（天津专用）2020版高考数学大一轮复习3.2导数的应用课件.pptx

1、考点一 导数与函数的单调性,考点清单,考向基础设函数f(x)在区间(a,b)内可导,f (x)是f(x)的导数,则,注:(1)f(x)在(a,b)内可导为此规律成立的一个前提条件; (2)对于在(a,b)内可导的函数f(x)来说, f (x)0是f(x)在(a,b)上为递增函数 的充分不必要条件;f (x)0,即并不是在定义域中的任意一点处都满足 f (x)0.,考向突破,考向一 利用导数求函数的单调性(区间),例1 已知函数f(x)= (x0且x1),求函数f(x)的单调区间.,解析 解法一:(解不等式法)函数的定义域为(0,1)(1,+), f (x)=- , 由f (x)0得ln x+1

2、0,0x .,由f (x)0,x . 又x1, 1. f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 和(1,+). 解法二:(列表法)函数的定义域为(0,1)(1,+), f (x)=- ,令f (x)=0,得x= . 列表如下:,f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,(1,+).,考向二 由函数的单调性求参数的取值范围,例2 (2014课标文,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的 零点x0,且x00,则a的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(1,+) C.(-,-2) D.(-,-1),解析 a=0时,不符合题意. a0时, f (x)=3ax2

3、-6x,令f (x)=0,得x1=0,x2= . 若a0,分析可知f(x)有负数零点,不符合题意. 则a0知,此时必有f 0,即a -3 +10,化简得a24,又 a0,所以a-2,故选C.,答案 C,考点二 导数与函数的极(最)值,考向基础 1.函数的极值与导数,注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;,(2)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小; (3)导数等于零的点不一定是极值点(例如:f(x)=x3,f (x)=3x2,当x=0时,f (0) =0,但x=0不是函数的极值点); (4)对于处处可导的函数极值点的导数必

4、为零. 2.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在 闭区间a,b 上连续的函数f(x),在a, b上必有 最大值与最小值 ;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不 一定有最大值与最小值.,(ii)将f(x)的各 极 值与 f(a)、 f(b) 比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值.,(2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最 小值的步骤如下: (i)求f(x)在(a,b)内的 极值 ;,知识拓展 1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值. 2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定

5、在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间a,b内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函 数的最值点.,考向突破,考向一 利用导数求函数的极值,例 1 (2015陕西文,15,5分)函数y=xex在其极值点处的切线方程为 .,解析 由y=xex可得y=ex+xex=ex(x+1),从而可得y=xex在(-,-1)上递减,在 (-1,+)上递增,所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,因为y|x=-1=0,故切线方 程为y=-e-1,即y=- .,答案 y=-,考向二 利用导数求函数的最值,例2 (2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有

6、且只 有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 .,时, f(x)有极小值,为f =- +1. f(x)在(0,+)内有且只有一个零点, f =0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1). 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4. 最大值与最小值的和为-3.,答案 -3,考点三 导数的综合应用,考向基础生活中的优化问题 (1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问 题通常称为优化问题,导数在这一类问题中有着重要的作用,它是求函 数最大(小)值的有力工具. (2)解决优

7、化问题的基本思路:,方法1 利用导数解决函数的单调性问题 1.利用导数的符号判断函数的单调性 函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果f (x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果f (x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.求可导函数单调区间的一般步骤,方法技巧,3.若函数y=f(x)在区间A上是单调增(减)函数,则f (x)0(f (x)0)在A上 恒成立,然后分离参数转化为函数的最值问题,或直接转化为f (x)min0 (f (x)max0).,例1 已知函数f(x)=-2a2ln x+ x2+ax(aR). (1)当a=1时,

8、求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性.,解析 函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=- +x+a. (1)当a=1时,f(1)= ,f (1)=-2+1+1=0, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y= . (2)f (x)= = , 当a=0时, f (x)=x0, f(x)在定义域(0,+)上单调递增; 当a0时,令f (x)=0,得x1=-2a(舍去),x2=a, 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,此时,f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+)上单调递增; 当a0时,令f (x)=0

9、,得x1=-2a,x2=a(舍去), 当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:,此时,f(x)在区间(0,-2a)上单调递减,在区间(-2a,+)上单调递增.,例2 已知函数f(x)=ex(x2-a),aR. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)若函数f(x)在(-3,0)上单调递减,试求a的取值范围.,方法2 利用导数解决函数的极值、最值问题 1.解决函数极值问题的一般思路:2.函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的,函数 的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,极值只能在区间内一点处 取得,最值则可以在端点处取得,有极值未

10、必有最值,有最值未必有极值, 极值可能成为最值.,例3 求函数f(x)=ln x-ax,aR的极值.,解析 函数f(x)的定义域为(0,+). 求导,得f (x)= -a= . 若a0,则f (x)0,f(x)是(0,+)上的增函数,无极值; 若a0,则令f (x)=0,可解得x= . 当x 时,f (x)0,f(x)在 上是增函数; 当x 时,f (x)0时,f(x)的极大值为-ln a-1,无极小值.,方法3 利用导数解决不等式问题 1.利用导数证明不等式 若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在 (a,b)上的最大值小于0,即可

11、证明f(x)g(x),x(a,b). 2.利用导数解决不等式的恒成立问题 “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题,一般都可通过求相关函 数的最值来解决,如:当f(x)在xD上存在最大值和最小值时,若f(x)g (a)对于xD恒成立,应求f(x)在xD上的最小值,将原条件转化为g(a) f(x)min,若f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)在xD上的最大值,将原条 件转化为g(a)f(x)max;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)在xD 上的最大值,将原条件转化为g(a)f(x)max,若存在xD,使得f(x)g(a)成,立,应求f(x)在xD上的最小值,将原条件转化为

12、g(a)f(x)min.,例4 已知函数f(x)=ln x- . (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)证明:当x1时, f(x)x-1. 解题导引,解析 (1)f (x)= -x+1= ,x(0,+). 由f (x)0得 解得01时,F(x)1时, f(x)x-1.,方法4 利用导数解决函数的零点问题 利用导数研究函数零点的方法: (1)求函数f(x)的单调区间和极值; 根据函数f(x)的性质作出图象; 判断函数零点的个数. (2)求函数f(x)的单调区间和极值; 分类讨论,判断函数零点的个数. 注意:研究零点时,首先要确认有没有零点,如果有,再研究有几个;研究 零点个数时,对于函数自

13、变量趋向无穷时函数值的描述,一般采用选取 某个特殊的函数值来说明符号正负的方法.,例5 已知函数f(x)=x3-9x,函数g(x)=3x2+a. (1)若直线l是曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线,且l与曲线y=g(x)相切,求a 的值; (2)若方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解,求实数a的取值范围.,解析 (1)函数f(x)=x3-9x的导函数为f (x)=3x2-9, 则f (0)=-9,又f(0)=0,所以直线l的方程为y=-9x, 设l与曲线y=g(x)相切于点(m,n), 易知g(x)=6x,所以g(m)=6m=-9,解得m=- , 又g(m)=-9m,即g =3 +a= +a= , 解得a= .,当-13时,F(x)0,F(x)在(3,+)上单调递增. 故x=-1时,F(x)取得极大值,极大值为5-a, x=3时,F(x)取得极小值,极小值为-27-a. 因为当x+时,F(x)+,当x-时,F(x)-, 所以方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解的等价条件为 5-a0,-27-a0,解得-27a5.,(2)记F(x)=f(x)-g(x)=x3-9x-3x2-a, 则F(x)=3x2-6x-9, 令F(x)=0,得x=3或x=-1. 当x0,F(x)在(-,-1)上单调递增;,