1、- 1 -豫南九校 20182019 学年上期第三次联考高二数学（理）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“若 ，则 ”的逆命题是（ ）2018a2017aA若 ，则 B若 ，则72017a2018aC若 ，则 D若 ，则2.椭圆 的长轴长是（ ）28xyA2 B C4 D2 423.若 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）xy03xyxyA0 B3 C4 D5 4.数列 的通项公式为 ，当 取到最小时， （ ）na2nanSnA5 B6 C. 7 D85.
2、过抛物线 的焦点 作与对称轴垂直的直线交抛物线 于 ， 两点，则以24yxF24yxAB为直径的圆的标准方程为（ ）BA B 2(1)x2(1)xC. D4y 4y6.当 时不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）x1xaaA B C. D(,33,)(,22,)7.成等差数列的三个正数的和等于 12，并且这三个数分别加上 1，4，11 后成为等比数列中的 ， ， ，则数列 的通项公式为（ ）nb234bnA B C. D312nb13nb8. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则BCACacBAa- 2 -（ ）cA1 或 2 B2 C. D129.等差数列 中， ，则
3、 是 的（ ）na*,mstNnstmnstaaA充要条件 B充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件10.在 中，若 ，则圆 与直线BCsinisin0aAbcC2:1xy的位置关系是（ ）:0laxbycA相切 B相交 C.相离 D不确定11.设 的内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，若 ，CACabcsin3cos0AaB且 ，则 的值为（ ）2bacbA B C. 2 D4212.已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 ， 为抛物线上的任一点，过点 作圆C(,0)FPP的切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积最小值为2:1340ExyMNEN（ ）A B C.
4、D0215215二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.抛物线 （ 且 ）的焦点坐标为 2yaxR0a14. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 ABCbc2osBabC15.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列” ，斐波那契数列 满足： ，na1， ，记其前 项和为 ，设 （ 为常数） ，则21a*12(3,)nnaNnnS2018t （用 表示）06504SSt16.已知等比数列 的前 项和 ，则函数 的最小n13nS ()(0)xyxt- 3 -值为 三、解答题 （
5、本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）求抛物线 上的点到直线 的距离的最小值.2yx4380xy18.（本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差为 ，且关于 的不等式 的解集为 .nad2130axd(1,3)（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 前 项和 .1(3)nbanbnS19.（本题满分 12 分）已知 的内角 ， ， 满足 .ABCCsisinABCsinBAC（1）求角 ；（2）若 的外接圆半径为 1，求 的面积 的最大值.S20.（本小题满分 12 分）（1）解不等式 ；203x（2）已知 ，求证：
6、 .,abcR1()()4abc21.（本小题满分 12 分）已知命题 ， .:px240mx（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；（2）若有命题 ， ，当 为真命题且 为假命题时，求:,8q2log1pqpq实数 的取值范围.22.（本小题满分 12 分）已知 ， ，点 是动点，且直线 和直线 的斜率之积为 .(2,0)A(,)BCACB34（1）求动点 的轨迹方程；（2）设直线 与（1）中轨迹相切于点 ，与直线 相交于点 ，且 ，求证：l P4xQ(1,0)F.90PFQ- 4 -豫南九校 20182019 学年上期第三次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题
7、 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5: ADCCB 6-10: AABBA 11、12：CD1. 【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若 ，则 .2017a2018a2. 【解析】椭圆方程变形为 ， ， ，长轴长为 .2148xy2a43. 【解析】作出如图可行域，则当 经过点 时，取最大值，而 ，所求zP(1,2)P最大值为 4，故选 .C4. 【解析】数列 的通项公式 ，数列 为公差为 3 的递增的等差数na32nana列，令 可得 ，数列 的前 7 项为负数，从第 8 项开始为正数320nn取最小值时， 为 7，故选 .SC
8、5. 【解析】由抛物线的性质知 为通径，焦点坐标为 ，直径 ，AB(1,0)2|4RABp即，所以圆的标准方程为 ，故选 .2R2(1)4xyB6. 【解析】 ，当且仅当1x112()3x即 时等号成立，所以最小值为 3 ，实数 的取值范围是1x23a(,37. 【解析】设成等差数列的三个正数为 ， ， ，即有 ，计算得出 ，d12aa根据题意可得 ， ， 成等比数列，即为 ，8， 成等比数列，41d415d- 5 -即有 ，计算得出 （ 舍去） ，即有 4，8，16 成等比数列，可得(5)164d1d公比为 2，则数列 的通项公式为 .nb22nnb8. 【解析】 ， ， 由正弦定理 得：B
9、Aa3siiabAB， ，13sinisin2sico32由余弦定理得： ，即 ，abA1c解得： 或 （经检验不合题意，舍去） ，则 ，故选 . c1 B9. 【解析】由等差数列的性质知： ， 时 成立.*,mnstNnstmnstaa反之：等差数列 为常数列， 对任意 成立，故选 .nastaa*,NB10. 【解析】因为 ，所以 ，圆心 到直siii0AbBcC220bc(,0)C线 的距离 ，故圆 与直线:0laxbyc2|1dra:1xy相切，故选 .:l11. 【解析】由 可得 ，从而sin3cos0bABsin3sinco0AB，解得 ，从 可联想到余弦定理：tan3B2ba22
10、sba，所以有 ，从而 .再由 可得2c 2()0cccbac，所以 的值为 2.bab12. 【解析】由题意可知抛物线的方程为 ，圆 的圆心为 ，半径为 .28yxE(6,0)2r设 ，则 .所(,)Pxy2|MPEr2(6)243()30xx以当 时，切线长 取得最小值 ，此时四边形 的面积取得最小值，最2|30PMN小值为 ，故选 .min|30215rD二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16.161(0,)6at- 6 -13. 【解析】由题意可得 ，所以焦点在 轴上，且 则焦点坐214xyay124pa8标为 .1(0,)6a14.
11、 【解析】方法一： ， ，即 ，2cosBb22acba22bca ， .21saC0C方法二： ，cosBbsincoB2(sincosin)siCB ， .1s2015. 【解析】 0162514203SS1520615204aa.20178aat16. 【解析】因为 ，而题中 ，易11()nnnqSq1133nntSt知 ，故 ；所以 ，即13tt2(0)xyt(2)0x90x，等号成立条件为 ，所以最小值为 16.92()016yx 91x三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 【解析】法一：如图，设与直线 平行且与抛物线 相切的直
12、线为4380xy2yx，切线方程与抛物线方程联立得 去 整理得430xyb430by，则 ，解得 ，所以切线方程为 ，21620b430x抛物线 上的点到直线 距离的最小值是这两条平行线间的距离2yx438xy.4|8|35d- 7 -法二：设 ，则点 到直线 的距离2(,)PxP4380xy2|438|169xd210|3|5，在抛物线 中， ，所以当 时， 取得最小值 ，即抛4()x2yxR23xd43物线 上的点到直线 距离的最小值是2y380418. 【解析】（1）由题意，得 解得12,3,da12,.da故数列 的通项公式为 ，即 .n ()n1n（2）由（1）知 ，所以21na2n
13、b()1()2n所以 ，nS1()()3122(1)19. 【解析】（1）设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .ABCabc根据 ，sinsinsinBAC可得 ，abc22c所以 ，又因为 ，所以 .21osabAc0A3（2） ，inaRsinA2i3所以 ，23bcbc- 8 -所以 （ 时取等号）.1sin2SbcA324bc故三角形面积最大值为20. 【解析】（1）由不等式 ，得 ，即 ，203x2()3)0xx(2)1()0xx解得 ，或1（2）因为 ，所以,abc1()()abc()abc当且仅当 时等号成立.bca24c21. 【解析】（1） ， ，xR20mx 且 ，01
14、6解得 ，4或 为真命题时， .p1m（2） ， ， .,8x2log02,8xx21logmx又 时， ，,21,l3 .m 为真命题且 为假命题时，pqpq 真 假或 假 真，当 假 真，有 ，解得 ；pq14m14- 9 -当 真 假，有 ，解得 ；pq14m1当 为真命题且 为假命题时， 或 .pqm1422. 【解析】（1）设 ，则依题意得 ，又 ， ，所以有(,)Cxy34ACBk(2,0)A(,)B，30)24整理得 ，即为所求轨迹方程.21(xy（2）设直线 ，与 联立得:lkxm2341y，即 ，234()1x 2()80kxm依题意 ，即 ，2840k234k ，得 ，1223x12243xk ，而 ，得 ，又 ，(,)4mPkm(,)P(,)Qkm又 ，则 ，知 ，,0)FQ(,),40F即 .9
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