1、1第四讲数学归纳法证明不等式一、知识梳理 数 学 归纳 法 数 学 归 纳法 原 理数 学 归 纳 法应 用 举 例 整 除 问 题几 何 问 题 其 他 不 等 式 二、题型、技巧归纳题型一、归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设( n k 时命题成立)，推出 n k1时，命题成立例 1 用数学归纳法证明：对于 nN ， 1() .112 123 134 nn 1再练一题1数列 的前 n 项的和记 为 Sn.1nn 1(1)求出 S1， S2， S3的值；(2)猜想出 Sn的表达式；(3)
2、用数学归纳法证明你的猜想题型二、不等式证明中的强化命题如果 c 为常数，用数学归纳法证明 f(n)5)时命题成立33设 nN ，则 2n与 n 的大小关系是( )A2 nn B2 n0， nN， n2.(1)证明：函数 Fn(x) fn(x)2 在 内有且仅有一个零点(记为 xn)，且 xn x(12， 1) 12 12；n 1n(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明4参考答案1 【解析】 左边等比数列求和 Sn1 12n1 1221( )n ，12 12764即 1( )n ，( )n .12
3、127128 12 1128( )n( )7.12 12 n7， n 取 8，选 B.【答案】 B2 【解析】 由题意知 n5， nN ，故应假设 n k(k5)时命题成 立【答案】 C3 【解析】 2 n(11) n，根据贝努利不等式有(11) n1 n11 n，上式右边舍去 1，得(11) nn，即 2nn.【答案】 A4 【解】 (1)证明： Fn(x) fn(x)21 x x2 xn2，则 Fn(1) n10，Fn 1 2(12) 12 (12)2 (12)n 2 0，故 Fn(x)在 内单调递增，所以 Fn(x)在(12， 1)内有且仅有一个零点 xn.(12， 1)因为 xn是 F
4、n(x)的零点，所以 Fn(xn)0，即 20，故 xn x .1 xn 1n1 xn 12 12n 1n(2)法一：由题设， gn(x) .n 11 xn25设 h(x) fn(x) gn(x)1 x x2 xn ， x0.n 11 xn2当 x1 时， fn(x) gn(x)当 x1 时， h( x)12 x nxn1 .nn 1xn 12若 0xn1 2 xn1 nxn1 xn1 xn 1 xn1 0.nn 12 nn 12 nn 12若 x1， h( x)0.n 1xn 12当 x1 时， fn(x) gn(x)当 x1 时，用数学归纳法可以证明 fn(x)0)，则 hk( x) k(k1) xk k(k1) xk1 k(k1) xk1 (x1)所以当 01 时 ， h k(x)0， hk(x)在(1，)上递增所以 hk(x)hk(1)0，从而 gk1 (x) .2xk 1 k 1xk k 126故 fk1 (x)gk1 (x)，即 n k1 时不等式也成立由和知，对一切 n2 的整数，都有 fn(x)gn(x)
