广西2020版高考数学一轮复习考点规范练56坐标系与参数方程文.docx

1、1考点规范练 56 坐标系与参数方程一、基础巩固1.在平面直角坐标系 xOy中,已知直线 l的参数方程为 (t为参数),椭圆 C的参数方程x=1+12t,y= 32t 为 ( 为参数) .设直线 l与椭圆 C相交于 A,B两点,求线段 AB的长 .x=cos ,y=2sin 解 椭圆 C的普通方程为 x2+ =1.y24将直线 l的参数方程 (t为参数)代入 x2+ =1,得 =1,x=1+12t,y= 32t y24 (1+12t)2+(32t)24即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=- .167所以 AB=|t1-t2|= .1672.在平面直角坐标系 xOy中,将曲线 C1:x

2、2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标伸3长为原来的 2倍后,得到曲线 C2;以坐标原点 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程是 (2cos - sin )=6.(1)写出曲线 C2的参数方程和直线 l的直角坐标方程;(2)在曲线 C2上求一点 P,使点 P到直线 l的距离 d最大,并求出此最大值 .解 (1)由题意知,曲线 C2方程为 =1,故曲线 C2的参数方程为 ( 为参数) .(x3)2+(y2)2 x= 3cos ,y=2sin 直线 l的直角坐标方程为 2x-y-6=0.(2)设 P( cos ,2sin ),3则点 P到直线 l的距离为d

3、= ,|23cos -2sin -6|5 =|4sin(60- )-6|5故当 sin(60- )=-1时, d取到最大值 2 ,此时取 = 150,点 P坐标是 .5 (-32,1)23.在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数, R),在以坐标原x=cos ,y=1+sin 点为极点, x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: sin .( -4)= 2(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A,B两点,求 |AB|的值 .解 (1)由 x2+(y-1)2=1,x=cos ,y=1+sin x=cos ,y-1

4、=sin 由 sin sin- cos= y-x=2,( -4)= 222 22 2即 C2:x-y+2=0.(2) 直线 x-y+2=0与圆 x2+(y-1)2=1相交于 A,B两点,又 x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为 1, 圆心到直线的距离 d= ,|0-1+2|12+(-1)2= 22|AB|= 2 .12-(22)2= 24.(2018全国 ,文 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( 为参数),直线x=2cos ,y=4sin l的参数方程为 (t为参数) .x=1+tcos ,y=2+tsin (1)求 C和 l的直角坐标方程;(2)若曲线 C截直线

5、 l所得线段的中点坐标为(1,2),求 l的斜率 .解 (1)曲线 C的直角坐标方程为 =1.x24+y216当 cos 0 时, l的直角坐标方程为 y=tan x+2-tan ,当 cos= 0时, l的直角坐标方程为 x=1.(2)将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程,整理得关于 t的方程(1 +3cos2 )t2+4(2cos+ sin )t-8=0. 因为曲线 C截直线 l所得线段的中点(1,2)在 C内,所以 有两个解,设为 t1,t2,则 t1+t2=0.又由 得 t1+t2=- ,故 2cos+ sin= 0,4(2cos +sin )1+3cos23于是直线 l的斜率 k=

6、tan=- 2.5.在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 (t为参数) .在以坐标原点 O为极点, xx=4t2,y=4t轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C2的极坐标方程为 cos .( +4)= 22(1)把曲线 C1的参数方程化为普通方程, C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线 C1,C2相交于 A,B两点, AB的中点为 P,过点 P作曲线 C2的垂线交曲线 C1于 E,F两点,求|PE|PF|的值 .解 (1)消去参数可得 C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 AB的中点为 P(x0,y0),联立 可得

7、x2-6x+1=0.y2=4x,x-y-1=0x 1+x2=6,x1x2=1, x0=x1+x22 =3,y0=2. AB 中垂线的参数方程为 (t为参数) . x=3- 22t,y=2+ 22ty2=4x. 将 代入 中,得 t2+8 t-16=0,t 1t2=-16.2|PE| |PF|=|t1t2|=16.二、能力提升6.(2018全国 ,文 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2 cos - 3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求

8、C1的方程 .解 (1)由 x= cos ,y= sin 得 C2的直角坐标方程为( x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2的圆 .4由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y轴对称的两条射线 .记 y轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为 l2,由于 B在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点 .当 l1与 C2只有一个公共点时, A到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.经检验,当 k=

9、0时, l1与 C2没有公共点;当 k=- 时, l1与 C2只有一|-k+2|k2+1 43 43个公共点, l2与 C2有两个公共点 .当 l2与 C2只有一个公共点时, A到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0或 k= ,经检验,当 k=0时, l1与 C2没有公共点;当 k= 时, l2与 C2没有公共|k+2|k2+1 43 43点 .综上,所求 C1的方程为 y=- |x|+2.437.已知直线 C1: (t为参数),圆 C2: ( 为参数) .x=1+tcos ,y=tsin x=cos ,y=sin (1)当 = 时,求 C1被 C2截得的线段的长;3(2)过坐标

10、原点 O作 C1的垂线,垂足为 A,当 变化时,求点 A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线 .解 (1)当 = 时, C1的普通方程为 y= (x-1),C2的普通方程为 x2+y2=1.3 3联立方程组 y= 3(x-1),x2+y2=1, 解得 C1与 C2的交点坐标为(1,0)与 .(12,- 32)故 C1被 C2截得的线段的长为 =1.(1-12)2+(0+ 32)2(2)将 C1的参数方程代入 C2的普通方程得 t2+2tcos= 0,设直线 C1与圆 C2交于 M,N两点, M,N两点对应的参数分别为 t1,t2,则点 A对应的参数 t= =-cos ,t1+t22故点 A的坐标

11、为(sin 2 ,-cos sin ).5故当 变化时,点 A轨迹的参数方程为 ( 为参数) .x=sin2 ,y= -sin cos 因此,点 A轨迹的普通方程为 +y2= .(x-12)2 14故点 A的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆 .(12,0) 12三、高考预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C的极坐标方程为 sin2=a cos (a0),过点 P(-2,-4)的直线 l的参数方程为 (t为x= -2+ 22t,y= -4+ 22t参数),直线 l与曲线 C相交于 A,B两点 .(1)写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通

12、方程;(2)若 |PA|PB|=|AB|2,求 a的值 .解 (1) sin2=a cos (a0), 2sin2=a cos (a0),即 y2=ax(a0).直线 l的参数方程消去参数 t,得普通方程为 y=x-2.(2)将直线 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程 y2=ax(a0)中,得 t2- (a+8)t+4(a+8)=0,2设 A,B两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2= (a+8),t1t2=4(a+8).2|PA| |PB|=|AB|2,t 1t2=(t1-t2)2. (t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即 (8+a)2=20(8+a),2解得 a=2或 a=-8(不合题意,应舍去),a 的值为 2.6