1、- 1 -江苏省高邮中学 2019 届高三开学数学 I 试题注意事项:1本试卷共 160 分,考试时间 120 分钟;2答题前,请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内;3答题时必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写,作图可用 2B 铅笔一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上 )1全集 U1,2,3,4,5,集合 A1,3,4,B3,5,则 (AB)I2.己知复数 ,则 z 的虚部为 iz13如图是样本容量为 200 的频率分布直方图,根据此样本的频率分布直方图估计,样本数据落在6,10)内的频数为 4现有三张识字卡片,分别写
2、有“中” “国” “梦”这三个字将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是_5 函数 的定义域为 22log(3)yx6.己知 ,且 b,(2ayx- 2 -线 B0 与双曲线 C 的右支交于点 M。若直线 AB 的斜率为 3,直线 AM 的斜率为 1,则双曲线 C 的离心率为 10.已知 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,数列 满足 ,且na nb1a12nbaL( ) ,若 ,则 的值11aL,nN (27)09mm为 11.在ABC 中,已知 AB3,BC2,D 在 AB 上, .若 3,则 AC 的长是AD 13AB DB DC _ 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知
3、AB 是圆 O: 直径,若直线 l:21xy310kxy上存在点 P,连接 AP 与圆 O 交于点 Q,满足 ,则实数 k 的取值范围是 BP13已知一个等腰三角形的底边长为 4,则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 14.设函数 g(x)e x3 x a(aR,e 为自然对数的底数),定义在 R 上的连续函数 f(x)满足: f( x) f(x) x2,且当 x0 时, f( x) x,若 x0 x|f(x)2 f(2 x)2 x,使得 g(g(x0) x0,则实数 a 的取值范围为 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤 )15 (本小题满分 14 分)如图,在四棱柱 中,已知平面 平面 且1DCBACA1,BD, .3CBA(1)求证: ;1D(2)若 为棱 的中点,求证: 平面 .E/AE1DC- 3 -16.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A(1,0)和点B(1,0), 1,且AOC x,其中 O 为坐标原点OC(1)若 ,设点 D 为线段 OA 上的动点,求34x的最小值;(2)若 0, ,向量 , ( ,x2BCmn1cosx),求 的最小值及对应的 x 值sincosn17. 如图,一楼房高 为 米,某广告公司在楼顶安装一块宽 为 米的广告牌,AB193 BC4为拉杆,广告牌 BC
5、边与水平方向的夹角为 ,安装过程中,一身高为 米的监理人员CD60 3站在楼前观察该广告牌的安装效果;为保证安全,该监理人员不得站在广告牌的正下方;EF设 米,该监理人员观察广告牌的视角 ;Ax BFC(1)试将 表示为 的函数;tanx(2)求点 的位置,使 取得最大值E- 4 -18. 已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1( ,0),F 2( ,0),点 E 在椭圆 C 上,且33F 1EF2= 60, .124EFuv(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过 轴正半轴上一点 M 作直线 ,交椭圆 C 于 A B 两点。问:是否存在定点 M,使当直xl线 绕点 M 任意转动时, 为定值?若存在
6、,求出定点 M 的坐标;若不存在,l 221+|AB说明理由。19. 设 )(xf是定义在区间 ),1(上的函数,其导函数为 )(xf。如果存在实数 a和函数h,其中 对任意的 x都有 )(xh0,使得 )1(2xh,则称函数 )(xf具有性质 )(aP。(1)设函数 2ln1)bx,其中 b为实数。(i)求证:函数 )(f具有性质 (; (ii)求函数 )(xf的单调区间。(2)已知函数 xg具有性质 )2P,给定 1212,x设 m为实数,21)(m, (m,且 ,若| |0,故 h(x)e x2 x 在(,1上单调递增,则 h(x) h(1)e2,即 ae2。15 证明:在四边形 中,因
7、为 , ,所以 , ABCDABCDBAC又平面 平面 ,且平面 平面 ,11平面 ,所以 平面 ,BD又因为 平面 ,所以 1A1C1BDA在三角形 中,因为 ,且 为 中点,所以 ,ECBCAE又因为在四边形 中, , ,31D所以 , ,所以 ,所以 ,60ACB30DB- 10 -因为 平面 , 平面 ,所以 平面 DC1AE1DCAE1DC16. 解:() 设 ( ) ,又(,0)tt2(,)所以2,O所以 3 分22211| 1CDtt2()(0)tt所以当 时, 最小值为6 分t|OC2()由题意得 ,(cosin)x(cos1,in)mBx则 2212mn x9 分si()4x
8、因为 ,所以0254x10 分所以当 ,即 时, 取得最大4x8xsin(2)x值 1所以 时, 取得最小值8x1si()4mnx12所以 的最小值为 ,此时 14 分n128x17. 解析:(1)作 于 ,作 于 ,交 于 ,CGAEFHABCGM作 于 ,则 ;BNCM在直角 中, , ,4B60N则 , ;23在直角 中,CF- 11 -有 ;203tanCMNFAEBx在直角 中,BH有 ;183tanx tantatat()nCFBHCFMM;22031836108xx再由题意可知:监理人员只能在 点右侧,即 7 分G(2, )x(2)由(1)得: ;2 23618tan31080x
9、令 ,则 ;8tx(0, )t ,2 2 13tan332340(18)()10881402198t tt t当且仅当 即 时,等号成立;此时, ;40tt x又易知: 是锐角,即 ,而 在 是增函数;(, )2tany(0, )2当 时, 取最大值 14 分1208x18. - 12 -19. 解析 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。(1)(i) ()fx2211(1)()bxb 时, 2)0(1)hx恒成立,函数 (f具有性质 bP;(ii)(方法一)设222()1()14bxx
10、, ()x与 f的符号相同。当210,4b时, )0, f,故此时 在区间 ),1(上递增;当 时,对于 x,有 (xf,所以此时 )(xf在区间 ,上递增;当 2b时, ()图像开口向上,对称轴 12b,而 0,对于 1x,总有 x0, )(xf,故此时 )(xf在区间 ),1(上递增;(方法二)当 时,对于 1, 22210bx所以 )(xf,故此时 )(xf在区间 ),(上递增;当 2b时, 图像开口向上,对称轴 2,方程 ()x的两根为:- 13 -224,bb,而222441, (0,1)4bbb当2(1,)x时, ()x0, )(xf,故此时 )(xf在区间24(,)b上递减;同理
11、得: )(f在区间24,)b上递增。综上所述,当 2b时, xf在区间 ,1(上递增;当 时, )(在 24,)b上递减; )(xf在 24,)b上递增。(2)(方法一)由题意,得: (1gxhh又 )(xh对任意的 ),1(都有 )0,所以对任意的 都有 (0x, ()在 1,)上递增。又 1212,)xm。当 ,m时, ,且 1212()(),()()xmxxm,综合以上讨论,得:所求 m的取值范围是(0,1) 。(方法二)由题设知, ()gx的导函数 2()(1)gxhx,其中函数 ()0hx对于任- 14 -意的 ),1(x都成立。所以,当 1x时, 2()(1)0gxh,从而 ()g
12、x在区间,上单调递增。当 (0,)m时,有 1211()()mm,12xxx,得 2,x,同理可得 12(,)x,所以由 ()g的单调性知 ()g、 12(),g,从而有| | 21x|,符合题设。当 0m时, 2()()xmx,1211()x,于是由 1,及 ()gx的单调性知()gxg,所以| )(g| (2|,与题设不符。当 m时,同理可得 12,x,进而得| )| )(21x|,与题设不符。因此综合、得所求的 m的取值范围是(0,1) 。20 2)在数列a n中,若 am=a2k,则由 am+am+2=2am+1,得 23k-1+23k=2(2k+1)化简得 43k-1=2k+1,此式
13、左边为偶数,右边为奇数,不可能成立若 am=a2k-1,则由 am+am+2=2am+1,得(2k-1)+(2k+1)=223 k-1化简得 k=3k-1,令 Tk (kN *),则 Tk+1Tk13 12033kk因此,1=T 1T 2T 3,故只有 T1=1,此时 K=1,m=21-1=1正整数 m 的值为 1- 15 -,因此2221() 303mmmT2341T所以只有 满足,此时2 2,La综上,存在正整数 和 ,使得 恰好分别是 an的 和121mS32数学 II 试题(附加题)1.解:设点 为曲线 上的任意一点,在矩阵 对应的变换作用下0(,)xy1xy103M得到的点为 ,则
14、,所以 5 分(,)xy01303xy所以曲线 在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 ,8110M 31xy分 所围成的图形为菱形,其面积为 .10分232.(1) ,曲线 ;:10lxy2:40Cxy(2)将 ( 为参数)代入曲线 C 的方程,得 ,2 ty 23=0t, 212114ttt1243tPAB3解:设 Ai表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市” ( i=1,2,13) - 16 -根据题意, ,且 2 分1()3iPA()ijAijI()设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ,则 58BA 4 分)58582()()13P()由题意可知, X 的所有可能取值为 0,1
15、,2,且,36736714(1)()()()3PAAPAP1211222 (5(0)()()3XPX X 的分布列为:X 0 1 2P 51343故 X 的数学期望 10541213E4. 解:(1) , , 是 R 上的的单调43()fxf2()()0xx()fx增函数。,可设33(0),()20ffQ30()fx在 递减,在 递增, ,4fx0,0,x0243()4!xff4,()0xRf(2)证明:用数学归纳法证明 有唯一解 且严格单调递增, 无实)(12fn12nx)(2fn数解。当 n=1 时,此时 有唯一解 ,且严格单调递增,而 无xf)(11 21)(2xf实数解,现在假设 有唯一解 且严格单调递增, 无实数解,0)(12xfn12nx0)(2xfn无实数解,所以 恒成立,所以 单调增21(),=nf 2()nfx21()nfx因为 ,当, ,21(0)nf1,x30, 0!()!)!8 分- 17 -所以21()0nf所以有唯一解,21()nfx21n212121()()0)!nnnxfxf综上所述,对任意正整数 n,当为偶数时 无解,当为奇数 有唯一0fn )(xfn解 。nx
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