1、- 1 -第 2、3 节太阳与行星间的引力_万有引力定律一、 太阳与行星间的引力引力 规律太阳对行星的引力太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即 F 。mr2行星对太阳的引力行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即 F 。Mr2太阳与行星间的引力太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即 F G ， G 为比例系数，其大小与太阳和行星的质量无关，引Mmr2力的方向沿两者的连线。二、万有引力定律 1月地检验1推导太阳与行星之间的引力公式时用到的物理规律有：开普勒行星运动定律、牛顿第二定
2、律和牛顿第三定律。2牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动。3自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为 FG 。m1m2r24引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，是英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测出的。5万有引力定律仅适用于两个质点间万有引力的计算，对于不能看成质点的物体间仍存在万有引力，但万有引力公式不能直接使用。- 2 -(1)目的：验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，从而将太阳与行星间的引力规律
3、推广到宇宙中的一切物体之间。(2)原理：计算月球绕地球运动的向心加速度 an，将 an与物体在地球附近下落的加速度自由落体加速度 g 比较，看是否满足 an g。1602(3)结论：数据表明， an与 g 相等，这说明地面物体受地球的引力、月球受地球的引1602力，以及太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。2万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比。(2)公式： F G 。m1m2r2(3)引力常量：上式中 G 叫引力常量，大小为 6.671011 Nm2/kg2，它是由
4、英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。1自主思考判一判(1)公式 F G 中 G 是比例系数，与太阳行星都没关系。()Mmr2(2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。()(3)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。()(4)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。()(5)月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。()(6)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力。()2合作探究议一议(1)由 G mg 知，地面上的物体所受重力与地球的质量无关，对吗？提示：不对，重力加速度
5、g 与地球的质量有关。地面上物体受到的重力近似等于地球对它的万有引力，即 mg G ，可得 g G ，其中 M 和 R 表示地球的质量和半径。MmR2 MR2(2)如图所示，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。- 3 -提示：行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，遵守牛顿第二定律 F ，mv2r行星所需要的向心力由太阳对它的引力提供。对太阳与行星间的引力的理解1两个理想化模型在公式 F G 的推导过程中，我们用到了两个理想化模型。Mmr2(1)由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨
6、迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。(2)由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。2推导过程3太阳与行星间的引力的特点太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。4公式 F G 的适用范围Mmr2我们在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用。- 4 -1在牛顿发现太阳与行星间的引力过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，
7、是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是( )A研究对象的选取 B理想化过程C控制变量法 D等效法解析：选 D 对于太阳与行星之间的相互作用力，太阳和行星的地位完全相同，既然太阳对行星的引力符合关系式 F ，依据等效法，行星对太阳的引力也符合关系式m星r2F ，故 D 项正确。m日r22绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其向心力来源于( )A卫星自带的动力 B卫星的惯性C地球对卫星的引力 D卫星对地球的引力解析：选 C 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，是由万有引力提供向心力的，即地球对卫星的引力提供向心力，故 C 正确。3根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力 F
8、 ，行星mr2对太阳的引力 F ，其中 M、 m、 r 分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离。下列Mr2说法正确的是( )A太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力B F 和 F大小相等，是一对平衡力C F 和 F大小相等，是同一个力D由 F 和 F 知 F F m Mmr2 Mr2解析：选 A 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动的向心力，故 A 正确；根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等方向相反，故 B、D 错误；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力
9、，故 C 错误。对万有引力定律的理解1对万有引力定律表达式 F G 的说明m1m2r2(1)引力常量 G： G6.6710 11 Nm2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的相互吸引力。- 5 -(2)距离 r：公式中的 r 是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。2 F G 的适用条件m1m2r2(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中 r 是两个球体球心间的距离。(3)
10、一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的 r 是球体球心到质点的距离。3万有引力的四个特性普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。典例 (多选
11、)对于万有引力定律的表达式 F G ，下列说法中正确的是( )m1m2r2A公式中 G 为引力常量，与两个物体的质量无关B当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C m1与 m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力D m1与 m2受到的引力大小总是相等的，而与 m1、 m2是否相等无关思路点拨 (1)万有引力定律是有适用条件的，即两个物体必须能看成质点。(2)两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力。解析 公式中的 G 为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A 对；当两物体表面距离 r 越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式 F G 已不m1m2r2再适
12、用于计算它们之间的万有引力，B 错； m1与 m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此- 6 -二力总是大小相等、方向相反，与 m1、 m2是否相等无关，C 错，D 对。答案 AD(1)任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式 F G 计算其大小。m1m2r2(2)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。 1如图所示，两球间的距离为 r，两球的质量分布均匀，大小分别为 m1、 m2，半径分别为 r1、 r2。则两球的万有引力大小为( )A G B Gm1m2r2 m1m2r12C G D Gm1m
13、2 r1 r2 2 m1m2 r1 r2 r 2解析：选 D 对两质量分布均匀的球体， F G 中的 r 为两球心之间的距离。两球的m1m2r2万有引力 F G ，故 D 正确。m1m2 r1 r2 r 22要使两物体间的万有引力减小到原来的 ，下列办法不可采用的是( )14A使物体的质量各减小一半，距离不变B使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离不变14C使两物体间的距离增为原来的 2 倍，质量不变D使两物体间的距离和质量都减为原来的14解析：选 D 根据 F G 可知，A、B、C 三种情况中万有引力均减为原来的 ，当距m1m2r2 14离和质量都减为原来的 时，万有引力不变。选项 D 错
14、误。143有两个大小一样、同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为 F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将( )- 7 -A等于 F B小于 FC大于 F D无法比较解析：选 B 根据题意令材料的密度为 ，则两球的质量分别为 R3，根据万有引43力定律有：F ；由题意可知，当球体半径 R 减小时，两球间的G 43 R3 43 R3 2R 2 4G 2 2R49万有引力将减小，故 B 正确，A、C、D 错误。万有引力与重力的关系1.万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为 M，半径为 R， A 处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为 F，
15、方向指向地心 O，由万有引力公式得 F G 。引力 F 可分MmR2解为 F1、 F2两个分力，其中 F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力 Fn， F2就是物体的重力mg。2重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上 F Fn mg，即 G mr 2 mg，所以MmR2mg G mr 2。MmR2(2)地球两极处：向心力为零，所以 mg F G 。MmR2(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小 mgG ，重力的方向偏离地心。MmR23重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：
16、 mg G ，若距离地面的高度为 h，则 mg G (R 为地球MmR2 Mm R h 2半径， g 为离地面 h 高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物- 8 -体所受的重力也越小。典例 地球表面重力加速度为 g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为 h 的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为 R。思路点拨 忽略地球自转的影响时，物体在地面及地球上空某处受到的重力都可以认为等于地球对它的万有引力。解析 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力。设地球质量为 M，物体质量为 m，则在地面： mg G 在 h 高处： mg GMmR2 M
17、m R h 2解得： 。gg R2 R h 2答案 R2 R h 2关于万有引力和重力关系的处理方法(1)物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即 mg G 。MmR2(2)对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即 mg G 。Mm R h 21将物体由赤道向两极移动，则( )A它的重力减小B它随地球转动的向心力增大C它随地球转动的向心力减小D向心力方向、重力的方向都指向地心解析：选 C 地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一
18、个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，选项 D 错误。物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，选项 A、B 错误，C 正确。2火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的 。一位宇航员连同宇航服19- 9 -在地球上的质量为 50 kg。求：(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？(2)宇航员在地球上可跳 1.5 m 高，他在火星上可跳多高？(取地球表面的重力加速度g10 m/s 2)解析：(1)由 mg G ，得 g 。MmR2 GMR2在地球上有 g ，GMR2在火星上有 g ，G
19、19M(12R)2所以 g m/s2，409那么宇航员在火星上所受的重力mg50 N222.2 N。409(2)在地球上宇航员跳起的高度为 1.5 ，v02210在火星上宇航员跳起的高度 h ，v022409联立以上两式得 h3.375 m。答案：(1)222.2 N (2)3.375 m1牛顿发现万有引力定律的思维过程是( )A理想实验理论推导实验检验B假想理论推导规律形成C假想理论推导实验检验D实验事实假想理论推导解析：选 C 牛顿的思维过程：既然是行星与太阳间的引力使得行星不能飞离太阳，那么是什么力使得地面的物体不能离开地球，总要落回地面呢？这个力延伸到月球，拉住月球使它绕地球运动的力与
20、拉着苹果下落的力，是否是同一种性质的力？是否遵循相同的规律？用月地检验来验证，故 C 正确。2生活中我们常看到苹果落向地球，而不是地球向上运动碰到苹果。下列论述中正确- 10 -的是( )A原因是苹果质量小，对地球的引力较小，而地球质量大，对苹果的引力较大B原因是地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力C苹果对地球的作用力和地球对苹果的作用力大小是相等的，但由于地球质量极大，不可能产生明显的加速度D以上说法都不对解析：选 C 由牛顿第三定律知，苹果与地球间的相互作用力大小相等，而苹果的质量远小于地球的质量，因而产生的加速度远大于地球的加速度。3在物理学的发展过程中，许多科学家做出了贡献，以下说法
21、不符合史实的是( )A牛顿利用开普勒第三定律和牛顿第三定律发现了万有引力定律B卡文迪许测出了引力常量 G，被称为“称量地球重量的人”C伽利略用“月地检验”证实了万有引力定律的正确性D开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律解析：选 C 牛顿利用开普勒第三定律和牛顿第三定律发现了万有引力定律，选项 A 正确；卡文迪许测出了引力常量 G，被称为“称量地球重量的人” ，选项 B 正确；牛顿用“月地检验”证实了万有引力定律的正确性，选项 C 错误；开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，选项 D 正确；此题选择错误的选项，故选 C。4.经国际小行星命名委员会批准，紫金山天文台
22、发现的一颗绕太阳运行的小行星被命名为“南大仙林星” 。如图，轨道上 a、 b、 c、 d 四个位置中，该行星受太阳引力最大的是( )A a B bC c D d解析：选 A 由万有引力表达式 F G 可知，距离越近，万有引力越大，则由题图可知Mmr2a 位置距离太阳最近，故该行星受太阳引力最大的是 a 位置，故 A 正确。5设地球是半径为 R 的均匀球体，质量为 M，若把质量为 m 的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为( )A零 B无穷大C G D无法确定MmR2解析：选 A 有的同学认为：由万有引力公式 F G ，由于 r0，故 F 为无穷大，从而Mmr2- 11 -错选
23、B。设想把物体放到地球的中心，此时 F G 已不适用。地球的各部分对物体的吸引力Mmr2是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零，故应选 A。6多选关于引力常量 G，下列说法中正确的是( )A G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值B引力常量 G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C引力常量 G 在数值上等于两个质量都是 1 kg 的可视为质点的物体相距 1 m 时的相互吸引力D引力常量 G 是不变的，其数值大小与单位制的选择无关解析：选 AC 利用 G 值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故 A 正确；引力常
24、量 G 是一个普遍适用的常量，其数值等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的相互吸引力，它的大小与所选的单位有关，故B、D 错误，C 正确。7卫星在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则卫星离地面的高度与地球半径之比为( )A( 1)1 B( 1)12 2C. 1 D12 2解析：选 B 设地球的半径为 R，卫星离地面高度为 h，所以 Fh ， F 地GMm R h 2 ，其中 Fh F 地 ，因此 ，选项 B 正确。GMmR2 12 hR 2 118多选如图所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质量为 M，半径为 R。下列说法
25、正确的是( )A地球对一颗卫星的引力大小为 GMm r R 2B一颗卫星对地球的引力大小为 GMmr2C两颗卫星之间的引力大小为 Gm23r2D三颗卫星对地球引力的合力大小为 G3Mmr2- 12 -解析：选 BC 根据万有引力定律 F G 可知，质量分布均匀的球体间的引力距离 r 等Mmr2于两球心间的距离，而 r R 为同步卫星距地面的高度，故 A 错误；计算卫星与地球间的引力， r 应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径 r，故 B 选项正确；根据几何关系可知，两同步卫星间的距离 d r，故两卫星间的引力大小为 G ，故 C 正确；3mmd2 Gm23r2卫星对地球的引力均沿卫
26、星与地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等方向成 120角，所以合力为 0，故 D 错误。9.多选某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。如果两颗小星间的万有引力为 F，母星与任意一颗小星间的万有引力为 9F。则( )A每颗小星受到的万有引力为 F(3 9)B每颗小星受到的万有引力为 F(32 9)C母星的质量是每颗小星质量的 3 倍D母星的质量是每颗小星质量的 3 倍3解析：选 A
27、C 每颗小星受到的万有引力为 2Fcos 309 F F，选项 A 正确，B(3 9)错误；设正三角形边长为 a，由万有引力定律可得： 9 G ，解得 M3 m，选GMm( a2cos 30)2 mma2项 C 正确，D 错误。10.某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面 P 点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为 ，天然气的密度远小于 ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P 点处的重力加速度大小为 kg(k1)。已知引力常量为 G，球形空腔的球心深度为 d，则此球形空腔的体积是( )- 13
28、-A. B.kgdG kgd2GC. D. 1 k gdG 1 k gd2G解析：选 D 如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为 m 的物体的重力为 mg，没有填满时是 kmg，故空腔填满后引起的引力为(1 k)mg；根据万有引力定律，有：(1 k)mg G ，解 V md2得： V ，故 D 正确。 1 k gd2G11已知太阳的质量为 M，地球的质量为 m1，月球的质量为 m2，当发生日食时，太阳、月球、地球几乎在同一直线上，且月球位于太阳与地球中间，如图所示。设月球到太阳的距离为 a，到地球的距离为 b，则太阳对地球的引
29、力 F1和太阳对月球的引力 F2的大小之比为多少？解析：由太阳对地球和月球的吸引力满足 F G ，知：Mmr2太阳对地球的引力 F1 G ，Mm1 a b 2太阳对月球的引力 F2 G ，Mm2a2故 。F1F2 m1a2m2 a b 2答案：m1a2m2 a b 212宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处。(取地球表面重力加速度 g10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度 g；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为 R 星 R 地 14，求该星球的质量与地球质量之比 M 星 M 地 。解析：(1)根据匀变速直线运动规律 t 得： va从竖直上抛到最高点，上升的时间是 ，上升和下降的时间相等，0 v0 g v0g所以从上抛到落回原处 t 2v0g由于在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处。- 14 -根据匀变速直线运动规律得：5t 2v0g由得该星球表面附近的重力加速度 g g2 m/s 2。15(2)根据万有引力等于重力得： mgGMmR2MgR2G所以 。M星M地 g R2星gR2地 180答案：(1)2 m/s 2 (2)180
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