（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习第一篇知识方法固基第四单元图形初步与三角形考点强化练16等腰、等边与直角三角形试题.docx

1、1考点强化练 16 等腰、等边与直角三角形夯实基础1.(2018四川凉山)如图,在 ABC 中,按以下步骤作图: 分别以 A、 B 为圆心,大于 AB 长为半径作弧,两12弧相交于 M、 N 两点; 作直线 MN 交 BC 于点 D,连接 AD.若 AD=AC, B=25,则 C=( )A.70 B.60 C.50 D.40答案 C解析 由作图可知 MN 为线段 AB 的垂直平分线,AD=BD , DAB= B=25, CDA 为 ABD 的一个外角, CDA= DAB+ B=50.AD=AC , C= CDA=50.故选 C.2.(2017浙江温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形

2、ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为 S 的小正方形 EFGH.已知 AM 为 Rt ABM 较长直角边, AM=2 EF,则正方形 ABCD 的面2积为( )A.12S B.10S C.9S D.8S答案 C解析 由题意可知 EF=EH=HG=GF= ,4 个白色的矩形全等,且矩形的长均为 ,宽为( ),S 2S 2S- S则直角三角形的短直角边长为 .S由勾股定理得 AB= =3 ,所以正方形 ABCD 的面积为 9S.BM2+AM2= S+8S S3.2(2018山东淄博)如图,在 Rt ABC 中, CM 平分 ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN BC 交 AC

3、 于点 N,且 MN 平分 AMC,若 AN=1,则 BC 的长为( )A.4 B.6 C.4 D.83答案 B解析 MN BC, ANM= ACB, NMC= MCB,CM 平分 ACB, MCB= MCN= ACB, NMC= NCM,MN=NC.12MN 平分 AMC, AMN= NMC= AMC,12 AMN= ACB= ANM,12 12 A=90, AMN=30.AN= 1,MN= 2,NC= 2,AC= 3, B= AMN=30,BC= 2AC=6.故选 B.4.(2018江苏扬州)在 Rt ABC 中, ACB=90,CD AB 于点 D,CE 平分 ACD 交 AB 于点 E

4、,则下列结论一定成立的是( )A.BC=EC B.EC=BEC.BC=BE D.AE=EC答案 C解析 ACB=90,CD AB, ACD+ BCD=90, ACD+ A=90, BCD= A.CE 平分 ACD, ACE= DCE. BEC= A+ ACE, BCE= BCD+ DCE, BEC= BCE,BC=BE. 故选 C.5.(2018贵州遵义)如图, ABC 中,点 D 在 BC 边上, BD=AD=AC,E 为 CD 的中点,若 CAE=16,则 B 为 度 . 答案 37解析 AD=AC ,E 为 CD 的中点,3 DAC=2 CAE=32, ADC= (180- DAC)=7

5、4.12BD=AD , B= ADC=37.126.(2017江苏扬州)如图,把等边三角形 ABC 沿着 DE 折叠,使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处,且DP BC,若 BP=4 cm,则 EC= cm. 答案 2+2 3解析 根据“30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得 BD=8,再由勾股定理求得 DP=4 .3根据折叠的性质可以得到 DPE= A=60,DP=DA=4 ,易得 EPC=30, PEC=90,所以 EC=3PC= (8+4 -4)=2+2 .12 12 3 37.(2018天津)如图,在边长为 4 的等边 ABC 中, D、 E 分别为 AB、 BC 的中点, E

6、F AC 于点 F,G 为 EF的中点,连接 DG,则 DG 的长为 . 答案192解析 连接 DE, 在边长为 4 的等边 ABC 中, D,E 分别为 AB,BC 的中点, DE 是 ABC 的中位线,DE= 2,且 DE AC,BD=BE=EC=2,EF AC 于点 F, C=60, FEC=30, DEF= EFC=90,4FC= EC=1,故 EF= ,12 22-12= 3G 为 EF 的中点, EG= ,32DG= .DE2+EG2=1928.(2017内蒙古呼和浩特)如图,等腰三角形 ABC 中, BD,CE 分别是两腰上的中线 .(1)求证: BD=CE;(2)设 BD 与

7、CE 相交于点 O,点 M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点 .当 ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时,判断四边形 DEMN 的形状,无需说明理由 .(1)证明 AB ,AC 为等腰三角形的两腰,AB=AC.BD ,CE 分别是两腰上的中线,AE=AD.在 AEC 与 ADB 中,AE=AD , A= A,AC=AB, AEC ADB,BD=CE.(2)解 四边形 DEMN 为正方形 . 导学号 167341189.(2018浙江绍兴)数学课上,张老师举了下面的例题:例 1 等腰三角形 ABC 中, A=110,求 B 的度数 .(答案:35)例 2 等腰三角形 ABC 中,

8、 A=40,求 B 的度数 .(答案:40或 70或 100)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式:等腰三角形 ABC 中, A=80,求 B 的度数 .(1)请你解答以上的变式题 .(2)解(1)后,小敏发现, A 的度数不同,得到 B 的度数的个数也可能不同 .如果在等腰三角形 ABC中,设 A=x,当 B 有三个不同的度数时,请你探索 x 的取值范围 .解 (1)当 A 为顶角时, B=50,当 A 为底角时,若 B 为顶角,则 B=20,若 B 为底角,则 B=80, B=50或 20或 80.(2)分两种情况: 当 90 x180 时, A 只能为顶角,5 B 的度数只有

9、一个 . 当 0x90 时,若 A 为顶角,则 B= ,(180-x2 )若 A 为底角,则 B=x或 B=(180-2x),当 180 -2x 且 x 且 180-2x x,即 x60 时, B 有三个不同的度数 .180-x2 180-x2综上 ,当 0x90 且 x60, B 有三个不同的度数 .提升能力10.(2018四川绵阳)如图, ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形, CA=CB,CE=CD, ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上,若 AE= ,AD= ,则两个三角形重叠部分的面积为( )2 6A. B.3-2 2C. -1 D.3-3 3答案 D解析 过 A 点作

10、AF CE 于点 F,设 AB 与 CD 的交点为 M,过 M 点作 MN AC 于点 N. ECD 为等腰直角三角形, E=45.AE= ,AD= ,2 6AF=EF= 1,CE=CD= =1+ ,DE2 3CF= ,3AC= =2, ACF=30,AF2+CF2 ACD=60.设 MN=x, ABC 为等腰直角三角形, CAB=45,AN=MN=x ,CN= x,MN3= 33AC=AN+CN=x+ x=2,解得 x=3- ,33 3S ACM= ACMN=3- .故选 D.12 3611.(2017安徽名校模拟)在 ABC 中, C=90,BC=3,AB=5,点 D 在 ABC 的边上,

11、且 AD=1,将 ABC折叠,使点 B 落在点 D 处,折痕交边 AB 于点 E,交另一边于点 F,则 BE= . 答案 2 或157解析 分两种情况讨论,情况一:当 D 在 AB 上时,则 BD=AB-AD=4,由于 B 与 D 关于折痕对称,所以BE=DE= BD=2;12情况二:当 D 在 AC 上时, BE= .15712.(2018云南)在 ABC 中, AB= ,AC=5.若 BC 边上的高等于 3,则 BC 边的长为 . 34答案 1 或 9解析 设边 BC 上的高为 AD.当边 BC 上的高 AD 在 ABC 的内部时,如图(1)所示,在 Rt ABD 中,由勾股定理得 BD=

12、5,在 Rt ACD 中,由勾股定理得 CD= =4,所AB2-AD2= ( 34)2-32 AC2-AD2= 52-32以 BC=5+4=9.当边 BC 上的高 AD 在 ABC 的外部时,如图(2)所示,同理 BD=5,CD=4,所以 BC=5-4=1.13.(2018四川广安)下面有 4 张形状,大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是 1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:(1)画一个直角边为 4,面积为 6 的直角三角形 .(2)画一个底边为 4,面积为 8 的等腰三角形 .(3)画一个面积为 5 的等腰直

13、角三角形 .(4)画一个底边长为 2 ,面积为 6 的等腰三角形 .2解 如图所示 .(1)直角边为 4、3 的直角三角形(2)底边为 4,底边上的高为 4 的等腰三角形7(3)直角边为 的等腰直角三角形10(4)底边为 2 ,底边上的高为 3 的等腰三角形2 2创新拓展14.(2018湖北十堰)如图,Rt ABC 中, AB=3,AC=6 ,点 D,E 分别是边 BC,AC 上的动点,则 DA+DE 的最2小值为 . 答案163解析 作 A 关于 BC 的对称点 A,连接 AA,交 BC 于 F,过 A作 AE AC 于点 E,交 BC 于点 D,则 AD=AD,此时 AD+DE 的值最小,

14、就是 AE 的长 .Rt ABC 中, BAC=90,AB=3,AC=6 ,2BC= =9,32+(6 2)2S ABC= ABAC= BCAF,12 12 36 =9AF,解得 AF=2 ,2 2AA= 2AF=4 .2 AFD= DEC=90, ADF= CDE, A= C, AEA= BAC=90, AEA BAC, ,即 ,AAAE=BCAC 42AE= 962AE= ,即 AD+DE 的最小值是 .163 163故答案为 .16315.如图, ACB 和 DCE 均为等腰三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.(1)如图 1,若 CAB= CBA= CDE= CED=50.

15、 求证: AD=BE; 求 AEB 的度数 .8(2)如图 2,若 ACB= DCE=120,CM 为 DCE 中 DE 边上的高, BN 为 ABE 中 AE 边上的高,试证明:AE=2 CM+ BN.3233(1) 证明 CAB= CBA= CDE= CED=50, ACB= DCE=180-250=80. ACB= ACD+ DCB, DCE= DCB+ BCE, ACD= BCE. ACB 和 DCE 均为等腰三角形,AC=BC ,DC=EC.在 ACD 和 BCE 中,有 AC=BC, ACD= BCE,DC=EC, ACD BCE(SAS),AD=BE. 解 ACD BCE, AD

16、C= BEC. 点 A,D,E 在同一直线上,且 CDE=50, ADC=180- CDE=130, BEC=130. BEC= CED+ AEB,且 CED=50, AEB= BEC- CED=130-50=80.(2)证明 ACB 和 DCE 均为等腰三角形,且 ACB= DCE=120, CDM= CEM= (180-120)=30.12CM DE, CMD=90,DM=EM.在 Rt CMD 中, CMD=90, CDM=30,DE= 2DM=2 =2 CM.CMtan CDM3 BEC= ADC=180-30=150, BEC= CEM+ AEB, AEB= BEC- CEM=150-30=120, BEN=180-120=60.在 Rt BNE 中, BNE=90, BEN=60,BE= BN.BNsin BEN=233AD=BE ,AE=AD+DE,AE=BE+DE= BN+2 CM. 导学号 16734119233 39