2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理.pptx

1、第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式,第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 任意角与弧度制,考点2 任意角的三角函数,考点3 同角三角函数的基本关系式,考点4 诱导公式,考法1 三角函数定义的应用,考法2 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来

2、看,本讲的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用,单独命题的概率较低.本讲知识多作为工具考查三角恒等变换或研究三角函数的图象与性质,以选择题和填空题为主,分值5分. 2.学科核心素养 本讲通过三角函数的概念、同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算素养及分类讨论思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 任意角与弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.任意角,考点1 任意角与弧度制,(1)角的分类,(3)终边相同的角 所有与角终边相同的角连同角在内,可构成一个集合：S=|=+k

3、360,kZ=|=+2k,kZ.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)象限角,2.弧度制,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,名师提醒 1.把弧度作为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写,但把度()作为单位表示角时,度()就一定不能省略; 2.正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零; 3.在一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.任意角的三角函数的定义 设角终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sin = ,cos= ,tan = (x0). 2.三角函数值在各象限内的符号上述

4、符号规律可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.,考点2 任意角的三角函数,3.三角函数线 设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点,则有向线段OM,MP,AT分别叫作角的余弦线、正弦线、正切线.各象限内的三角函数线如下:,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.平方关系:sin2+cos2=1. 2.商的关系:tan = sin cos . 3.公式常见变形:(1)sin2=1-cos2;(2)cos2=1-sin2;(3)sin = 1co s 2 ; (4)cos= 1si n 2 ;

5、(5)sin =cos tan;(6)cos= sin tan ;(7)sin2= si n 2 si n 2 +co s 2 =ta n 2 ta n 2 +1 ;(8) 1+ta n 2 = 1 cos2 . 注意 利用平方关系进行开方求三角函数值时,要根据角的范围判断相应三角函数值的符号.,考点3 同角三角函数的基本关系式（重点）,考点4 诱导公式（重点）,规律总结 诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限. （1）“奇”“偶”指的是“k 2 +(kZ)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变. （2）“符号看象

6、限”指的是在“k 2 +(kZ)”中,将看成锐角时,“k 2 +(kZ)”的终边所在的象限.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,B考法帮题型全突破,考法1 三角函数定义的应用 考法2 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法1 三角函数定义的应用,示例1已知角的终边上一点P(- 3 ,m)(m0),且sin = 2 4 ,则cos =, tan =. 思维导引 由sin = 2 4 ,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cos,tan 的值.,解析设P(x,y).由题设知x=- 3 ,y=m, 所以r2=|OP|2

7、=(- 3 )2+m2(O为原点),r= 3+ 2 , 所以sin = = 2 4 = 2 2 , 所以r= 3+ 2 =2 2 ,3+m2=8,解得m= 5 . 当m= 5 时,r=2 2 ,x=- 3 ,y= 5 , 所以cos= 3 2 2 =- 6 4 ,tan =- 15 3 ; 当m=- 5 时,r=2 2 ,x=- 3 ,y=- 5 , 所以cos= 3 2 2 =- 6 4 ,tan = 15 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例2如图所示,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆

8、滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 . 思维导引 本题求解的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得 的坐标.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析如图所示,设滚动后的圆的圆心为C,过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B. 因为圆心移动的距离为2,所以劣弧 =2,即圆心角PCA=2,则PCB=2- 2 , 所以|PB|=sin(2- 2 )=-cos 2, |CB|=cos(2- 2 )=sin 2, 所以xP=2-|CB|=2-sin 2,yP=1+|PB|=1-cos 2, 所以 =(2-sin 2,1-cos

9、2).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,感悟升华 根据三角函数的定义,求三角函数值(或参数的值)的方法 (1)已知角的终边上一点P(异于原点)的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解. (2)已知角的终边所在的直线方程,一般地,由于不确定终边所在的象限,故在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三角函数的定义来求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角的值,再求三角函数值. (3)若角终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情况,以确定三角函数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符号求参数时,一般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.,

10、理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式1 如图,在平面直角坐标系xOy中,角,的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为( 3 5 , 4 5 )和(- 4 5 , 3 5 ),则cos(+)的值为 A.- 24 25 B.- 7 25 C.0 D. 24 25,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.A 由三角函数的定义可得cos= 3 5 ,sin = 4 5 ,cos=- 4 5 ,sin = 3 5 , 所以cos(+)=coscos-sin sin =- 24 25 ,故选A.,1.同角三角函数关系的应用

11、示例3 已知 sin+3cos 3cossin =5,则sin2-sin cos= . 思维导引 先根据已知条件,求出tan 的值,然后将所求整式看作分母为1的分式,利用“1”的代换sin2+cos2=1,分子、分母同时除以cos2,得到关于tan 的式子,代入求值即可.,考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值,解析解法一由已知可得sin +3cos =5(3cos -sin ),即6sin =12cos ,也就是sin =2cos ,所以tan = sin cos =2, (弦化切) 从而sin2-sin cos= sin 2 sincos sin 2 + cos 2 = sin

12、 2 sincos cos 2 sin 2 + cos 2 cos 2 = tan 2 tan tan 2 +1 = 2 2 2 2 2 +1 = 2 5 . (利用sin2+cos2代换1) 解法二由已知可得 sin+3cos 3cossin = sin+3cos cos 3cossin cos = tan+3 3tan =5,整理得tan =2.从而sin2- sin cos= si n 2 sincos si n 2 +co s 2 = si n 2 sincos co s 2 si n 2 +co s 2 co s 2 = ta n 2 tan ta n 2 +1 = 2 2 2 2

13、2 +1 = 2 5 .(利用sin2+cos2代换1),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,技巧点拨 同角三角函数基本关系的应用技巧 (1)弦切互化:利用公式tan = sin cos 实现角的弦切互化; (2)和(差)积转换:利用(sin cos)2=12sin cos进行变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1=sin2+cos2=cos2(tan2+1)=sin2(1+ 1 ta n 2 ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,感悟升华 平方和看符号,齐次式化商 (1)同角三角函数的基本关系sin2+cos2=1的作用是可以实现同角的正弦值与余弦值之间的转化,利用该公式求值,要注

14、意确定角的终边所在的象限,从而判断三角函数值的符号. (2)同角三角函数商的关系tan = sin cos 的作用主要是用来求解齐次分式的值,具体做法如下: 求形如 sin+cos sin+cos , si n 2 +co s 2 +sincos si n 2 +co s 2 +sincos 的齐次式的值,可以令 sin+cos sin+cos 中的,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,分子、分母同时除以cos,得 tan+ tan+ = + + (tan =t); 令 si n 2 +co s 2 +sincos si n 2 +co s 2 +sincos 中的分子、分母同时除以cos2

15、,得 ta n 2 +tan ta n 2 +tan = 2 + 2 + (tan =t). 求形如asin2+bcos2的齐次式的值,可以先把分母看作1=sin2+cos2,转化为 si n 2 +co s 2 si n 2 +co s 2 ,再利用中的方法求解.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(3)注意几个式子之间的关系: (sin +cos)2=1+sin 2; (sin -cos)2=1-sin 2; (sin +cos)(sin -cos)=-cos 2; sin+cos sincos =-tan(+ 4 ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.诱导公式的应用 示例4

16、 (1)2016四川，11，5分sin 750= . (2)已知cos( 6 -)= 3 3 ,则cos( 5 6 +)-sin2(- 6 )的值为 . 思维导引(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论; (2)利用( 6 -)+( 5 6 +)=和- 6 =-( 6 -),将待求式中的角进行转化即可.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析(1)sin750=sin(2360+30)=sin 30= 1 2 . (2) 因为cos( 5 6 +)=cos-( 6 -) =-cos( 6 -) =- 3 3 , sin2(- 6 )=sin2-( 6 -) =sin2( 6 -)

17、 =1-cos2( 6 -) =1-( 3 3 )2= 2 3 , 所以cos( 5 6 +)-sin2(- 6 )=- 3 3 - 2 3 =- 2+ 3 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(3)应用诱导公式的一般思路 化大角为小角; 角中含有加减 2 的整数倍时,用公式去掉

18、2 的整数倍. (4)常见的互余和互补的角 常见的互余的角: 3 -与 6 +; 3 +与 6 -; 4 +与 4 -等. 常见的互补的角: 3 +与 2 3 -; 4 +与 3 4 -等.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式2 （1）已知tan =2(0,),则cos( 5 2 +2)= A. 3 5 B. 4 5 C.- 3 5 D.- 4 5,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)已知是三角形的内角,且sin +cos = 1 5 ,则 1 cos 2 sin 2 =.,2.（1）D 解法一 由诱导公式可得,cos( 5 2 +2)=cos2+( 2 +2)=cos(

19、2 +2) =-sin2= 2sincos sin 2 + cos 2 = 2sincos cos 2 sin 2 + cos 2 cos 2 = 2tan tan 2 +1 = 22 2 2 +1 =- 4 5 .故选D.,解法二 由tan =20可知,为第一或第三象限角.又(0,),所以(0, 2 ),故sin 0,cos 0,由tan = sin cos =2,得sin =2cos .又sin2+cos2=1,所以 sin = 2 5 5 ,cos= 5 5 .所以cos( 5 2 +2)=cos2+( 2 +2)=cos( 2 +2)=-sin 2= -2sin cos =-2 2 5

20、 5 5 5 =- 4 5 .故选D.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)- 25 7 由sin +cos = 1 5 , 可得sin -cos = 7 5 . 1 cos 2 sin 2 = 1 ( cos sin )( cos +sin ) = 1 ( 7 5 ) 1 5 =- 25 7 .,C方法帮素养大提升,方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例5(1)已知A= sin(+) sin + cos(+) cos (kZ),则A的值构成的集合是 ; (2)在ABC中,若sin(2-A)=- 2 sin(-B), 3 cosA=-

21、2 cos(-B),则C= . 思维导引 (1)角中有整数k,应对k是奇数还是偶数进行讨论;(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行讨论.,方法 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用,解析(1)当k为偶数时,A= sin sin + cos cos =2;当k为奇数时,A= sin sin - cos cos =-2. 所以A的值构成的集合是2,-2. (2)由已知得 sin= 2 sin , 3 cos= 2 cos , 2+2,得2cos2A=1,即cosA= 2 2 , 当cosA= 2 2 时,cosB= 3 2 ,又A,B是三角形的内角, 所以A= 4 ,B= 6 ,所以C=-(A+B)= 7 12 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,当cosA=- 2 2 时,cosB=- 3 2 , 又A,B是三角形的内角,所以A= 3 4 ,B= 5 6 ,不符合题意,舍去. 综上,C= 7 12 .,素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的严谨性. (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,