1、3.7 函数的图象,第三章 函数概念与基本初等函数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.,知识梳理,ZHISHISHULI,2.图象变换 (1)平移变换,f(x)+k,f(x+h),f(x-h),f(x)-k,(2)对称变换,f(x),f(x),f(x),logax(a0且a1),(3)伸缩变换,f(ax),af(x),|f(x)
2、|,f(|x|),(4)翻折变换,1.函数f(x)的图象关于直线xa对称,你能得到f(x)解析式满足什么条件?,提示 f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax).,2.若函数yf(x)和yg(x)的图象关于点(a,b)对称,则f(x),g(x)的关系是_.,提示 g(x)2bf(2ax),【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数yf(1x)的图象,可由yf(x)的图象向左平移1个单位长度得到. ( ) (2)函数yf(x)的图象关于y轴对称,即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.( ) (3)当x(0,)时,函数y|f(x)
3、|与yf(|x|)的图象相同.( ) (4)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,(5)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称.( ) (6)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x),则函数f(x)的图象关于直线x1对称. ( ),1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.P35例5(3)函数f(x)x 的图象关于 A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线yx对称,1,2,3,4,5,6,解析 函数f(x)的定义域为(,0)(0,)且f(x)f(x), 即函数f(x)为奇函数,故选C.,
4、7,3.P23T2小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是,1,2,3,4,5,6,7,解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A. 因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D. 后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.,4.P75A组T10如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x1)的解集是_.,解析 在同一坐标系内作出yf(x)和ylog2(x1)的图象(如图).,1,2,3,4,5,6,(1,1,7,由图象知不等式的解集是(1,1.,5.下列图象
5、是函数y 的图象的是,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,6.将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数_的图象.,yf(x1),解析 图象向右平移1个单位长度,是将f(x)中的x变成x1.,1,2,3,4,5,6,7,7.设f(x)|lg(x1)|,若0ab且f(a)f(b),则ab的取值范围是_.,(4,),解析 画出函数f(x)|lg(x1)|的图象如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 作函数的图象,作出下列函数的图象:,自主演练,(2)y|log2(x1)|;,解 将函数ylog2x的图象向左平移1个单位, 再将x轴
6、下方的部分沿x轴翻折上去, 即可得到函数y|log2(x1)|的图象,如图实线部分.,先用描点法作出0,)上的图象, 再根据对称性作出(,0)上的图象,如图实线部分.,(4)yx22|x|1.,图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx 的函数. (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.,题型二 函数图象的辨识,师生共研,易得两函数图象有3个不同的交点,在y轴左侧有2个交点,分别为(4,16),(2,4),,(2)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)
7、的图象如图所示,则yf(2x)的图象为,当x0,2时,2x0,2,,方法二 当x0时,f(2x)f(2)1; 当x1时,f(2x)f(1)1. 观察各选项,可知应选B.,函数图象的辨识可从以下方面入手 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.,跟踪训练1 (1)(2018浙江嘉兴一中测试)已知函数f(x)ln|x|,g(x)x23,则f(x)g(x)的图象为,解析 由f(x)g(x)为偶
8、函数,排除A,D, 当xe时,f(x)g(x)e230,排除B.,(2)已知函数f(x)ln(exn),其中e为自然对数的底数,nZ,则下列图象中不可能为函数f(x)图象的是,解析 当n0时,f(x)1(x0),故A正确; 当n1时,f(x)1ln x,故B正确; 当n2时,f(x)12ln|x|,f(x)为偶函数,且f(1)1,故D正确; 易知yf(x)不可能为奇函数,所以不可能为C选项的图象,故选C.,题型三 函数图象的应用,命题点1 研究函数的性质,例2 (1)设函数f(x)(xa)|xa|b,a,bR,则下列叙述中,正确的序号是 对任意实数a,b,函数yf(x)在R上是单调函数; 对任
9、意实数a,b,函数yf(x)在R上都不是单调函数; 对任意实数a,b,函数yf(x)的图象都是中心对称图象; 存在实数a,b,使得函数yf(x)的图象不是中心对称图象. A. B. C. D.,多维探究,解析 函数yx|x|为R上的奇函数且为增函数, 函数f(x)(xa)|xa|b的图象是由函数yx|x|的图象平移得到的, 因此,其单调性和对称性不变,故正确,故选A.,(2)已知函数f(x)|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)f(n),若f(x)在m2,n上的最大值为2,则 _.,9,解析 作出函数f(x)|log3x|的图象,观察可知0m1n 且mn1. 若f(x)在m2,n上的
10、最大值为2,,命题点2 解不等式,例3 函数f(x)是定义在4,4上的偶函数,其在0,4上的图象如图所示,那么不等式 0的解集为_.,结合yf(x)在x0,4上的图象知,,例4 (1)已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是 .,(0,1,解析 作出函数yf(x)与yk的图象,如图所示,由图可知k(0,1.,命题点3 求参数的取值范围,(2)设函数f(x)|xa|,g(x)x1,对于任意的xR,不等式f(x)g(x)恒成立,则实数a的取值范围是_.,解析 如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象, 观察图象可知,当且仅当a1, 即a1时,不等式
11、f(x)g(x)恒成立,因此a的取值范围是1,).,1,),(1)注意函数图象特征与性质的对应关系. (2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题.,跟踪训练2 (1)已知函数yf(x)的图象是圆x2y22上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)f(x)2x的解集是_.,解析 由图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)x.,(2)已知函数f(x)|x2|1,g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是_.,解析 先作出函数f(x)|x2|1的图象,如图所示,当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1,,高考中考查函数图象问题主
12、要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,高考中的函数图象及应用问题,一、函数的图象和解析式问题 例1 (1)如图,长方形ABCD的边AB2,BC1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOPx.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则yf(x)的图象大致为,(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是,解析 由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.,解析 ye
13、xex是奇函数,yx2是偶函数,,故选B.,二、函数图象的变换问题 例2 已知定义在区间0,4上的函数yf(x)的图象如图所示,则yf(2x)的图象为,解析 方法一 先作出函数yf(x)的图象关于y轴的对称图象,得到yf(x)的图象; 然后将yf(x)的图象向右平移2个单位,得到yf(2x)的图象; 再作yf(2x)的图象关于x轴的对称图象,得到yf(2x)的图象.故选D. 方法二 先作出函数yf(x)的图象关于原点的对称图象,得到yf(x)的图象; 然后将yf(x)的图象向右平移2个单位,得到yf(2x)的图象.故选D. 方法三 当x0时,yf(20)f(2)4.故选D.,三、函数图象的应用
14、例3 (1)已知函数f(x) 其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根,则m的取值范围是 .,(3,),解析 在同一坐标系中,作yf(x)与yb的图象. 当xm时,x22mx4m(xm)24mm2, 所以要使方程f(x)b有三个不同的根, 则有4mm20.又m0,解得m3.,(2)不等式3sin x0的整数解的个数为 .,2,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象, 由图象可知,当x为整数3或7时,有f(x)g(x),,由正弦曲线的对称性可知ab1,而1c2 020, 所以2abc2 021.,(2,2 021),3,课时作业,PART THREE,1.(2
15、018浙江)函数y2|x|sin 2x的图象可能是,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由y2|x|sin 2x知函数的定义域为R, 令f(x)2|x|sin 2x,则f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin 2x. f(x)f(x),f(x)为奇函数. f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B. 令f(x)2|x|sin 2x0,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故选D.,2.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线lAB交AB于E,当l从左至右移动(与
16、线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AEx,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快, 过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化, 过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.,3.已知函数f(x)logax(0a1),则函数yf(|x|1)的图象大致为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 先作出函数f(x)l
17、ogax(00时,yf(|x|1)f(x1),其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到,又函数yf(|x|1)为偶函数, 所以再将函数yf(x1)(x0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边, 得到x0时的图象,故选A. 方法二 |x|11,0a1, f(|x|1)loga(|x|1)0,故选A.,4.若函数f(x) 的图象如图所示,则f(3)等于,解析 由图象可得ab3,ln(1a)0,得a2,b5,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018宁波模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x) 若方程f(x)xa有两个不同实根,则a的取值范
18、围为 A.(,1) B.(,1 C.(0,1) D.(,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当x0时,f(x)2x1,当00的部分是将x(1,0的部分周期性向右平移1个单位得到的,其部分图象如图所示.若方程f(x)xa有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点,故a1,即a的取值范围是(,1).,6.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.f(
19、x)x22ln|x| B.f(x)x2ln|x| C.f(x)|x|2ln|x| D.f(x)|x|ln|x|,解析 由图象知,函数f(x)是偶函数,四个选项都是偶函数,故只需考虑x0时的图象即可.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.函数f(x) 则f(1)_,若方程f(x)m有两个不同的实数根,则m的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(0,2),则0m2,即实数m的取值范围是(0,2).,1,2,3,4,5,
20、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x0时,f(x)2ex(1,2), 当x1时,f(x)0,2), 当x1时,f(x)0,若方程f(x)m有两个不同的实数根,,8.设函数yf(x1)是定义在(,0)(0,)上的偶函数,在区间(,0)上是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x1)f(x)0的解集为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x|x0或1x2,解析 画出f(x)的大致图象如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由图可知符合条件的解集为x|x0或1x2.,9.(20
21、18杭州模拟)给定mina,b 已知函数f(x)minx,x24x44,若动直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(4,5),解析 作出函数f(x)的图象,函数f(x)minx,x24x44的图象如图所示, 由于直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点, 数形结合可得m的取值范围为(4,5).,10.已知定义在R上的函数f(x) 关于x的方程f(x)c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3_.,解析 方程f(x)c有三个不同的实数根等价于yf(x)与yc的图象有
22、三个交点, 画出函数f(x)的图象(图略), 易知c1,且方程f(x)c的一根为0, 令lg|x|1,解得x10或10, 故方程f(x)c的另两根为10和10,所以x1x2x30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,11.函数yln|x1|的图象与函数y2cos x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_.,解析 作出函数yln|x1|的图象, 又y2cos x的最小正周期为T2,如图所示, 两图象都关于直线x1对称,且共有6个交点, 由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
23、,15,16,6,12.已知函数f(x)2x,xR. (1)当实数m取何值时,方程|f(x)2|m有一个解?两个解?,解 令F(x)|f(x)2|2x2|, G(x)m,画出F(x)的图象如图所示, 由图象看出,当m0或m2时, 函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,即原方程有一个实数解; 当0m2时, 函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,即原方程有两个实数解.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若不等式f(x)2f(x)m0在R上恒成立,求实数m的取值范围.,解 令f(x)t(t0),H(t)t2t,,1,2,3,4,5,6,7,8,
24、9,10,11,12,13,14,15,16,因此要使t2tm在区间(0,)上恒成立,应有m0, 即所求m的取值范围为(,0.,13.已知函数f(x) 则对任意x1,x2R,若00 C.f(x1)f(x2)0 D.f(x1)f(x2)0,解析 函数f(x)的图象如图实线部分所示,且f(x)f(x), 从而函数f(x)是偶函数且在0,)上是增函数,又0f(x1), 即f(x1)f(x2)0.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知,直线ykx与函数yf(x)(x0,6)的图象至少有3个公共点.函数yf(x)的图象如图所示,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 对任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2)成立,即f(x)maxg(x)min.,因为g(x)|xk|x2|xk(x2)|k2|,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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