2019高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课后训练案巩固提升（含解析）新人教A版选修1_2.doc

1、- 1 -2.2.1 综合法和分析法课后训练案巩固提升一、A 组1.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2(0, + ),当 x1f(x2)”的是( )A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)解析: 本题就是判断哪一个函数在(0, + )内是减函数,A 项中, f(x)= =- bc,且 a+b+c=0,求证: a,则证明的依据应是( )A.a-b0 B.a-c0C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)0(a-c)(a-b)0.答案: C3.命题“如果数列 an的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列 an一定是等差数列

2、”是否成立( )A.不成立 B.成立C.不能断定 D.与 n 取值有关解析: 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5,又 a1=S1=212-31=-1 适合上式,所以 an=4n-5(nN *),则an-an-1=4(常数),故数列 an是等差数列 .答案: B4.已知函数 f(x)=cos(3x+4 )是奇函数,则 等于( )A. (kZ) B.k + (kZ)C.k( kZ) D. (kZ)解析: 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x)对 xR 恒成立,即 cos(-3x+4 )=-cos(3x+4 ),亦即 cos(3x-4 )+cos(3x+4 )=0,所以 2

3、cos 3xcos 4= 0,因此 cos 4= 0,4=k + (kZ),解得 = (kZ) .答案: A5.要证 a2+b2-1-a2b20,只需证明( )A.2ab-1-a2b20 B.a2+b2-1- 0C. -1-a2b20 D.(a2-1)(b2-1)0解析: a 2+b2-1-a2b20( a2-1)(b2-1)0, 由分析法知选 D.答案: D- 2 -6.已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,求证: 8 .证明过程如下:因为 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,所以 -1= 0, -1= 0, -1= 0,所以=8.当且仅当 a=b=c 时取等号,所以不等式成

4、立 .这种证法是 . 解析: 本题从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结论,这种方法是综合法 .答案: 综合法7.平面内有四边形 ABCD 和点 O,且满足 ,则四边形 ABCD 为 .解析: 因为 ,所以 ,即 ,故四边形 ABCD 为平行四边形 .答案: 平行四边形8.在锐角三角形 ABC 中,求证:tan Atan B1.证明: 要证 tan Atan B1,只需证 1,因为 A,B 均为锐角,所以 cos A0,cos B0.因此只需证明 sin Asin Bcos Acos B,即 cos Acos B-sin Asin B1.9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 AB

5、CD,AB AD,AC CD, ABC=60,PA=AB=BC,点 E 是PC 的中点 .(1)证明 CD AE.(2)证明 PD平面 ABE.证明: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD,所以 PA CD.因为 AC CD,PA AC=A,所以 CD平面 PAC.又因为 AE平面 PAC,所以 CD AE.(2)由 PA=AB=BC, ABC=60,可得 AC=PA.因为点 E 是 PC 的中点,所以 AE PC.由(1)知, AE CD,又 PC CD=C,- 3 -所以 AE平面 PCD.又因为 PD平面 PCD,所以 AE PD.因为 PA底面

6、 ABCD,AB平面 ABCD,所以平面 PA AB.又 AB AD,PA AD=A,所以 AB平面 PAD.因为 PD平面 PAD,所以 AB PD.又因为 AB AE=A,所以 PD平面 ABE.10.已知 ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列 .试分别用分析法和综合法证明 B 为锐角 .思路分析: 在 ABC 中,要证 B 为锐角,只需证 cos B0,结合余弦定理可解决问题 .证明: 分析法:要证明 B 为锐角,只需证 cos B0. cos B= , 只需证明 a2+c2-b20,即 a2+c2b2.又 a 2+c22 ac, 只需证明 2acb2.由已知 ,得 2ac=b(

7、a+c), 只需证明 b(a+c)b2,即只需证明 a+cb.而 a+cb 显然成立,故 B 为锐角 .综合法:由题意,得 ,则 b= ,b (a+c)=2ac.a+cb ,b (a+c)=2acb2. cos B= 0.又 0Q B.P=QC.P0”是“ ABC 为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析: 若 ABC 为锐角三角形,则 A 必为锐角,因此一定有 0,但当 0 时,只能得到A 为锐角,这时 ABC 不一定为锐角三角形 .- 4 -答案: B3.在 ABC 中, C= ,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,则 =

8、. 解析: 因为 C= ,所以 a2+b2=c2+ab,所以( a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),所以=1.答案: 14.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 A1C B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) . 解析: 要证明 A1C B1D1,只需证明 B1D1平面 A1C1C.因为 CC1 B1D1,只要再有条件 B1D1 A1C1,就可证明 B1D1平面 A1C1C,从而得答案为 B1D1 A1C1.答案: B1D1 A1C1(答案不唯一)5.设

9、a,b,c,d 均为正数,求证: .证明: 要证明 成立,只需证 ( a+b)2+(b+c)2,即证 ac+bd,就是证( a2+b2)(c2+d2)( ac+bd)2,就是证 b2c2+a2d22 abcd,也就是证( bc-ad)20,此式显然成立,故所证不等式成立 .6.在锐角三角形 ABC 中,已知 3b=2 asin B,且 cos B=cos C,求证: ABC 是等边三角形 .证明: ABC 为锐角三角形,A ,B,C ,由正弦定理及条件,可得3sin B=2 sin Asin B.B , sin B0, 3=2 sin A, sin A= .- 5 -A ,A= .又 cos

10、B=cos C,且 B,C ,B=C.又 B+C= ,A=B=C= .从而 ABC 是等边三角形 .7. 导学号 40294013 是否存在常数 C,使不等式 C 对任意正数 x,y 恒成立?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由 .解: 存在常数 C= 使不等式成立 .证明如下:x 0,y0, 要证 ,只需证 3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2 x+y)(x+2y),即证 x2+y22 xy,此式显然成立 . .再证 ,只需证 3x(2x+y)+3y(x+2y)2( x+2y)(2x+y),即证 x2+y22 xy,此式显然成立 . .综上所述,存在常数 C= ,使得不等式 C 对任意正数 x,y 恒成立 .8.求证:当 x0,1时, xsin x x.证明: 记 F(x)=sin x- x,则 F(x)=cos x- .当 x 时, F(x)0,F(x)在 上是增函数 ;当 x 时, F(x)0,所以当 x0,1时, F(x)0,即 sin x x.- 6 -记 H(x)=sin x-x,则当 x(0,1)时, H(x)=cos x-10,所以 H(x)在0,1上是减函数,则H(x) H(0)=0,即 sin x x.综上, xsin x x,x0,1 .