1、1仿真模拟练(一)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合 A1,2,3,4,5, B xN|( x1)( x4)0 时, yln x x2,则 y 2 x,当 x 时,1x (0, 22)y 2 x0, yln x x2单调递增,排除 C.选 A.1x答案:A7中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商3鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 取 3,其体积为 12.6(单位:立方寸),则图中的 x 为 ( )A1.2 B1.6C1.8 D2.4解析:该几何体是一个组合体,左边是一个底面
2、半径为 的圆柱,右边是一个长、宽、12高分别为 5.4 x、3、1 的长方体,组合体的体积 V V 圆柱 V 长方体 2x(5.4 x)3112.6(其中 3),解得 x1.6.故选 B.(12)答案:B8已知函数 f(x)Error!则不等式 f(x)5 的解集为 ( )A1,1 B(,2(0,4)C2,4 D(,20,4解析:当 x0 时,3log 2x5,解得 x4,故 00, b0)的右焦点为 F(c,0),圆 F:( x c)2 y2 c2,直x2a2 y2b2线 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直且在 x 轴上的截距为 a.若圆 F 被直线 l 所截得的弦23长为 c,则双曲线的离
3、心率为 ( )423A. B.43 53C2 D3解析:不妨设直线 l 的方程为 y (x a),即 ax by a20,圆 F 被直线 l 所截ab 23 23得的弦长为 c,圆心 F 到直线 l 的距离为 ,即423 c2 223c 2 c3 ,化简得 c23 ac2 a20,即( c a)(c2 a)0, c2 a, e2.|ac 23a2|c c3答案:C11已知函数 f(x) Asin(x )(A0, 0,00,(2 56) 13所以 2 ,56 (56, )则 cos ,故选 C.(2 56) 1 sin2(2 56) 223答案:C12设函数 f(x)Error!(e 是自然对数
4、的底数),若 f(2)是函数 f(x)的最小值,则 a 的取值范围是 ( )A1,6 B1,4C2,4 D2,6解析:当 x2 时,对函数 f(x) a10 的单调性进行研究,求导后发现 f(x)在xln x(2,e)上单调递减,在(e,)上单调递增,即函数 f(x)在 x2 时的最小值为 f(e);当 x2 时, f(x)( x a)2e 是对称轴方程为 x a 的二次函数,欲使 f(2)是函数的最小值,则Error!Error!2 a6,故选 D.答案:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,把答案填在相应题号后的横线上)13已知过点(2,4)的直线 l 被圆 C: x2 y22
5、 x4 y50 截得的弦长为 6,则直线 l 的方程为_解析:由题意得圆 C 的标准方程为( x1) 2( y2) 210,因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6,所以圆心(1,2)到直线 l 的距离 d 1,当直线 l 的斜率不存在时,10 (62)2直线方程为 x2,符合题意;当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y kx b,则圆心(1,2)到直线 l 的距离 d 1 ,又因为直线 l 过点(2,4),所以 42 k b |k b 2|1 k2,联立,解得Error!所以直线 l 的方程为 y x ,即 3x4 y100.综上,34 52直线 l 的方程为 x2 或 3x4 y100.
6、答案: x2 或 3x4 y10014已知实数 x, y 满足Error!,则目标函数 z x y 的最小值为_解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 x y0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,3)(直线 2x y10 与 x y50 的6交点)时, z x y 取得最小值1.答案:115过抛物线 C: y22 px(p0)的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A, B 两点,以 AB 为直径的圆与 C 的准线有公共点 M,若点 M 的纵坐标为 2,则 p 的值为_解析:设点 A(x1, y1), B(x2, y2)由题意得抛物线的焦点坐标为 ,(p2
7、, 0)所以直线 AB 的方程为 y2 ,与抛物线的方程联立,(xp2)消去 x 得 y2 py p20,则Error!则Error!由题意得点 M 的坐标为 ,因为以 AB 为直径的圆经过点 M,(p2, 2)所以 x1x2 (x1 x2) y1y22( y1 y2)MA MB (x1 p2, y1 2) (x2 p2, y2 2) p2 p2440,将 y1 y2, y1y2, x1 x2, x1x2的值代入解得 p4.答案:416若函数 f(x) ax(a0, a1)在1,2上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)(14 m) 在0,)上是增函数,则 a_.x解析:若 a1,有
8、a24, a1 m,此时 a2, m ,此时 g(x) 为减函数,不合12 x题意若 0e1 时, ( x)0, (x)单调递增所以 (x)的极小值为 (e1 )e 1 .如图,作出函数 (x)的大致图象,则要使方程 xln x 有唯一的实根,只需直线 y 与曲线 y (x)有唯一的交点,则1a 1ae 1 或 0,解得 ae 或 a0.1a 1a故实数 a 的取值范围是e(0,)21(本小题满分 12 分)已知椭圆 1( ab0)的左、右两个焦点分别为 F1, F2,离心x2a2 y2b2率 e ,短轴长为 2.22(1)求椭圆的方程;(2)如图,点 A 为椭圆上的一动点(非长轴端点), A
9、F2的延长线与椭圆交于 B 点, AO 的延长线与椭圆交于 C 点,求 ABC 面积的最大值解析:(1)由题意得 2b2,解得 b1, e , a2 b2 c2, a , c1,ca 22 2故椭圆的标准方程为 y21.x22(2)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨取 A(1, ), B(1, ), C(1, ),22 22 22故 S ABC 2 ;12 2 2当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为y k(x1),联立方程得11Error!,化简得(2 k21) x24 k2x2 k220,设 A(x1, y1), B(x2, y2), x1 x2 , x1x2 ,4k22k2
10、1 2k2 22k2 1|AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k22k2 1 2 42k2 22k2 12 ,2k2 12k2 1点 O 到直线 kx y k0 的距离 d ,| k|k2 1 |k|k2 1 O 是线段 AC 的中点,点 C 到直线 AB 的距离为 2d ,2|k|k2 1 S ABC |AB|2d12 (2 )12 2 k2 12k2 1 2|k|k2 12 2k2 k2 1 2k2 1 22 214 14 2k2 1 2 .2综上, ABC 面积的最大值为 .2请考生在下面 2 题中任选一题作答,作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44
11、:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数),在以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 2 sin .5(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程;(2)若点 P 的坐标为(3, ),圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求| PA| PB|的值5解析:(1)由Error!( t 为参数)得直线 l 的普通方程为 x y3 0.5又由 2 sin 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y0,即 x2( y )25.5 5 5(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得(3 t)
12、2( t)25,即 t23 t40,由于 (3 )24420,故可设22 22 2 2t1, t2是上述方程的两实数根,则Error!又直线 l 过点(3, ), A, B 两点对应的参数分别为 t1, t2,512所以| PA| PB| t1| t2|3 .223(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲设函数 f(x)| x | x |.a 1 a(1)当 a1 时,求不等式 f(x) 的解集;12(2)若对任意 a0,1,不等式 f(x) b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围解析:(1)当 a1 时, f(x) 等价于| x1| x| .12 12当 x1 时,不等式化为 x1
13、x ,无解;12当1f(x)max.因为 f(x)| x | x | x x | | ,a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a当且仅当 x 时取等号所以 f(x)max .1 a a 1 a因为对任意 a0,1,不等式 f(x) b 的解集为空集,所以 b max.a 1 a以下给出二种思路求 g(a) 的最大值a 1 a思路一:令 g(a) ,所以 g2(a)12 1( )2( )a 1 a a 1 a a 1 a22,当且仅当 ,即 a 时等号成立所以 g(a)max .a 1 a12 2所以 b 的取值范围为( ,)2思路二:令 g(a) .a 1 a因为 0 a1,所以可设 acos 2 (0 ) 2则 g(a) cos sin sin ,当且仅当 时a 1 a 2 ( 4) 2 4等号成立,所以 b 的取值范围为( ,)213
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