2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用教案2（新版）北师大版.doc

1、11.5 三角函数的应用教学目标(一)教学知识点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.(二)能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教具重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决

2、问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学方法探索发现法教具准备多媒体演示教学过程.创设问题情境，引入新课师直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股” 、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏

3、西 25的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗).讲授新课师我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?生应该是“上北下南，左西右东”.师请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.生首先我们可将小岛 A 确定，货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55的 B 处，C 在 B 的正东方，且在 A 南偏东 25处.示意图如下.2师货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?生根据题意，小岛四周 10 海里内有暗礁，那么

4、货轮继续向东航行的方向如果到 A 的最短距离大于 10 海里，则无触礁的危险，如果小于 10 海里则有触礁的危险.A 到 BC 所在直线的最短距离为过 A 作 ADBC，D 为垂足，即 AD 的长度.我们需根据题意，计算出 AD 的长度，然后与 10 海里比较.师这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?生已知 BC20 海里，BAD55，CAD25.师在示意图中，有两个直角三角形 RtABD 和 RtACD.你能在哪一个三角形中求出AD 呢?生在 RtACD 中，只知道CAD=25，不能求 AD.生在 RtABD 中，知

5、道BAD=55，虽然知道 BC20 海里，但它不是 RtABD 的边，也不能求出 AD.师那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?生我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且 BC 是这两个直角三角形 BD 与 CD 的差，即 BCBD-CD.BD、CD 的对角是已知的，BD、CD 和边 AD 都有联系.师有何联系呢?生在 RtABD 中，tan55 ，BD=ADtan55；在 RtACD 中，tan25ADB ，CDADtan25.ADC生利用 BCBD-CD 就可以列出关于 AD 的一元一次方程，即 ADtan55-ADtan2520.师太棒了!没想到

6、方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.师生共析解：过 A 作 BC 的垂线，交 BC 于点 D.得到 RtABD 和 RtACD，从而BD=ADtan55，CDADtan25，由 BD-CDBC，又 BC20 海里.得ADtan55-ADtan2520.AD(tan55-tan25)20，AD= 20.79(海里).25tant0这样 AD20.79 海里10 海里，所以货轮没有触礁的危险.师接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样

7、测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.3多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD 的高度.他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 50m 至 B 处.测得仰角为 60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)师我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角?生当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC.师很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)生首先，我们可以注意到 CD 是两个直角三角形

8、RtADC 和 RtBDC 的公共边，在RtADC 中，tan30= ，ACD即 AC 在 RtBDC 中，tan60= ,30tanBCD即 BC ，又AB=AC-BC50 m，得 6- =50.taDt解得 CD43(m)，即塔 CD 的高度约为 43 m.生我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量 CD 的高度时应考虑小明的身高.师这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为 1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?生示意图

9、如右图所示，由前面的解答过程可知 CC43 m，则 CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为 44.6 m.师同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40减至 35，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到 0.0l m)4请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)生在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画示意图(如右图).其中 AB 表示楼梯的高度.AC

10、 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度.ACB 是原楼梯的倾角，ADB 是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：如图，ABDB，ACB40，ADB35，AC4m.求 AD-AC 及 DC 的长度.师这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!生解：由条件可知，在 RtABC 中,sin40 ，即 AB4sin40m，原楼梯占ACB地长 BC4cos40m.调整后,在 RtADB 中，sin35 ，则 AD m.楼梯占地长D35s

11、in40iDB= m.35tan40si调整后楼梯加长 AD-AC -40.48(m)，楼梯比原来多占 DCDB-BC=35sin40-4cos400.61(m).tasi.随堂练习1.如图，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 DB5 m，现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆ED 的长度为多少?解：在 RtCBD 中，CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40DBC(m).在 RtEDB 中，DB=5 m，BE=BC+EC2+5sin40(m).根据勾股定理，得 DE= 7.96(m).222 )40sin

12、5(BED所以钢缆 ED 的长度为 7.96 m.2.如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD，坝顶 AD6 m，坡长 CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135.5(1)求ABC 的大小：(2)如果坝长 100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到 0.01 m3)解：过 A、D 分别作 AEBC，DFBC，E、F 为垂足.(1)在梯形 ABCD 中.ADC135，FDC45，EFAD=6 m.在 RtFDC 中，DC8 m.DFFCCD.sin45=4 (m).2BE=BC-CF-EF=30-4 -6=24-4 (m).2在 RtAEB 中，AEDF=4 (m).tanABC 0.308.2642BEAABC17821.(2)梯形 ABCD 的面积 S (AD+BC)AE1= (6+30)4 =72 (m2).21坝长为 100 m，那么建筑这个大坝共需土石料 10072 10182.34(m 3).2综上所述，ABC17821，建筑大坝共需 10182.34 m3土石料.课时小结