1、1本章学科素养提升例 1 在水平道路上有两辆汽车 A 和 B 相距 x， A 车在后面做初速度为 v0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同，如图 1.要使两车不相撞，求 A 车的初速度 v0满足什么条件图 1解析 解法一：解方程法A、 B 两车的运动过程如题图所示对 A 车，有 xA v0t 2at2， vA v02 at12对 B 车，有 xB at2， vB at.12两车恰好不相撞的条件是：当 x xA xB时， vA vB，联立以上各式解得 v0 ，故要使两车不相撞， A 车的初速度 v0应满足的条件是 v0
2、6ax.6ax解法二：判别式法设 A 车经过时间 t 追上 B 车，两车的位移关系为 x xA xB，即 v0t 2at2 x at2，整12 12理得 3at22 v0t2 x0，这是一个关于时间 t 的一元二次方程，当判别式 (2 v0)243 a2x0 时， t 无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞， A 车的初速度 v0应满足的条件是 v0 .6ax解法三：图象法先作出 A、 B 两车的 v t 图象，如图所示设经过时间 t 两车刚好不相撞，则：对 A 车，有 vA v v02 at；对 B 车，有 vB v at，解得 t .v03a两车相遇时的位移差等于 x，它可用图中的阴影
3、面积表示，由图象可知 x v0t ，所以12 v026a2要使两车不相撞， A 车的初速度 v0 .6ax解法四：相对运动法以 B 车为参考系， A 车的初速度为 v0，加速度为 a2 a a3 a， A 车追上 B 车且刚好不相撞的条件是 vt0，这一过程 A 车相对于 B 车的位移为 x，由运动学公式得 v022(3 a)x，所以 v0 ，即要使两车不相撞， A 车的初速度 v0应满足的条件是6axv0 .6ax答案 v0 6ax(1)对于两个质点分别以不同的加速度运动，比较运动快慢问题时可作速度(速率)时间图象进行辅助分析，此时根据图象“面积”相等这一特征比较时间长短(2)所描述的物理量
4、做非线性变化时，可先构建一个物理量与另一物理量的线性变化关系图象，如“反比关系可转化为与倒数成正比” ，然后应用“面积”含义或斜率的含义即可求解具体问题例 2 如图 2 所示，两光滑固定斜面的总长度相等，高度也相同， a、 b 两球由静止从顶端下滑，若球在斜面上转折点无能量损失，则( )图 2A a 球后着地B b 球后着地C两球同时着地D两球着地时速度相同【思路追踪】审题关键点 思维路径“总长度相同” (1)指出两球运动路程相同“由静止从顶端下滑” (2)指出两球初速度相同“转折点无能量损失”(3)指出两球末速率相等(4)初末速率、路程均相等，可引申到速率时间图象上比较时间长短解析 在同一个 v t 图象中作出 a、 b 的速率图线如图所示，由于开始运动时 b 的加速度较大，则斜率较大；由机械能守恒可知末速率相同，故图线末端在同一水平线上，由于两斜面长度相同，则应使图线与 t 轴围成的“面积”相等结合图中图线特点可知 b 用的时间较少，3由此可知 A 正确，B、C、D 错误答案 A
