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1、11.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教材研读预习教材 P3235 ，思考以下问题1杨辉三角具有哪些特点？2二项式系数的性质有哪些？要点梳理1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除 1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C C C .rn 1 r 1n rn2二项式系数的性质自我诊断判断(正确的打“” ，错误的打“”)21杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( )2二项式展开式的二项式系数和为 C C C .( )1n 2n n3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( )答案 1. 2. 3.题 型

2、一 与 杨 辉 三 角 有 关 的 问 题思考：杨辉三角的第 n行数字规律与二项展开式有何联系？提示：杨辉三角的第 n行数字规律是二项式( a b)n展开式的二项式系数，即( a b)nC anC an1 b1C an rbrC bn.0n 1n rn n如图在“杨辉三角”中，斜线 AB的上方，从 1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前 n项和为 Sn，求 S19的值解 由图知，数列中的首项是 C ，第 2项是 C ，第 3项是 C ，第 4项是 C ，2 12 23 13第 17项是 C ，第 18项是 C ，第 19项是 C .210 10 211

3、S19(C C )(C C )(C C )(C C )C C C C C12 2 13 23 14 24 10 210 211 23 24 25C C C C C C 1C C 1C 274.211 211 3 23 24 25 211 211 312 211解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律(2)表达：将发现的规律用数学式子表达(3)结论：由数学表达式得出结论【温馨提示】 杨辉三角的作用(1)直观地看出或探究二项式系数的性质；3(2)当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数跟踪训练如图，在由二项式系数所

4、构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14与第 15个数的比为 23.解析 由杨辉三角知，第一行中的数是 C ，C ；第 2行中的数是 C ，C ，C ；第 301 1 02 12 2行中的数是 C ，C ，C ，C ，第 n行中的数是 C ，C ，C ，C ，设第 n行中从左03 13 23 3 0n 1n 2n n到右第 14与第 15个数的比为 23，则 C C 23，解之得 n34.13n 14n答案 34题型二 求展开式的系数和思考：( a b)n的展开式的二次项系数，当 n取正整数时可以表示成如下形式：计算每一行的系数和，你能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，其系数

5、和为 2n.若(3 x1) 7 a7x7 a6x6 a1x a0，求：(1)a1 a2 a7；(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6；(4)|a0| a1| a2| a7|.4思路导引 解决此类问题常用赋值法，对 x赋特殊的值，从而求解解 (1)令 x0，则 a01，令 x1，则 a7 a6 a1 a02 7128.所以 a1 a2 a7129.(2)令 x1，则 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0(4) 7，由 得： a1 a3 a5 a7 128(4) 78256. 2 12(3)由 得： a0 a2 a4 a6 128(4) 78128. 2 12(4)解

6、法一：(3 x1) 7展开式中 a0， a2， a4， a6均小于零， a1， a3， a5， a7均大于零，| a0| a1| a2| a7| a1 a3 a5 a7( a0 a2 a4 a6)8256(8128)16384.解法二：| a0| a1| a2| a7|即为(13 x)7展开式中各项的系数和，所以| a0| a1| a2| a7|(13) 74 716384.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x0 可得常数项，令 x1可得所有项系数之和，令 x1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差

7、跟踪训练已知(13 x)8 a0 a1x a7x7 a8x8.求：(1)a0 a1 a8；(2)a0 a2 a4 a6 a8；(3)|a0| a1| a2| a8|.解 (1)令 x1，得 a0 a1 a82 8256.(2)令 x1，得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a84 8.，得 2(a0 a2 a4 a6 a8)2 84 8， a0 a2 a4 a6 a8 (284 8)32896.12(3)由于(13 x)8C C (3 x)C (3 x)2C (3 x)08 18 28 88 a0 a1x a2x2 a8x8，故 a0， a2， a4， a6， a80， a1，

8、a3， a5， a70，5| a0| a1| a2| a8| a0 a1 a2 a3 a84 865536.题 型 三 展 开 式 中 的 最 大 值 问 题思考：二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示：错误二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关已知 f(x) n展开式中各项的系数和比各项的二项式系(3x2 3x2)数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路导引 令 x1，求得各项系数和，而二项

9、式系数之和为 2n，依题意可解得 n的值解 (1)令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13) n4 n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4 n2 n992.(2 n)22 n9920，(2 n31)(2 n32)0，2 n31(舍)，或 2n32， n5.由于 n5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C (x )3(3x2)290 x6，25 T4C (x )2(3x2)3270 x .35 (2)展开式的通项公式为 Tr1 C 3rx (52 r)r5 假设 Tr1 项系数最大，则有Error!Error!Error! r . rN，

10、r4.72 92展开式中系数最大的项为 T5C 34x 405 x .45 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对( a b)n中的 n进行讨论， n为奇数时中间两项的二项式系数最大； n为偶数时，中间一项的二项式系数最大6(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求( a bx)n(a、 bR 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为 A1， A2， An1 ，且第 r1 项系数最大，应用Error!解出 r来，即得系数最大的项跟踪训练在 8的展开式中，(x2x2)(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项

11、是第几项？解 Tr1 C ( )8 r r(1) rC 2rx .r8 x (2x2) r8 (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5项，故 T5C 24x 1120 x6 .48 (2)设第 r1 项系数的绝对值最大，则Error! 即Error!整理得Error! 于是 r5 或 6.故系数绝对值最大的项是第 6项和第 7项1.本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)与杨辉三角有关的问题，见典例 1；(2)求展开式的系数和，见典例 2；(3)展开式中的最大值问题，见典例 3.3要重点关注以下几个易错点(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决(2)一般地，二项展开式 f(x)中的各项系数和为 f(1)，奇数项系数和为 f(1) f(1)，12偶数项系数和为 f(1) f(1) 12(3)“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况7