（江苏专用）2019高考数学二轮复习专题六数列第18讲等差数列、等比数列的基本问题课件.pptx

1、专题六 数列 第18讲 等差数列、等比数列的基本问题,第18讲 等差数列、等比数列的基本问题 1.已知an是公差不为0的等差数列,Sn是其前n项和,若a2a3=a4a5,S9=27,则a1的 值是 .,答案 -5,解析 设等差数列an的公差为d(d0),S9= =9a5=27,a5=3,则由a2a3=a4 a5得(3-3d)(3-2d)=3(3-d),解得d=2,则a1=a5-4d=3-8=-5.,2.已知等差数列cn的首项c1=1.若2cn+3为等比数列,则c2 017= .,答案 1,解析 设等差数列cn的公差为d,因为c1=1,则2c1+3=5,2c2+3=2d+5,2c3+3=4d+

2、5,由2cn+3为等比数列得(2c1+3)(2c3+3)=(2c2+3)2,则5(4d+5)=(2d+5)2,解得d= 0,则c2 017=c1=1.,3.等差数列an的前m项(m为奇数)之和为77,其中偶数项之和为33,且a1-am=1 8,则an的通项公式为 .,答案 an=-3n+23,4.已知数列an中,a1=1,a2=4,a3=10.若an+1-an是等比数列,则 ai= .,答案 3 049,解析 a2-a1=3,a3-a2=6,则等比数列an+1-an的公比是2,则an+1-an=32n-1,则an=a1+ (a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+3(1+2+22

3、+2n-2)=1+3 =32n-1-2,则 ai= 3(1+2+22+29)-20=3 -20=3(210-1)-20=3 049.,5.数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an,nN*,Sn=|a1|+|a2|+|an|,则Sn= .,答案,解析 由an+2=2an+1-an,nN*可得数列an是等差数列.又a1=8,a4=2,则公差d=- 2,an=8-2(n-1)=10-2n,当an0时,即10-2n0时,n5,所以当1n5,nN*时,Sn =a1+a2+an=-n2+9n;当n6时,Sn=a1+a5-(a6+an)=n2-9n+40, 综上可得,Sn=,题型一

4、等差、等比数列的运算,例1 (1)(2018徐州高三考前模拟)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5+ a7+a9=10, - =36,则S10的值为 ; (2)(2018扬州高三第三次调研)已知an是等比数列,Sn是其前n项和.若a3=2,S12 =4S6,则a9的值为 .,答案 (1) (2)2或6,解析 (1)因为an是等差数列,所以a1+a3+a5+a7+a9=5a5=10,即a5=2,设公差为d, 则 - =(a8+a2)(a8-a2)=2a56d=24d=36,d= ,则a6=a5+d= ,S10= =5(a5+ a6)= . (2)由S12=4S6得等比数列的公比q1

5、,则 = ,化简得1-q12=4(1-q 6),解得q6=1或q6=3,又 a3=2,则a9=a3q6=2或6.,【方法归纳】 (1)灵活应用等差数列、等比数列的性质可简化运算,如an 是等差数列,且m+n=p+q,m,n,p,qN*,则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2p,m,n,pN *,则am+an=2ap;如an是等比数列,且m+n=p+q,m,n,p,qN*,则aman=apaq,特别地, m+n=2p,m,n,pN*,则aman= . (2)通项公式中含参数的数列成等差数列或等比数列时,一般利用特殊值法建 立方程求参数的值. (3)进行运算求解时要注意等价,如本例(2)容易

6、漏解,判断出q1后从“1-q12= 4(1-q6)”两边同时约去1-q6导致遗漏2,即q=-1的情况,所以在约分时要慎重.,1-1 (2015江苏扬州中学高三第四次模拟)已知数列an与 (nN*)均为 等差数列,且a1=2,得a10= .,答案 20,解析 设等差数列an的公差为d,则由 (nN*)为等差数列,且a1=2,得 = 4, = , = 成等差数列,则4+ =2 ,解得d=2,故a10 =a1+9d=20.,题型二 等差、等比数列的证明,例2 (2018江苏五校高三学情检测)已知数列an,bn满足:bn=an+3an+1,nN*. (1)若bn=n,a2+a3=0,求a1的值; (2

7、)设an=bn+bn+1,a1=-1,a2= ,求证:数列bn从第2项起成等比数列; (3)若数列bn成等差数列,且b1=5a2-a3,试判断数列an是否成等差数列?并证 明你的结论.,解析 (1)当n=1,2时,可得a1+3a2=1,a2+3a3=2,又a2+a3=0,从而可得a1=4. (2)证明:由a1=-1,a2= ,可得b1=a1+3a2=- , b2=a1-b1=- ,又因为bn=an+3an+1,an=bn+bn+1, 所以bn=(bn+bn+1)+3(bn+1+bn+2),即4bn+1=-3bn+2,nN*. 又b2=- 0,所以bn+1=- bn,nN*且n2,所以数列bn从

8、第2项起成等比数列. (3)an成等差数列.证明如下:,由b1=5a2-a3可得a1+3a2=5a2-a3,即a3-2a2+a1=0; 由bn=an+3an+1可得bn+1=an+1+3an+2,bn+2=an+2+3an+3. 又因为数列bn成等差数列,从而bn+2-bn+1=bn+1-bn,即bn+2-2bn+1+bn=0,从而bn+2-2bn+1+bn=(an+2+3an+3)-2(an+1+3an+2)+(an+3an+1)=0,即an+2-2an+1+an=-3(an+3-2an+2+an+1),所以an+2-2an+1+an=an-1(a3-2a2+a1)=0,故an+2-an+1

9、=an+1-an, 所以数列an成等差数列.,【方法归纳】 判断或证明数列是等差(等比)数列的两种方法 定义法:对于任意自然数n(n1),验证an+1-an 为同一常数. 中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若 =an-1an+1(an 0,nN*,n2),则an为等比数列. 利用递推公式证明等差或等比数列,一般利用等差、等比中项法,利用通项公 式证明等差或等比数列,一般利用定义法.,2-1 (2018南通高三第二次调研)设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1, b2,b3,b4的公差为d,且q1,d0.记ci=ai+bi(i=1,2,

10、3,4). (1)求证:数列c1,c2,c3不是等差数列; (2)设a1=1,q=2.若数列c1,c2,c3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域; (3)数列c1,c2,c3,c4能不能为等比数列?并说明理由.,解析 (1)证明:假设数列c1,c2,c3是等差数列, 则2c2=c1+c3,即2(a2+b2)=(a1+b1)+(a3+b3). 因为b1,b2,b3是等差数列,所以2b2=b1+b3, 从而2a2=a1+a3. 又因为a1,a2,a3是等比数列,所以 =a1a3. 所以a1=a2=a3,这与q1矛盾,从而假设不成立. 所以数列c1,c2,c3不是等差数列. (2)因为a1

11、=1,q=2,所以an=2n-1(n=1,2,3,4). 因为 =c1c3,所以(2+b2)2=(1+b2-d)(4+b2+d),即b2=d2+3d, 由c2=2+b20,得d2+3d+20,所以d-1且d-2. 又d0,所以b2=d2+3d,定义域为dR|d-1,d-2,d0. (3)设c1,c2,c3,c4成等比数列,其公比为q1, 则,将+-2得,a1(q-1)2=c1(q1-1)2,将+-2得,a1q(q-1)2=c1q1(q1-1)2, 因为a10,q1,得c10,q11. 由得q=q1,从而a1=c1. 代入得b1=0. 再代入,得d=0,与d0矛盾. 所以c1,c2,c3,c4不

12、成等比数列.,题型三 等差、等比数列的综合问题,例3 (2018江苏,14,5分)已知A=x|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*.将AB的 所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则 使得Sn12an+1成立的n的最小值为 .,答案 27,则Tl=22l-2+2l+1-2,则l,Tl,n,an+1的对应关系为,观察到l=5时,Tl=S2112a39, 则n22,38),nN*时,存在n,使Sn12an+1, 此时T5=A1+A2+A16+B1+B2+B3+B4+B5,则当n22,38),nN*时,Sn=T5+ =n2-10n+87.,an+1=An+1

13、-5=An-4, 12an+1=122(n-4)-1=24n-108,Sn-12an+1=n2-34n+195=(n-17)2-94, 则n27时,Sn-12an+10,即nmin=27.,【方法归纳】 等差数列与等比数列交汇的 问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用数列的性质,可使运算简便, 而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.,3-1 设数列an,bn分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. (1)已知b1=1,b2b3-b2+6=0,求数列bn的前n项和Sn; (2)已知数列an的公差为d(d0),且a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2

14、n+1+2,求数列an, bn的通项公式(用含n,d的式子表达).,解析 (1)设bn的公比为q,则有q3-q+6=0,即(q+2)(q2-2q+3)=0,所以q=-2,从而 Sn= . (2)由a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2得a1b1+a2b2+an-1bn-1=(n-2)2n+2,两式两边 分别相减得anbn=n2n,所以an-1bn-1=(n-1)2n-1,两式两边分别相除得 q= (n 2),其中q是等比数列bn的公比.所以 q= (n3),上面两式两边分别 相除得 = (n3).所以 = ,即 = ,解得a1=d或a1=-3d.若 a1=-3d,则a4=0,有424=a4b4=0矛盾,所以a1=d满足条件,所以an=dn,bn= .,