陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法第一课时教案北师大版选修2_2.doc

1、11.4 数学归纳法教学目标:1、知识与技能(1)了 解 归 纳 法 ， 理 解 数 学 归 纳 法 的 原 理 与 实 质 ， 掌 握 数 学 归 纳 法 证 题 的 两 个 步 骤 。(2)会 证 明 简 单 的 与 正 整 数 有 关 的 命 题 。2、过程与方法努 力 创 设 课 堂 愉 悦 的 情 境 ， 使 学 生 处 于 积 极 思 考 ， 大 胆 质 疑 的 氛 围 ， 提 高 学 生 学习 兴 趣 和 课 堂 效 率 ， 让 学 生 经 历 知 识 的 构 建 过 程 ， 体 会 类 比 的 数 学 思 想 。 3、情感态度价值观通 过 本 节 课 的 教 学 ， 使 学 生

2、 领 悟 数 学 思 想 和 辩 证 唯 物 主 义 观 点 ， 激 发 学 生 学 习 热情 ， 提 高 学 生 数 学 学 习 的 兴 趣 ， 培 养 学 生 大 胆 猜 想 ， 小 心 求 证 的 辩 证 思 维 素 质 ， 以 及发 现 问 题 、 提 出 问 题 的 意 见 和 数 学 交 流 能 力 。教学重点、难点:教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数 n（ n 取无限多个值）有关的数学命题。教学难点: (1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。(2)运用数学归纳法

3、时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。第 1 课时教学过程：一、课题引入：1、 “多 米 诺 骨 牌 ”游 戏 动 画 演 示22、 举 例 ： 如 自 行 车 赛 中 1 人 倒 了 ， 后 面 全 倒 了 ； 古 时 候 的 烽 火 台 ； 过 年 ， 放 鞭炮 ； 祖 辈 姓 王 ， 子 随 父 姓 ， 子 子 孙 孙 皆 姓 王 。3、 分 析 条 件 ， 引 导 学 生 迁 移 、 升 华 , 形 成 数 学 方 法 ： 第 一 块 骨 牌 倒 下 ； 任 意 相 邻 的 两 块 骨 牌 ， 前 一 块 倒 下 一 定 导 致 后 一 块 倒 下 。强 调 条 件 的 作

4、 用 ： 是 一 种 递 推 关 系 （ 第 k 块 倒 下 ， 使 第 k+1 块 倒 下 ） 。二、探求新知：提问问题 1：（ 1） 若骨 牌 有无数个，则满足了（1） 、 （2）后，能保证所有的骨 牌 都倒下吗？（ 2） 若将此骨 牌 问题抽象为证明数学问题 p（ n） ，该作何解释？经过启发诱导，得出数学归纳法及其证明题目的格式：证 明 一 个 与 正 整 数 有 关 命 题 的 关 键 步 骤 如 下 ：(1) 证 明 当 n=1(有 时 n 的 第 一 个 值 为 20n)时 结 论 正 确 ； (归 纳 奠 基 )(2) 假 设 当 n k (k *N， k ) 时 结 论 正

5、确 , 证 明 当 n k 1 时 结 论 也 正确 （ 归 纳 递 推 ）完 成 这 两 个 步 骤 后 , 就 可 以 断 定 命 题 对 从 0n开 始 的 所 有 正 整 数 n 都 正 确 这 种证 明 方 法 叫 做 数 学 归 纳 法 有 (1)无 (2)是 有 源 无 水 ； 有 (2)无 (1)是 有 水 无 源 。提出问题 2：3331+?nSn问题（2）的处理：启发学生借助于特殊化、归纳总结，得到猜想：32333(1)12+4nnS.如何进行证明呢？引导学生解决问题.三、实例应用例 1、 证明：首项为 1a，公差为 d的等差数列 na的前 项和公式为2)(nSn.例 2、

6、已知数列 na满足 11,0nna，猜想 na的通项公式并用数学归纳法证明。解析：由 11,02nna，得 20， 32， 4， 5a。归纳上述结果，可猜想 , 。下面用数学归纳法证明这个猜想。(1)当 1n时， 0a， 1，结论成立；(2)假设 ()k时，命题成立，即 1ka成立。那么，当 1n时， 1 (1)2kk ka ，这就是说，当k时等式成立。根据(1)和(2)，可知 na对于任意正整数 n 都成立。反思：证明 1命题也成立时，要有目标意识，瞄准目标“拼凑” 。变形：数列 n满足 (2)b， 1()nnaN，猜想 na的通项公式并证明。 （证明课后思考） 2()nb四、课堂练习1、用

7、数学归纳法证明：“2211(1)nnaa ”，在验证 1n时，左端计算所得的项为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 3242、用数学归纳法证明 (1)2(3)()213()nn时，从 n=k到 n=k+1，左端需要增加的代数式为（ ）A. 1 B. )(2k C. 1k D. k解析：B3、若命题 ()pn对 n=k 成立，则它对 2n也成立，又已知命题 )2(p成立，则下列结论正确的是（ ）A. )(对所有自然数 n 都成立B. np对所有正偶数 n 成立C. )(对所有正奇数 n 都成立D. 对所有大于 1 的自然数 n 成立解析：B五、课堂小结1、 数 学 归 纳 法 是 一 种 利

8、用 有 限 证 明 无 限 的 方 法 ， 它 适 用 于 与 自 然 数 有 关 的 问 题 。2、 用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 的 一 般 步 骤 ：1验 证 n=n0（ n0 为 命 题 允 许 的 最 小 正 整 数 ） 时 ， 命 题 成 立2假 设 n=k（ k n0） 时 命 题 成 立 ， 证 明 n=k+1 时 命 题 成 立 ，由 1和 2对 任 意 的 n n0, n N* 命 题 成 立 。两 个 步 骤 缺 一 不 可 ， 否 则 结 论 不 能 成 立 ；3、 在 证 明 递 推 步 骤 时 ， 必 须 使 用 归 纳 假 设 ， 进 行 恒 等 变 换 。5