1、1专项突破练 7 二次函数压轴题1.(2018 四川达州)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行 .某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的 50%标价 .已知按标价的九折销售该型号自行车 8 辆与将标价直降 100 元销售 7 辆获利相同 .(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出 51 辆;若每辆自行车每降价 20 元,每月可多售出 3 辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?解 (1)设进价为 x 元,则标价是 1.5x 元,由题意得1
2、.5x0.98-8x=(1.5x-100)7-7x,解得 x=1000,1.51000=1500(元),答:进价为 1000 元,标价为 1500 元;(2)设该型号自行车降价 a 元,利润为 w 元,由题意得 w= (1500-1000-a),(51+a203)=- (a-80)2+26460,320- 20,不合题意舍去;当 x=45 时,100 -2x=10,答: AD 的长为 10m.(2)设 AD=xm,S= x(100-x)=- (x-50)2+1250,12 12当 a50 时,则 x=50 时, S 的最大值为 1250;当 00 时, 2=8,12(m+52+2)解得 m=
3、,此时 M 点坐标为 ;72 (0,72)当 m0 时, 2=8,解得 m=- ,此时 M 点坐标为 ;12(-m+52+2) 72 (0,-72)综上所述, M 点的坐标为 .(0,72)或 (0,-72)6.(2018 广西南宁)如图,抛物线 y=ax2-5ax+c 与坐标轴分别交于点 A,C,E 三点,其中 A(-3,0),C(0,4),点 B 在 x 轴上, AC=BC,过点 B 作 BD x 轴交抛物线于点 D,点 M,N 分别是线段 CO,BC 上的动点,且CM=BN,连接 MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标;(2)当 CMN 是直角三角形时,求点 M 的坐标
4、;(3)试求出 AM+AN 的最小值 .7解 (1)把 A(-3,0),C(0,4)代入 y=ax2-5ax+c 得 解得9a+15a+c=0,c=4, a= -16,c=4, 抛物线解析式为 y=- x2+ x+4;16 56AC=BC ,CO AB,OB=OA= 3,B (3,0),BD x 轴交抛物线于点 D,D 点的横坐标为 3,当 x=3 时, y=- 9+ 3+4=5,16 56D 点坐标为(3,5) .(2)在 Rt OBC 中, BC= =5,OB2+OC2= 32+42设 M(0,m),则 BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1, MCN= OCB, 当 时, CMN C
5、OB,则 CMN= COB=90,即 ,解得 m= ,此时 M 点坐标为CMCO=CNCB 4-m4 =m+15 169;(0,169)当 时, CMN CBO,CMCB=CNCO则 CNM= COB=90,即 ,解得 m= ,此时 M 点坐标为 ;4-m5 =m+14 119 (0,119)综上所述, M 点的坐标为 .(0,169)或 (0,119)(3)连接 DN,AD,如图,AC=BC ,CO AB,OC 平分 ACB, ACO= BCO,BD OC, BCO= DBC,DB=BC=AC= 5,CM=BN, ACM DBN,AM=DN ,AM+AN=DN+AN ,而 DN+AN AD(当且仅当点 A,N,D 共线时取等号),8DN+AN 的最小值 = ,62+52= 61AM+AN 的最小值为 .61
