1、4.1 导数的概念及运算,第四章 导数及其应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.导数与导函数的概念,f(x0)或y|,xx0,知识梳理,ZHISHISHULI,(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y. 2.导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .,f(x0),3.基本初等函数的导数公式
2、,x1,cos x,sin x,ex,axln a,0,4.导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x) ；(3) (g(x)0).5.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),yuux,y对u,u对x,1.根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？,提示 |f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.,2.直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？
3、,提示 不一定.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.( ) (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同.( ) (3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值.( ) (4)因为(ln x) ，所以 ln x.( ) (5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (6)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.P18A组T5若f(x)xex，则f(1) .,1,2,3,
4、4,5,6,2e,解析 f(x)exxex，f(1)2e.,7,3.P18A组T6曲线y1 在点(1，1)处的切线方程为 .,2xy10,故所求切线方程为2xy10.,1,2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,4.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是,1,2,3,4,5,6,解析 由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
5、,7,1,2,3,4,5,6,7,6.已知f(x) x22xf(2 018)2 018ln x，则f(2 018)等于 A.2 018 B.2 019 C.2 019 D.2 018,1,2,3,4,5,6,即f(2 018)(2 0181)2 019.,7,7.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a .,1,2,3,4,5,6,1,解析 f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2， 切线方程为y(a2)(3a1)(x1)， 又点(2,7)在切线上，可得a1.,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 导数的计算,自主演练,4.已知f
6、(x)x22xf(1)，则f(0) .,4,解析 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即f(1)2. f(x)2x4，f(0)4.,导数计算的技巧 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数为商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.,命题点1 求切线方程 例1 (1)(2018湖州调研)函数yex(e是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程是 A.yx1 B.yx1 C.yx1 D.yx1,题型二 导数的几何意义,多维探究,解析 yex，则在点
7、(0,1)处的切线斜率为1， 则切线方程为yx1，故选B.,(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 .,xy10,解析 点(0，1)不在曲线f(x)xln x上， 设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x， 直线l的方程为y1(1ln x0)x.,切点为(1,0)，f(1)1ln 11. 直线l的方程为yx1，即xy10.,本例(2)中，若曲线yxln x上点P的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是 .,(e，e),解析 y1ln x，令y2，即1ln x2， xe，点P的坐标为(e，e).,命题点2 求参数的值 例2 (1
8、)若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a等于 A. B. C. D.,解析 设直线yax与曲线y2ln x1的切点横坐标为x0，,(2)函数f(x)ln xax存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是 A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，),又x0，所以a2，故选B.,命题点3 导数与函数图象 例3 (1)(2013浙江)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是,解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大. A项，在
9、x0时变化率最小，故错误； C项，变化率是越来越大的，故错误； D项，变化率是越来越小的，故错误. B项正确.,(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .,0,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f(3)1，,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0).,(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况.,解得x
10、02或x03(舍去)，故选B.,(2)下列图象中，有一个是函数f(x) x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1)等于,解析 因为f(x)x22ax(a21)， 所以f(x)的图象开口向上.又a0， 所以f(x)不是偶函数，即其图象不关于y轴对称， 则f(x)的图象为第三个图，由图象特征知f(0)0， 所以a210，又f(x)图象的对称轴xa0，所以a1，,3,课时作业,PART THREE,1.函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为 A.2(x2a2) B.2(x2a2) C.3(x2a2) D.3(x2a2),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
11、10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)(xa)2(x2a)(2x2a) (xa)(xa2x4a)3(x2a2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是 A.x3y30 B.x2y20 C.2xy10 D.3xy10,解析 ycos xex，故切线斜率k2， 切线方程为y2x1，即2xy10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知点P在曲线y 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是,当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得ta
12、n 1,0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2019温州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为,因为切线过点(0,0)，所以ln x01，,6.f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0 .,由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，x01.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,7.已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为
13、 .,解析 f(x)2x21， f(x)4x，令4x08， 则x02，f(x0)9，点M的坐标是(2,9).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2,9),8.设曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10，则a .,当x0时，ya1， 曲线yeaxln(x1)在x0处的切线方程为2xy10， a12，即a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,9.若曲线yln x的一条切线是直线y xb，则实数b的值为 .,1ln 2,解得x02，则切点坐标为(2，ln 2)， 所以ln 21b，b1ln
14、2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018宁波质检)已知曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a .,1e,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为f(x)ln x1， 所以曲线f(x)xln x在xe处的切线斜率为k2， 则曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe. 由于切线与曲线yx2a相切，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以由44(ae)0，解得a1e.,11.已知f(x)，g(x
15、)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示. (1)若f(1)1，则f(1) ；,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题图可得f(x)x，g(x)x2， 设f(x)ax2bxc(a0)， g(x)dx3ex2mxn(d0)， 则f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为 .(用 “”连接),h(0)h(1)h(1),1,2,
16、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x)x34x25x4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；,解 f(x)3x28x5， f(2)1， 又f(2)2， 曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2， 即xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,整理得(x02)2(x01)0， 解得x02或1， 经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为 xy4
17、0或y20.,13.给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”.已知函数f(x)5x4sin xcos x的“拐点”是M(x0，f(x0)，则点M A.在直线y5x上 B.在直线y5x上 C.在直线y4x上 D.在直线y4x上,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意，知f(x)54cos xsin x， f(x)4sin xcos x， 由f(x0)0，知4sin x0cos x00， 所以f(x0)5x0， 故点M
18、(x0，f(x0)在直线y5x上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为f(x)acos xbsin x，所以其导数为f(x)asin xbcos x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2018温州市适应性测试)若函数f(x)满足对任意的xR都有|f(x)f(x)|2(其中f(x)为f(x)的导数)，则f(x)的解析式不可能是
19、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,若f(x)ex，则f(x)ex，所以|f(x)f(x)|ex(ex)|02，故排除B；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以14y(y1)0，,当x0时，|f(0)f(0)|05|52.故选D.,即|f(x)f(x)|2，故排除C；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018浙江五校第二次联考)若x1，x2R，求(x1 )2(x2 )2的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
20、16,解 方法一 设x2ln x3，x30， 则(x1 )2(x2 )2(x1x3)2( ln x3)2， 其几何意义为动点(x1， )与(x3，ln x3)之间的距离的平方，问题转化为求曲线yex上的点和yln x上的点的最小距离的平方， 因为两条曲线关于直线yx对称， 曲线yex的平行于直线yx的切线的方程为yx1，,故(x1 )2(x2 )2的最小值是2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 由基本不等式得， (x1 )2(x2 )2 . 令f(x)exx1， 则f(x)ex1，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0， 所以f(x)minf(0)0，,当且仅当x1x20时取等号， 故(x1 )2(x2 )2的最小值是2.,
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