1-3 已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为 .,答案 -,解析 因为3A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3,
8、所以m=1不符合题意,舍去; 当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去), 此时m+2= 3符合题意. 所以m=- .,集合间的基本关系,典例2 (1)已知集合A=x|x2-2x-30,xN,则集合A的真子集的个数为 ( ) A.7 B.8 C.15 D.16 (2)已知集合A=x|x2-x-20,B=x|-1x1,则 ( ) A.A B B.B A C.A=B D.AB= (3)已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的 取值范围是 .,C,B,答案 (1)C (2)B (3)(-,3,解析 (1)由题意得A=0,1,2,3,则集合A的真子集的个数为24-1
9、=15. (2)因为A=x|x2-x-20=x|-1x2,B=x|-1x1,所以BA,故选B. (3)当B=时,有2m-1m+1, 此时m2; 当B时,有 解得2m3. 综上可得,实数m的取值范围是(-,3.,探究 (变条件)若将本例(3)中的“A=x|-2x5”改为“A=x|x5”,求实数m的取值范围.,解析 当B=时,有2m-14. 综上可知,实数m的取值范围是(-,2)(4,+).,方法技巧 1.判断两集合间的关系的方法 (1)对描述法表示的集合,把集合化简后,从表达式中寻找两集合间的关 系. (2)对于用列举法表示的集合,从元素中寻找关系. 2.根据两集合间的关系求参数的方法 已知两个
10、集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点 的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴、Venn图等来解决这 类问题.,2-1 已知集合A=x|y= ,xR,B=x|x=m2,mA,则 ( ) A.A B B.B A C.AB D.A=B,B,答案 B 由题意知A=x|-1x1, B=x|x=m2,mA=x|0x1, B A,故选B.,2-2 已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN,则满足条件A CB的集合C的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,A=1,2. 由题意知B=1,2,3,4, 满足条件
11、的C为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4.,D,2-3 若集合A=1,2,B=x|x2+mx+1=0,xR,且BA,则实数m的取值范 围是 .,答案 -2,2),解析 若B=,则=m2-40,解得-2m2; 若1B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B=1,符合题意; 若2B,则22+2m+1=0, 解得m=- ,此时B= ,不合题意. 综上所述,实数m的取值范围是-2,2).,集合的基本运算 命题方向一 集合的运算 典例3 (1)(2018课标全国,1,5分)已知集合A=x|x-10,B=0,1,2,则 AB= ( ) A.0 B.1 C.1,2 D.0,1,2 (2)(20
12、18天津,1,5分)设集合A=1,2,3,4,B=-1,0,2,3,C=xR|-1x2, 则(AB)C= ( ) A.-1,1 B.0,1 C.-1,0,1 D.2,3,4,C,C,(3)(2018课标全国,2,5分)已知集合A=x|x2-x-20,则RA= ( ) A.x|-12 D.x|x-1x|x2,答案 (1)C (2)C (3)B,解析 (1)A=x|x-10=x|x1,B=0,1,2,AB=1,2,故选C. (2)由题意得AB=1,2,3,4,-1,0,(AB)C=1,2,3,4,-1,0xR|-1 x2,RA=x|-1x2.故选B.,B,命题方向二 利用集合的运算求参数 典例4
13、(1)(2019广东二模)已知xR,集合A=0,1,2,4,5,集合B=x-2,x,x +2,若AB=0,2,则x= ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 (2)已知集合A=x|x2-x-120,B=x|xm.若AB=x|x4,则实数m的取 值范围是 ( ) A.(-4,3) B.-3,4 C.(-3,4) D.(-,4,B,B,答案 (1)B (2)B,解析 (1)因为A=0,1,2,4,5,B=x-2,x,x+2,且AB=0,2, 所以 或 当x=2时,B=0,2,4,AB=0,2,4(舍); 当x=0时,B=-2,0,2,AB=0,2,符合题意. 综上,x=0.故选B. (2)集合A
14、=x|x4,AB=x|x4,-3m4,故选B.,规律总结 1.集合运算的常用方法 (1)若集合中的元素是离散的,则常用Venn图求解. (2)若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情 况.,2.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. (2)若集合能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系, 再列方程(组)求解. 在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).,3-1 已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合P=1,3,5,Q=1,2,4,则(UP)Q= ( ) A.1 B.3,5 C.1
15、,2,4,6 D.1,2,3,4,5,答案 C U=1,2,3,4,5,6,P=1,3,5, UP=2,4,6, Q=1,2,4,(UP)Q=1,2,4,6.,C,3-2 若集合A=x|-1x1,xR,B=x|y= ,xR,则AB= ( ) A.(0,1 B.(-1,+) C.(-1,1)2,+) D.,答案 C 由题意得B=x|x2,所以AB=x|-1x1或x2,故选C.,C,3-3 已知集合P=x|-1x1,M=a,若PM=,则a的取值范围是 ( ) A.(-,-1 B.1,+) C.-1,1 D.(-,-1)(1,+),答案 D 集合P=x|-1x1,M=a,PM=,a1,即a的 取值范
16、围是(-,-1)(1,+).故选D.,D,集合中的新定义问题,典例5 (1)定义集合的商集运算为 = ,已知集合A= 2,4,6,B= ,则集合 B中的元素个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 (2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B=x|xA,且xB.若A=xN|0 x5,B=x|x2-7x+100,则A-B= ( ) A.0,1 B.1,2 C.0,1,2 D.0,1,2,5,B,D,答案 (1)B (2)D,解析 (1)由题意知,B=0,1,2, = ,则 B=,共有7个元素.故选B. (2)A=xN|0x5=0,1,2,3,4,5,B=x|x2-7x+100=x|2x5,
17、A-B =x|xA,且xB,A-B=0,1,2,5.故选D.,方法技巧 解决集合中的新定义问题的方法 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析 新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具 体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用 好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因 素,在关键之处用好集合的运算与性质.,4-1 设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k-1A且k+1A,那 么k是A的一个“单一元”,给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成 的所有集合中,不含“单一元”的集合共有 个.,答案 6,解析 符合题意的集合为1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8, 共6个.,
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