陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法课件2北师大版选修2_2.ppt

1、1.4数学归纳法,第一阶段:输入阶段,创设问题情境，启动学生思维,不完全归纳法和完全归纳法对比引例,有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明,这则故事对我们有什么重要启示？,事物都是一分为二的，我们应该辩证地看问题，要学会灵活使用不完全归纳法。,第一阶段:输入阶段,回顾数学旧知，追溯归纳意识,这是不完全归纳法,这是完全归纳法,已知数列 前四项分别是 , 写

2、出该数列的一个通项公式,利用判别式总结直线和椭圆位置关系时需要分哪几种情况进行讨论？,需要分 和 三种情况进行讨论。,第一阶段:输入阶段,借助数学史料, 促使学生思辨,问题2 ,当nN时，是否都为质数？ 验证： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151， ， f（39）1 601 但是 f（40）1 681 ，是合数,多米诺骨牌,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,搜索生活实例，激发学习兴趣,多米诺骨牌游戏成功的关键有两点：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则

3、它的后一张牌必定倒下于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下,搜索：再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒, 烽火台传递信息，早操排队对齐等,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,问题探究：不等式 对于哪些正整数n都成立？证明你的结论。,（1）结论的发现：当 时，原不等式成立。,（2）尝试证明：结论的发现要通过大量的实验，如何改进刚才无穷无尽的实验方法？比如n=4时的情况。,已知n=3时，不等式成立，即 ,能否由此出发来证明不等式当n=4时也成立即 。等价于问题：已知 ，求证： （不用直接计算）,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,现

4、在已知n=4时，不等式成立，以此出发来证明 当n=5时，不等式也成立。即已知 ， 求证：,可以仿照刚才的证明那样，只要把3改成4，把4改成5就可以了。,刚才的证明与实验的不同之处是什么？,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,探究数学问题，领悟方法真谛,不同之处是：试验一次与另一次的均不同，要做无穷多次，永远做不完。而现在做的，虽然也要做无穷多次，但都是类似的，本质上是相同的。做一次可以顶很多次了。那么能否把刚才的问题一般化？,已知 ，求证：,证明这个命题的意义是什么？体现了什么数学思想？,意义在于将无穷多次重复的实验浓缩为一个具体步骤，体现了递推思想。,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,探究数学问题

5、，领悟方法真谛,思考与交流1：能否把刚才的思维过程用关键性的几个步骤表示出来？,（1）验证当n=3时原不等式成立；（2）假设当 时不等式成立，即 。则当n=k+1时所以根据（1），（2）不等式 对任何 都成立。,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,引导学生概括，形成科学方法,通过刚才问题的探讨，相信给大家留下了深刻的印象，请同学们类比刚才不等式问题的证明总结概括一下如何证明一个与正整数n有关的数学命题？它有哪几个关键步骤？,证明一个与正整数n有关的数学命题的关键步骤如下：（1）证明当n取第一个值 时命题成立；（2）假设当 时命题正确，证明当n=k+1 时命题也正确。 完成这两个步骤后，就可以断定命

6、题对从 开始的所有正整数n都正确。,这种证明与正整数n有关的命题的方法叫数学归纳法。,第三阶段:操作阶段,方法初步应用，培养反思意识,例1 证明：首项为 ，公差为d的等差数列 的前n项和公式为,证明：（1）当n=1时， ，命题显然成立； （2）假设当n=k时命题成立，即 则当n=k+1时， 由（1），（2）可知，对于任意的正整数n有,第三阶段:操作阶段,方法初步应用，培养反思意识,思考与交流2：有同学第二步采用下面的证法：假设n=k时命题成立，即 则当n=k+1时，因为所以即当n=k+1时命题也成立。你认为这样证明正确吗？为什么？,这样证明不正确，因为在第二步没有使用归纳假设，所以不是数学归纳

7、法的证明。,第四阶段:总结巩固阶段,师生共同小结，完成概括提升,本节课学习的主要内容是什么？什么叫归纳法？它分为哪几种类型？各有什么特点？数学归纳法的基本原理是什么？使用要点是什么？本节课主要涉及到哪些数学思想方法？,2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法；完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法。,3、数学归纳法的基本原理是递推（递归）思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设须用到，结论写明不能忘；,1、本节课的主要内容是归纳法和数学归纳法；,4、本节课涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想和辩证唯物主义思想。,第四阶段:总结巩固阶段,布置课后作业，巩固延伸升华,课本19页习题14第1，3题,补充作业：,已知数列 中， （1）计算 的值，并推测通项 的公式； （2）用数学归纳法证明你的结论。,