1、,知识点一 等可能事件发生的概率 设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的一种结 果出现.如果每种结果出现的可能性相同,那么我们就称这个试验的结 果是等可能的.如掷硬币、掷骰子等试验都属于等可能事件. 一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果, 那么事件A的概率为P(A)= . 例1 一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小 球.若红球个数是黑球个数的2倍多40个.从袋中任取一个球是白球的概 率是 .,(1)求袋中红球的个数; (2)求从袋中任取一个球是黑球的概率.,解析 (1)设黑球的个数为x,则红球的个数是(2x+40), 由题意得
2、,x+2x+40+290 =290,解得x=80, 2x+40=160+40=200. 答:袋中红球的个数为200. (2)由(1)知,黑球的个数为80, 则 = . 答:从袋中任取一个球是黑球的概率是 .,知识点二 游戏的公平性与游戏的设计 1.游戏规则的公平性 游戏是否公平是指双方获胜的可能性是否相同,只有当双方获胜的可能 性相同(等可能事件发生的概率相同)时,游戏才公平,否则游戏不公平. 注意:游戏对双方公平并不是说每一方获胜的概率均为 ,只要游戏双方 获胜的可能性(概率)相同即可. 2.按要求设计游戏 设计游戏是根据要求定好的规则解决具体问题,实际就是计算概率的逆 向应用.这类题是近几
3、年中考的新题型. 设计游戏需注意: (1)必须保证游戏中出现的各类事件是等可能的. (2)设计公平游戏时,要使随机事件发生的概率相同,设计不公平游戏时, 随机事件发生的概率不相同.,例2 一个转盘被等分成6个扇形,如图6-3-1.你能否在转盘上涂上适当 的颜色,使得自由转动这个转盘,当它停止转动时,分别满足以下的条件:图6-3-1 (1)指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同; (2)指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率. 你能设计一个方案,使得以上两个条件同时满足吗?,分析 因为这个转盘被等分成6个扇形,并且能够自由转动,因此指针落 在6个区域的可能性即概率相同.根据概率的计算公式
4、就可得出结论.本 题是一个开放题,答案不唯一.,解析 (1)只需涂红色和涂黄色的区域的面积相同即可; (2)只需涂蓝色区域的面积大于涂红色的即可. 若要以上两个条件同时满足,则需涂红色和涂黄色的区域面积相同,且 小于涂蓝色区域的面积即可. 方案:4个扇形涂成蓝色,1个扇形涂成红色,1个扇形涂成黄色. 知识点三 几何图形中的概率 在与图形有关的概率问题中,概率的大小往往与面积有关,这种类型的 概率称为几何概率.在几何事件中,某一事件发生的概率等于这一事件 所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 如P(小猫停留在黑砖上)= .再比如转盘游戏中,在一个被等分 成n个区域的几何
5、图形上做一个试验时,试验结果发生在每个区域内的,可能性一样,即发生在n个区域中每一个区域内的概率均为 .,例3 一张写有密码的纸片被随意地埋在如图6-3-2所示的矩形区域内 (每个方格大小一样). (1)埋在哪个区域的可能性大? (2)分别计算出埋在三个区域内的概率; (3)埋在哪两个区域的概率相同?图6-3-2,解析 (1)埋在“2”号区域的可能性大. (2)P(埋在“1”号区域)= ; P(埋在“2”号区域)= = ; P(埋在“3”号区域)= . (3)埋在“1”号和“3”号区域的概率相同. 知识点四 转盘问题中的概率 指针停留在某扇形内的概率等于该扇形的面积除以圆的面积,等于扇形 所占
6、圆的份数除以总份数,也等于扇形的圆心角的度数除以360,即P (指针停留在某扇形内)= = = .,例4 如图6-3-3,一个正六边形转盘被分成6个全等三角形,任意转动这 个转盘1次,当转盘停止时,指针指向阴影区域的概率是 ( )图6-3-3 A. B. C. D.,解析 转盘被均匀地分成6份,阴影部分占2份,转盘停止转动时指针指 向阴影部分的概率是 = .故选C.,答案 C,题型 设计符合要求的数学模型 例 如图6-3-4所示,准备了三张大小相同的纸片,其中两张纸片上各画 一个半径相等的半圆,另一张纸片上画一个正方形.将这三张纸片放在 一个盒子里摇匀,随机地抽取两张纸片,若可以拼成一个圆形(
7、取出的两 张纸片都画有半圆形),则甲赢;若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片 画有半圆、一张纸片画有正方形),则乙赢.你认为这个游戏对双方是公 平的吗?若不是,有利于谁?,图6-3-4,分析 通过计算拼成圆形和拼成蘑菇形的概率来判断游戏是否公平.,解析 P(拼成圆形)= ,P(拼成蘑菇形)= , 拼成蘑菇形的概率大于拼成圆形的概率,故游戏不公平,有利于乙. 点拨 设计符合要求的数学模型一定要有“预见性”,能预见到模型设 计好后的概率是否符合题目要求.设计完数学模型后,要验算一下所设 计的数学模型是否符合题目要求.,易错点 没有弄清“部分”与“全部”的区别 例 小华用如图6-3-5的转盘设计了一
8、个游戏:指到红色、甲胜;指到黄 色,乙胜,这个游戏公平吗?为什么?图6-3-5,错解 认为转盘有2种颜色,转出每种颜色的可能性都一样,所以游戏公 平.,错因分析 没注意到红色部分和黄色部分的面积不相等.,正解 指到红色的概率是 = ,指到黄色的概率为 = ,游戏不公平.,在转盘问题中感知数学建模 素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问 题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情 境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解 结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题. 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式.数学 建模
9、是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力. 在数学建模核心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验, 同学们能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模 型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型和完善 模型;能够提升应用能力,增强创新意识.,典例剖析,例 某商场柜台为了吸引顾客,打出的小广告如下:本专柜为了感谢广 大消费者的支持和厚爱,特举行购物抽奖活动,中奖率100%,最高奖50 元.具体方法是:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的机 会,如果转盘停止后,指针正好对准黄、红、绿、白色区域,顾客就可以 分别获得50元、20元、10元、
10、5元的购物券(如图6-3-6所示的转盘被等 分成16份).请根据以上信息,解答下列问题:,图6-3-6,(1)小亮的妈妈购物150元,她获得50元、5元购物券的概率分别是多少? (2)请在转盘的适当地方涂上某种颜色,使得自由转动这个转盘,当它停 止转动时,指针落在某一区域的事件发生概率为 ,并说出此事件.,解析 (1)转盘被等分成16份,黄色占1份,白色占11份,所以获得50元、5 元购物券的概率分别是 , . (2)指针落在某一区域的事件发生概率为 ,则16 =6块,根据等级越高, 中奖概率越小的原则,应涂绿色(图略),事件为获得10元购物券.,素养呈现 本题要从生活中的转盘游戏中构建数学模
11、型.对实际问题进 行数学抽象,用数学知识解决转盘问题.要明确,转盘被等分成16份,自由 转动过程中,指针指向每一份的可能性都相同,从而求出概率.,知识点一 等可能事件发生的概率 1.(2015四川遂宁中考)一个不透明的布袋中,放有3个白球,5个红球,它们 除颜色外完全相同,从中随机摸取1个,摸到红球的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 A P(摸到红球)= = .,2.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同,其中有 红球4个,绿球5个,从中任意摸出一个球是绿色的概率是 .求: (1)口袋里黄球的个数; (2)任意摸出一个球是黄球的概率.,解析 (1)口袋里共有球5 =
12、20(个), 所以口袋里有黄球20-(5+4)=11(个). (2)P(任意摸出一个球是黄球)= .,知识点二 游戏的公平性与游戏的设计 3.桌子上有7张卡片,分别写着17的数字,背面朝上,如果摸到单数,小丽 赢,如果摸到双数,小明赢. (1)这个游戏公平吗?为什么? (2)小明一定会输吗?为什么? (3)请你设计一个公平的游戏方案.,解析 (1)因为17这7个数中,单数有1,3,5,7,一共有4个,双数有2,4,6,一 共有3个,43,所以双方的机会不是均等的,这个游戏不公平. (2)因为小明赢的概率是37= ,所以小明不一定会输. (3)增加一张双数或减少一张单数,如果摸到单数,小丽赢,如
13、果摸到双数, 小明赢.,知识点三 几何图形中的概率 4.如图6-3-1所示,正方形花园ABCD中,AE=2米,BE=4米.一只小鸟任意落 下,求它落在阴影区域的概率.图6-3-1,解析 由题意得S正方形ABCD=(2+4)2=36平方米,S阴影=42+24=16平方米, P(小鸟落在阴影区域)= = .,知识点四 转盘问题中的概率 5.图6-3-2是三个可以自由转动的转盘,分别计算转盘停止后指针落在A 区域的概率.图6-3-2,解析 P(指针落在A区域)= . P(指针落在A区域)= = . P(指针落在A区域)= = .,1.如图,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,则飞镖落在白 色
14、区域的概率是 .,答案,解析 从图形上观察可得白色区域的面积是整个圆的面积的一半,所以 飞镖落在白色区域的概率是 .,2.(2015四川南充中考)从分别标有数-3,-2,-1,0,1,2,3的七张卡片中,随机 抽取一张,所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 .,答案,解析 |-3|=3,|-2|=2,|-1|=1,|0|=0,|1|=1,|2|=2,|3|=3,所抽卡片上数的绝对值 小于2的有3张,所以所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 .,3.小颖和小明做游戏:一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球,每个 球上分别标有1,2,2,3,4,5,从袋中任意摸出一个球,然后放回.规定:如果摸 到的球
15、上所标数字大于3,则小颖赢,否则小明赢.你认为这个游戏公平 吗?如果不公平,请修改游戏规则,使游戏公平.,解析 游戏不公平.理由如下:摸到的球上所标数字大于3的概率是 = ,摸到的球上所标数字不大于3的概率是 = , 小明赢的概率大,故游戏不公平. 修改规则如下: 方法一:如果摸到的球上所标数字小于3,则小颖赢;否则小明赢. 方法二:如果摸到的球上所标数字是偶数,则小颖赢,否则小明赢.,1.小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图6-3-3所示的靶子,点E、F 分别是长方形ABCD的两边AD、BC上的点,且EFAB,点M、N是EF上 任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是 ( )图6-3
16、-3 A. B. C. D.,答案 C 由题意得S阴影=S长方形ABCD-SAMB-SCND =ABAD- ABAE- CDED =ABAD- AB(AE+ED)= ABAD, P(飞镖落在阴影部分)= = .,2.如图6-3-4,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方 形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一 个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 ( )图6-3-4 A. B. C. D.,答案 A 要从7个空白小正方形中选1个涂上阴影,共有7种等可能结 果,其中符合要求的有4种结果,所以所求概率是 ,故选A.,3.小明和小红做如下游戏:任意
17、掷出两枚均匀且完全相同的硬币,若朝上 的面相同,则小明获胜;若朝上的面不同,则小红获胜.小红认为:朝上的 面相同有“两个正面”和“两个反面”两种情况;而朝上的面不同只有 “一正一反”一种情况,因此游戏对双方不公平,你认为呢?,解析 对两枚硬币的正、反两面朝上的情况,可作如下分析:每枚硬币 都有正与反两种情况.当第一枚出现正时,与第二枚的正、反就构成了 “正正”或“正反”两种等可能结果,因此,出现“两个正面”和“两 个反面”的可能性各为 ,而“两面不同”有“一正一反”和“一反一 正”两种可能,可能性也各为 ,即它们的可能性都为 ,是等可能事件. 所以游戏对双方公平.,4.某电视台的娱乐节目周末大
18、放送有这样的翻奖牌游戏,如下表,数 字的反面写有祝福语或奖金数,游戏规则:每翻动正面一个数字,看看反 面对应的内容可知是得奖还是得到温馨祝福. 正面,反面,计算:(1)“翻到奖金1 000元”的概率; (2)“翻到奖金”的概率; (3)“翻不到奖金”的概率.,解析 (1)P(翻到奖金1 000元)= . (2)P(翻到奖金)= = . (3)P(翻不到奖金)= = .,1.某电视栏目中的百宝箱互动环节是一种竞猜游戏,游戏规则如下:在20 张商标牌中,有5张商标牌的背面注明一定的奖金额,其余商标牌背面是 一张哭脸,若翻到哭脸,就不得奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌机会 (翻过的牌不能再翻),某观
19、众前两次翻牌均获得若干奖金,那么他第三次 翻牌获奖的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 20张商标牌中有奖的有5张,某观众前两次均获奖,而翻过的 牌不能再翻,因此剩下的18张商标牌中,有奖商标牌有3张,故他第三次翻 牌获奖的概率P= = .,2.(2016天津和平一模)在一个不透明的布袋中有2个白球和n个黄球,它 们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率 是 ,则n= .,答案 8,解析 由题意得 = ,解得n=8.,3.小明正在玩飞镖游戏,如果小明将飞镖随意投中如图所示的正方形木 框,那么投中阴影部分的概率为 .,答案,解析 设小正方形的边长为1,则S大
20、正方形=36, S阴影=8 11+ 23+ (4+2)1=10, P(投中阴影部分)= = = .,一、选择题 1.(2018广东云浮云城期末模拟,3,)在一个不透明的袋子里放入8 个红球,2个白球,小明随意地摸出一球,这个球为白球的概率是 ( ) A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.8,答案 A 摸出白球的概率为 =0.2.,2.(2017山西太原期末,6,)一个不透明的袋子中装有5个红球、4 个白球和3个黄球,每个球除颜色外完全相同,从中任意摸出一个球,下列 说法不正确的是 ( ) A.摸到红球、白球、黄球的概率相同 B.摸到白球的概率为 C.摸到黄球的概率为 D.摸到红球的概率
21、为,答案 A 由题意知P(摸到红球)= = ,P(摸到白球)= = ,P(摸 到黄球)= = ,故A不正确.,3.(2017广东学业考试,5,)从分别标有数-3,-2,-1,1,2,3的六张没有 明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数值大于-2的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 大于-2的数有-1,1,2,3,共4个,故P(所抽卡片上的数值大于-2) = = .,二、填空题 4.(2017河南平顶山宝丰期末,15,)在一次抽奖活动中,中奖概率是 0.12,则不中奖的概率为 .,答案 0.88,1.(2017江西吉安吉州期末,3,)袋子中红球有5个,白球有6个,则从 袋子
22、中摸出白球的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 袋子中共有5+6=11个球,摸到白球的概率为 .,2.(2016北京怀柔期末,20,)如图,有一个能自由转动的转盘,盘面 被等分成8个扇形,颜色分为黑、白两种,将指针的位置固定,让转盘自由 转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是 .,答案,解析 因为转盘上白色区域与黑色区域的面积相等,所以指针指向白色 扇形的概率是 .,3.(2016北京丰台期末,20,)一只小狗在如图所示的地板上走来走 去,地板是由大小相等的小正方形方砖铺成的.求最终停在黑色方砖上 的概率.,解析 一共有15块方砖,黑色方砖有5块,所以最终停在黑色方砖上的概
23、率是 = .,一、选择题 1.(2018湖南衡阳中考,5,)已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率 为 ,下列说法错误的是 ( ) A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次 D.通过抛一次均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的,答案 A A项,连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上,不正确,有可 能两次都正面朝上,也可能都反面朝上,故此选项符合题意;B项,连续抛 一枚均匀硬币10次都可能正面朝上,是一个随机事件,有可能发生,故此 选项不符合题意;C项,大量反复抛一枚均匀硬币,平均100次出现正
24、面朝 上50次,有可能发生,故此选项不符合题意;D项,通过抛一枚均匀硬币确 定谁先发球的比赛规则是公平的,概率均为 ,故此选项不符合题意.,二、填空题 2.(2018江苏盐城中考,12,)一只蚂蚁在如图6-3-5所示的方格地板 上随意爬行,每个小方格形状大小完全相同,当蚂蚁停下时,停在地板中 阴影部分的概率为 .图6-3-5,答案,解析 正方形被等分成9份,其中阴影方格占4份,当蚂蚁停下时,停 在地板中阴影部分的概率为 .,3.(2017山东日照中考,11,)如图6-3-6所示的圆形纸板被等分成10 个扇形挂在墙上,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上),则飞镖落在阴影 区域的概率是 .图6-3-
25、6,答案,解析 由题意可得:阴影部分有4个小扇形,总共有10个小扇形,故飞镖落 在阴影区域的概率是 = .,三、解答题 4.(2015江苏南京中考,22,)某人的钱包内有10元、20元和50元的 纸币各1张.从中随机取出2张纸币. (1)求取出纸币的总额是30元的概率; (2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.,解析 该人从钱包内随机取出2张纸币,可能出现的结果有3种,即(10, 20)、(10,50)、(20,50),并且它们出现的可能性相等. (1)取出纸币的总额是30元(记为事件A)的结果有1种,即(10,20),所以 P(A)= . (2)取出纸币的总额可购买一件51元的商
26、品(记为事件B)的结果有2种,即 (10,50)、(20,50),所以P(B)= .,1.(2016四川达州中考,6,)如图,在55的正方形网格中,从在格点 上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率 为 ( )A. B. C. D.,答案 D 从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形的可能情况一共有4 种,其中ABD,ADC,ABC是直角三角形,所以构成的三角形恰好是 直角三角形的概率为 .故选D.,2.(2018四川巴中中考,15,)从下列图形中任选一个恰好是轴对称 图形的概率为 .,答案,解析 共有5种图形,其中是轴对称图形的有等腰梯形,圆,两相交直线, 共3种
27、,故所求概率为 .,3.(2017江苏盐城中考,13,)如图是由大小 完全相同的正六边形组成的图形,小军准备用红 色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上 其中的一种颜色,则上方的正六边形涂红色的概 率是 .,答案,1.张华想加王老师微信给他拜年,可一时记不清王老师微信号码后三位 数的顺序,只记得是1,6,9三个数字,则张华一次试验添加王老师微信成 功的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 根据题意知:后三位可能为169、196、619、691、961、916, 有6种情况,而符合条件的只有1种情况,所以张华一次试验添加王老师 微信成功的概率是 .故选A.,2.杨华与季红用5张同样
28、规格的硬纸片做拼图游戏,正面如图6-3-7所 示,背面完全一样,将它们背面朝上搅匀后,同时抽出两张.规则如下: 当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时,杨华得1分;当两张硬纸片 上的图形可拼成房子或小山时,季红得1分.(如图6-3-7),图6-3-7 游戏规则对双方公平吗?请说明理由;若你认为不公平,如何修改游戏规 则才能使游戏对双方公平?,解析 这个游戏对双方不公平. P(拼成电灯)= ,P(拼成小人)= , P(拼成房子)= ,P(拼成小山)= , 杨华平均每次得分为 1+ 1= (分), 季红平均每次得分为 1+ 1= (分). ,游戏对双方不公平. 游戏规则改为:当拼成的图形是小人时杨
29、华得3分,其余规则不变,就能使 游戏对双方公平.(答案不唯一),1.(2014四川雅安中考)我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小 的三位数称为“V”数,如756,326,那么从2,3,4这三个数字组成的无重 复数字的三位数中任意抽取一个数,则该数是“V”数的概率为 .,答案,解析 2,3,4组成的无重复数字的所有三位数有234、243、324、342、 423、432,共六个,其中符合“V”数的有324、423,共两个,所以该数是 “V”数的概率为 = .,2.若正整数n使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中,各数位上均不产生进 位现象,则称n为“本位数”.例如2和30是“本位数”,而5和91不是“本 位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中,随机抽取一个数,则 抽到偶数的概率为 .,答案,解析 大于0且小于100的“本位数”有1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32, 共11个,其中偶数有7个,所以抽到偶数的概率为 .,
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