1、变量分离技巧的应用,知 识 拓 展 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知. 结论1 不等式f(x)g(a)恒成立f(x)ming(a)(求解f(x)的最小值)； 不等式f(x)g(a)恒成立f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值).,结论2 不等式f(x)g(a)存在解f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值)； 不等式f(x)g(a)存在解f(x)ming
2、(a)(求解f(x)的最小值). 结论3 方程f(x)g(a)有解g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域). 解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类； (2)确定是求最大值、最小值，还是值域.,题 型 突 破 题型一 不等式恒成立求参数 【例1】 已知函数f(x)axln(x1)a1(x1，aR).若函数f(x)在x0处取到极值，且对任意x(1，)，f(x)mxm2恒成立，求实数m的取值范围.,a1，f(x)xln(x1)， f(x)xln(x1)m(x1)2，,令x1n，n0，,当n(0，e2)时，g(n)0，g(n)单调递增，,【训练1】 已
3、知函数f(x)x2ax1，x(0，1，且|f(x)|3恒成立，求a的取值范围.解 由题意|x2ax1|3，即3x2ax13，所以4x2ax2x2，又x(0，1，,所以g(x)maxg(1)5.,所以h(x)minh(1)1. 所以5a1，即a的取值范围是5，1.,解 f(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)， 使不等式f(x)x2ax20成立，,所以a1，即实数a的取值范围为(1，).,题型三 含参数的方程有解问题 【例3】 已知函数f(x)x(ln xax)有极值点，求实数a的最大值.解 由题意f(x)ln x2ax10在(0，)上有解，,当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增； 当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减；,【训练3】 已知f(x)x3(k1)x2(k5)x1在区间(0，3)上不单调，求k的取值范围.解 f(x)3x22(k1)x(k5)，因为f(x)在区间(0，3)上不单调，所以f(x)在(0，3)上有极值点，由f(x)0得k(2x1)(3x22x5)，,则h(t)在(1，3上单调递减，在3，7)上单调递增， 所以有h(t)6，10)， 得k(5，2，而当k2时有f(x)0在(0，3)上有两个相等的实根x1，故舍去， 所以k(5，2).,
