（江苏专用）2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第14讲函数的零点问题课件.pptx

1、第14讲 函数的零点问题,第14讲 函数的零点问题 1.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是 .,答案,2.函数f(x)= 的零点个数是 .,答案 2,解析 当x0时,由f(x)=x2-2=0,解得x=- ;当x0时,f(x)=2x-6+ln x,其零点个数 即为方程2x-6+ln x=0,x0的实根个数,也即为函数y=6-2x,y=ln x,x0图象的交 点个数,由函数图象可知f(x)=2x-6+ln x在(0,+)上有1个零点,故函数f(x)共有 2个零点.,3.已知函数f(x)= 若函数g(x)=|f(x)|-3x+b有三个零点,则实数b的取 值范围为 .,答案 (-

2、,-6),解析 函数g(x)= -3x+b有三个零点,即y= ,y=3x-b的图象有三个不同 的交点,在同一坐标系中作出两函数的图象如图,当直线y=3x-b与f(x)=4x-x2,x 0,4相切时,由f (x)=4-2x=3,x= ,即切点为 ,此时-b= ,由图可得0-b6,即b-6时,两个 函数图象有3个交点,综上可得,实数b的取值范围是(-,-6) .,4.若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m所组成的集 合为 .,答案 2,解析 因为f(-x)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,所以函数f(x)的唯一零点只能 是0,即f(0)=m2+2m-

3、8=0,解得m=2或-4.当m=2时, f(x)=x2-2cos x+2, f (x)=2x+2sin x0,x(0,+),则f(x)在x(0,+)上递增,此时f(x)有唯一零点x=0;当m=-4时, f (x)=x2+4cos x-4,有3个零点,不适合,舍去,故实数m的取值集合为2.,题型一 确定函数的零点个数,例1 (2018高考数学模拟试卷(1)设kR,函数f(x)=ln x+x2-kx-1,求: (1)k=1时,不等式f(x)-1的解集; (2)函数f(x)的单调递增区间; (3)函数f(x)在定义域内的零点个数.,解析 (1)k=1时,不等式f(x)-1,即ln x+x2-x0,设

4、g(x)=ln x+x2-x,因为g(x)= +2x- 1= 0在定义域(0,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)上单调递增,又g (1)=0,所以f(x)-1的解集为(1,+). (2)f (x)= +2x-k= (x0), 由f (x)0得2x2-kx+10(*).,(i)当=k2-80,即-2 k2 时,(*)在R上恒成立,所以f(x)的单调递增区间 为(0,+).,(ii)当k2 时,=k2-80,此时方程2x2-kx+1=0的相异实根分别为x1= , x2= ,因为 所以0x1x2,所以f (x)0的解集为 , 故函数f(x)的单调递增区间为 和 .,(iii)当k2 时,函数f(

5、x)的单调递增区间为 和 ; 当k2 时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+). (3)据(2)知当k2 时,函数f(x)在定义域(0,+)上单调递增,令,得x ,取m=max ,则当xm时, f(x)x2-kx- 10.设02 时, f(x)在(0,x1)和(x2,+)上递增,在(x1,x2)上递减,其中2x1-kx1+1=0,2 x2-kx2+1=0,则f(x1)=ln x1+ -kx1-1=ln x1+ -(2 +1)-1=ln x1- -2. 下面先证明ln x0):设h(x)=ln x-x,由h(x)= 0得00),即 ln x0).因 此,f(x1)m时, f(x)0, f(x)

6、的图象连续不间断,所以f(x)在区间(x2,+)上有 且仅有一个零点. 综上所述,函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点.,【方法归纳】 确定函数y=f(x)零点个数的方法:(1)解方程f(x)=0,方程有几个 解函数就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,确定与x轴的交点个数;(3)转 化为两个函数图象的交点个数.,1-1 (2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上, f (x)= 其中集合D= ,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.,答案 8,解析 由于f(x)0,1),则只需考虑1x10的情况, 在此范围内,xQ且xZ时,设x= ,

7、p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x0,1),可设lg x= ,m,nN*,m2且m,n互质,因此1 = ,则10n= ,此时 等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lg xQ, 因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等, 只需考虑lg x与每个周期内xD对应的部分的交点. 画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg,x)= = 1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.,题型二 已知函数的零点个数,求参数的取值范围,例2 (2018江苏)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零

8、点, 则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 .,答案 -3,解析 f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 若a0,则x0时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又f(0)=1,f(x)在(0,+) 上没有零点,a0. 当0 时, f (x)0, f(x)为增函数,x0时, f (x)有极小值,为f =- +1. f(x)在(0,+)内有且只有一个零点, f =0,a=3.,f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1).,f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4. 最大值与最小值的和为-3.,【方法归纳】 已知函数零点

9、个数,求参数的取值范围一般利用等价转化、 数形结合等思想,将问题转化为动直线与定曲线的交点个数问题.,2-1 (2018江苏盐城中学高三阶段检测)若函数f(x)= 在其定义域 上恰有两个零点,则实数a的取值范围为 .,答案 (-,0,解析 当x0时, f(x)=x+2x单调递增,且f(-1)=- 0,函数有1个零点, 所以当x0时f(x)也有1个零点,当x0时, f (x)=a- ,当a0时, f (x)1时, f(x)0时, f (x)=0, x= ,x , f (x)0, f(x)递增,则当f =1+ln a =0,a= 时,函数有1个零点,综上可得,实数a的取值范围是(-,0 .,2-2

10、 (2018南通高三第二次调研)设函数f(x)= (其中e为自然 对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是 .,答案 (1,+),解析 若e-x- =0得x=ln 20,则函数f(x)有3个不同的零点,即方程x3-3mx-2=0,x 0有两个不等实根,x=0时方程不成立,则3m=x2- ,x 0,g(x)递增,则3mg(-1)=3,m1.,题型三 函数的零点存在问题,例3 (2018高考数学模拟)设a0,e是自然对数的底数,已知函数f(x)= 有零点,且所有零点的和不大于6,则a的取值范围为 .,答案 (-,0)4,6,解析 a0时, f(x)在(0,+)上单调递增,因为f(1)=1

11、,所以f(x)在(0,+)上有一个小于1 的零点.因此满足条件.,a0时,00,所以f(x)在(-,0上没 有零点.又因为=a2-4a0,故f(x)在(0,+)上也没有零点.因此不满足题意.,2)1 0,所以f(x)在(-,0)上没有零点.又因为=a2-4a4时, f(x)在(-,0上没有零点,在(0,+)上有两个不相等的零点,且和为a, 故满足题意的范围是4a6. 综上所述,a的取值范围为(-,0)4,6.,【方法归纳】 (1)函数有零点即方程有解问题,一般解题策略是等价转化、 数形结合思想的灵活应用,利用等价转化思想将问题转化为两个函数图象有 交点时斜率的范围问题,或者转化为一个新的函数在某一区间上的值域.(2) 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的交点横坐标 是同一问题的三种不同说法.,3-1 若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,即方程a=4x-2x,x-1,1有解,则a的取 值范围就是函数y=4x-2x,x-1,1的值域,令2x=t,t ,y=t2-t= - ,t,值域是 ,即为a的取值范围.,