（浙江专用）2020版高考数学一轮总复习专题5平面向量与解三角形5.2平面向量的数量积及其应用课件.pptx

1、高考数学（浙江专用）,5.2 平面向量的数量积及其应用,考点一 平面向量的数量积,考点清单,考向基础 1.向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b,过O点作 =a, =b,则AOB=(0180) 叫做向量a与b的夹角. 当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反 向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把|a|b|cos 叫做a和b的数,量积(或内积),记作ab=|a|b|cos . (3)规定:0a=0. (4)ab的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影 设是非零向量a与b的夹角,则 |a|c

2、os 叫做a在b的方向上的投影, |b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实 数,而不是向量.当090时,它是正值;当90180时,它是负值;当 =90时,它是0. b.ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则,(3)当a与b同(1)ea=ae=|a|cos . (2)ab ab=0 . 向时,ab=|a|b|, 当a与b反向时,ab=-|a|b|, 特别地,aa=|a|2. (4)亦为a、b的夹角,且cos = . (5)|ab|a|b|. 3.向

3、量的数量积的运算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= ,这就是平面内两点间 的距离公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab x1x2+y1y2=0 . 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a|b|ab|a|b|- x1x2+y1y2 .,

4、考点二 向量的综合应用,考向基础1.向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算.由于有 关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决,因此我们可 以利用表示向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、 两个向量的夹角,判断两向量是否垂直. 2.用向量法证明几何问题的基本思想:将问题中有关几何量表示为向量, 然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算法则,推出所要求证的结 论.要注意挖掘题目中,特别是几何图形中的隐含条件. 3.证明直线平行、垂直,线段相等等问题的基本方法 (1)要证AB=CD,可转化为证明 = 或| |=| |. (2)要证ABCD,只要证存在一实数0,使等式

5、= 成立即可.,(3)要证ABCD,只需证 =0. 【知识拓展】 向量中常用的结论: 在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)在 = 的条件下,存在,使得I为ABC的内心; a +b +c =0P为ABC的内心. (2)| |=| |=| |P为ABC的外心. (3) + + =0G为ABC的重心. (4) = = P为ABC的垂心.,考向突破,考向一 利用数量积求长度问题,例1 (2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,7)已知A,B是半径为 的O 上的两个点, =1,O所在平面上有一点C满足| + - |=1,则|的取值范围是 ( ) A.2 -1,2 +1 B. C. -

6、1, +1 D. -1, +1,解析 以O为原点,OA为x轴建立平面直角坐标系,由 =1,得AOB = ,于是A( ,0),B ,设C(x,y),则 + =1. 问题转化为求圆 + =1上一点到原点的距离的取值范 围.因为原点到圆心 的距离为 ,且圆的半径为1,所以| |的 取值范围为 -1, +1.,答案 C,考向二 用数量积求角度问题,例2 (2018浙江嵊州第一学期期末质检,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=|2 b-a|,则|b|的最大值为 ,a与b的夹角的取值范围为 .,解析 因为|2|b|-|a|2b-a|2|b|+|a|,即|2|b|-|a|b|2|b|+|a|, 所以

7、-|b|2|b|-|a|b|,从而 |b|a|,即 |b|1. 对|b|=|2b-a|两边平方,可得b2=4b2-4ab+a2, 从而cos = = = (3|b|+ ) ,当且仅当|b|= 时等号 成立. 所以a与b的夹角的取值范围为 .,答案 1;,方法1 利用数量积求长度和夹角的方法 一、求夹角的方法 1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos = ,其中两个向量的夹角 0,求解时应求出三个量:ab,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系. 2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,则cos = . 3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、

8、余弦定 理和三角形的面积公式进行求解.,方法技巧,二、求长度的方法 1.|a|= = ; 2.|ab|= ; 3.若a=(x,y),则|a|= .,例1 (2018浙江嘉兴教学测试(4月),16)已知|c|=2,向量b满足2|b-c|=bc, 当b,c的夹角最大时,|b|= .,解题导引,解析 设向量b,c的夹角为,因为bc=2|b-c|0,所以 , 由2|b-c|=bc知,2 =|b|c|cos , 两边平方可知,4+|b|2-4|b|cos =|b|2cos 2,即sin2|b|2-4|b|cos +4=0, 所以关于|b|的方程有解,此时=16cos2-16sin20,要使夹角最大,仅需

9、 考虑sin 0, 所以tan 1,即 , 所以的最大值为 ,此时|b|=2 .,答案 2,方法2 利用向量解决几何问题的方法 1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:建立平面几何与向量的联 系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的 问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; 把运算结果转化成几何关系. 2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐 标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂 的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.,例2 (2017浙江镇海中学第一学期期中,15)已知ABC的外心为O,a,b,c 分别为内角A,B,C所对的边,且 + + =0,则a,b,c的关系 为 ,cos B的取值范围为 .,解题导引,解析 设AC边上的中点为D,则ODAC,从而有 =( + ) = + = +0= b2,同理有 = c2, = ( - )= b2- c2.同理有 = c2- a2, = a2- b2,由 + + =0,得a2+2c2=3b2. cos B= = = = (当且仅当a=c时取等号),cos B1, cos B1.,答案 a2+2c2=3b2;,