1、1课时跟踪检测（一） 小题考法平面向量A 组107 提速练一、选择题1已知平面向量 a(3,4)，b ，若 ab，则实数 x 为( )(x，12)A B23 23C D38 38解析：选 C ab，3 4 x，解得 x ，故选 C.12 382(2019 届高三杭州六校联考)已知向量 a 和 b 的夹角为 120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a( )A9 B10C12 D13解析：选 D 向量 a 和 b 的夹角为 120，且|a|2，|b|5，ab25cos 1205，(2ab)a2a 2ab24513，故选 D.3(2018全国卷)在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E
2、为 AD 的中点，则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 解析：选 A 作出示意图如图所示 EB ED DB 12AD 12 ( ) ( ) .故选 A.CB 12 12 AB AC 12 AB AC 34AB 14AC 4设向量 a(2,1)，ab( m，3)，c(3,1)，若(ab)c，则 cosa，b( )A B35 35C D55 255解析：选 D 由(ab)c 可得， m3(3)10，解得 m1.所以 ab(1，3)，故 b(ab)a(3，4)2所以 cosa，b ，故选 D.ab|a|b| 23 1
3、4 2 2 1232 4 2 2555 P 是 ABC 所在平面上一点，满足| | 2 |0，则PB PC PB PC PA ABC 的形状是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：选 B P 是 ABC 所在平面上一点，且| | 2 |0，PB PC PB PC PA | |( )( )|0，CB PB PA PC PA 即| | |，CB AB AC | | |，AB AC AB AC 两边平方并化简得 0，AB AC ， A90，AB AC 则 ABC 是直角三角形6.(2018浙江二模)如图，设 A， B 是半径为 2 的圆 O 上的两个动点，点 C 为 A
4、O 中点，则 的取值范围是( )CO CB A1,3 B1,3C3，1 D3,1解析：选 A 建立平面直角坐标系如图所示，可得 O(0,0)， A(2,0)， C(1,0)，设 B(2cos ，2sin ) 0,2)则 (1,0)(2cos 1，2sin )2cos CO CB 11,3故选 A.7(2019 届高三浙江名校联考)已知在 ABC 中， AB4， AC2， AC BC， D 为 AB的中点，点 P 满足 ，则 ( )的最小值为( )AP 1aAC a 1a AD PA PB PC A2 B289C D258 72解析：选 C 由 知点 P 在直线 CD 上，以AP 1aAC a
5、1a AD 3点 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 C(0,0)， A(0,2)， B(2 ，0)， D( ，1)，直线 CD 的方程为 y x，设 P ，3 333 (x， 33x)则 ， ， ， PA ( x， 2 33x) PB (23 x， 33x) PC ( x， 33x) PB PC ， ( ) x(2 2 x) x2 x x2 x(23 2x， 233x) PA PB PC 3 23 433 83 1033 832 ， 当 x 时， ( )取得最小值 .(x538) 258 538 PA PB PC 2588已
6、知单位向量 a，b，c 是共面向量，ab ，acbc0， n0.若(yx)(ab)6，则 m2 n2的最小值为_解析：法一：依题意得， ma nb a(1 )b(ab)6，所以( m )a( n1 )b(ab)6，因为|a|b|ab2，所以 4(m )4( n1 )2( m )( n1 )6，所以 m n11，即 m n2，所以 m2 n2 m2(2 m)22 m24 m42( m1) 222，当且仅当 m1 时取等号，所以 m2 n2的最小值为 2.法二：依题意得， ma nb a(1 )b(ab)6，即( m )a( n1 )b(ab)6，因为|a|b|ab2，所以 4(m )4( n1
7、)2( m )( n1 )6，所以 m n11，即 m n2，所以 m2 n2( m n)22 mn42 mn42 22，当且仅当 m n1 时取等号，所以 m2 n2的最小值为 2.(m n2 )答案：217已知在 ABC 中， AC AB， AB3， AC4.若点 P 在 ABC 的内切圆上运动，则( )的最小值为_，此时点 P 的坐标为_PA PB PC 解析：因为 AC AB，所以以 A 为坐标原点，以 AB， AC 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(3,0)，C(0,4)由题意可知 ABC 内切圆的圆心为 D(1,1)，半径为 1
8、.因为点P 在 ABC 的内切圆上运动，所以可设 P(1cos ， 1sin )(0 2)所以 (1cos ，1sin )，PA (12cos ，22sin )，所以 ( )(1cos )PB PC PA PB PC (12cos )(1sin )(22sin )1 cos 2cos 2 22sin 2 1cos 11 2，当且仅当 cos 1，即 P(0,1)时， ( PA PB )取到最小值，且最小值为2.PC 答案：2 (0,1)B 组能力小题保分练1已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE2 EF，则
9、的值为( )AF BC A. B.58 187C. D.14 118解析：选 B 如图所示， .AF AD DF 又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，且 DE2 EF，所以 ， ，AD 12AB DF 12AC 14AC 34AC 所以 .AF 12AB 34AC 又 ，BC AC AB 则 ( )AF BC AC AB 2 2 12AB AC 12AB 34AC 34AC AB 2 2 | |2 | |2 | | |cos B34AC 12AB 14AC AB 34 AC 12 AB 14 AC AB AC.又| | |1， BAC60，AB AC 故 11 .AF BC 34 12
10、 14 12 182.如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 DC AB， ADC120，AB4， CD2，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ， ，则 的最小值是( )12 BC DF DC AE BF A4 13 B4 136 6C4 D4 6132 6 132解析：选 B 在等腰梯形 ABCD 中， AB4， CD2， ADC120，易得 AD BC2.由动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上得，Error!所以 1.所12以 ( )( ) AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF | | |cos 120| | | | |
11、|BE CF AB BC BE BC AB CF BE |cos 6042 24(1 )2 (1 )CF ( 12) 1 12 138 132 4 13 ，当且仅当 时取等号所12 3 8 3 6 648以 的最小值是 4 13.AE BF 63(2018台州一模)已知单位向量 e1，e 2，且 e1e2 ，若向量 a 满足12(ae 1)(ae 2) ，则|a|的取值范围为( )54A. B.232， 2 32 2 12， 2 12C. D.(0， 212 (0， 2 32解析：选 B 单位向量 e1，e 2，且 e1e2 ，12e 1，e 2120，|e 1e 2| 1.1 1 2( 12
12、)若向量 a 满足(ae 1)(ae 2) ，54则 a2a(e 1e 2)e 1e2 ，54|a| 2a(e 1e 2) ，74|a| 2|a|cosa，e 1e 2 ，74即 cosa，e 1e 2 .|a|2 74|a|1cosa，e 1e 21，1|a| 1，74|a|解得 |a| ，212 2 12|a|的取值范围为 .212， 2 124(2017丽水模拟)在 ABC 和 AEF 中， B 是 EF 的中点， AB EF1， BC6， CA，若 2，则 与 的夹角的余弦值等于_33 AB AE AC AF EF BC 解析：由题意可得 2( )2 2 22 3312BC AC AB
13、 AC AB AC AB 36， 1.AC AB AC AB 9由 2，AB AE AC AF 可得 ( ) ( )AB AB BE AC AB BF 2 AB AB BE AC AB AC BF 1 (1) AB BF AC BF ( )BF AC AB 2，12EF BC 故有 4.EF BC 再由 16cos ， ，EF BC EF BC 可得 6cos ， 4，cos ， .EF BC EF BC 23答案：235(2019 届高三镇海中学模拟)已知向量 a，b 的夹角为 ，|b|2，对任意 xR， 3有|b xa|ab|，则| tba| (tR)的最小值为_|tba2|解析：向量 a
14、，b 夹角为 ，|b|2，对任意 xR，有|b xa|ab|， 3两边平方整理可得 x2a22 xab(a 22ab)0，则 4(ab) 24a 2(a22ab)0，即有(a 2ab) 20，即为 a2ab，则(ab)a，由向量 a，b 夹角为 ，|b|2， 3由 a2ab|a|b|cos ，得|a|1， 3则|ab| ，a2 b2 2ab 3画出 a， b，建立平面直角坐标系，如图所示：AO AB 则 A(1,0)， B(0， )，3a(1,0)，b(1， )；310| tba| |tba2| 1 t 2 3t 2 (12 t)2 3t 2 4t2 2t 14t2 t 142 ( (t 14
15、)2 (0 34)2 (t 18)2 (0 38)2)表示 P(t,0)与 M ， N 的距离之和的 2 倍，(14， 34) (18， 38)当 M， P， N 共线时，取得最小值 2|MN|.即有 2|MN|2 .(14 18)2 (34 38)2 72答案：726已知定点 A， B 满足| |2，动点 P 与动点 M 满足AB | |4， (1 ) ( R)，且 | | |，则 的PB AM AB AP MA MP AP AM 取值范围是_；若动点 C 也满足| |4，则 的取值范围是_CB AC AM 解析：因为 (1 ) ( R)，AM AB AP 1 1，所以根据三点共线知，点 M
16、 在直线 PB 上，又| |MA |，记 PA 的中点为 D，连接 MD，如图，则 MD AP， MP AP AM ( ) 0 2，因为| |4，所以点 P 在以 B 为圆心，AP AD DM AP AD 12AP PB 4 为半径的圆上，则| |2,6，则 22,18AP AP AM 12AP 由于| MA| MB| MP| MB|4，所以点 M 在以 A， B 为焦点，长轴的长为 4 的椭圆上，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为 1，点 C 在圆( x1) 2 y216 上， A(1,0)，设 M(2cos ， sin )， C(4cos x24 y23 3 1，4sin )，则 (4cos 2,4sin )， (2cos 1， sin )，AC AM 3 (8cos 4)cos 4 sin sin 4cos 2AC AM 3 sin( )4cos 2 8cos 4 2 43sin 2(4cos 8)sin( )4cos 2，11最大值是(4cos 8)4cos 28cos 1018，最小值是(4cos 8)4cos 26，所以 6,18AC AM 答案：2,18 6,18
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