1、13.3 函数的奇偶性与周期性最新考纲 考情考向分析1.理解并会判断函数的奇偶性2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数
2、：对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数 f(x)， g(x)的奇偶性，那么函数 f(x)g(x)， f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示 在函数 f(x)， g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数 f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x a) f(x)(a0)_
3、(2)f(x a) (a0)_1fx2(3)f(x a) f(x b)(a b)_提示 (1) T2| a| (2) T2| a| (3) T| a b|题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 y x2， x(10，)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称( )(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(6)若 T 是
4、函数的一个周期，则 nT(nZ， n0)也是函数的周期( )题组二 教材改编2P39A 组 T6已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x) x(1 x)，则f(1)_.答案 2解析 f(1)122，又 f(x)为奇函数， f(1) f(1)2.3P45B 组 T4设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时， f(x)Error!则 f _.(32)答案 1解析 f f 4 221.(32) ( 12) ( 12)4.P39A 组 T6设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时， f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集为
5、_答案 (2,0)(2,5解析 由题图可知，当 0 x2 时， f(x)0；当 2 x5 时， f(x)0，又 f(x)是奇函数，当2 x0 时， f(x)0，当5 x0.综上， f(x)0 的解集为(2,0)(2,53题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；3 x2 x2 3(2)f(x) ；lg1 x2|x 2| 2(3)f(x)Error!解 (1)由Error!得 x23，解得 x ，3即函数 f(x)的定义域为 ， ，3 3 f(x) 0.3 x2 x2 3 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由Err
6、or! 得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称 x20，| x2|2 x， f(x) .lg1 x2 x又 f( x) f(x)，lg1 x2x lg1 x2x函数 f(x)为奇函数(3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当 x0 时， x0，则 f( x)( x)2 x x2 x f(x)；当 x0 时， x0，则 f( x)( x)2 x x2 x f(x)；综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f( x) f(x)，函数 f(x)为奇函数思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑
7、定义域；(2)判断 f(x)与 f( x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x) f( x)0(奇函数)或f(x) f( x)0(偶函数)是否成立跟踪训练 1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A y xsin2 x B y x2cos x4C y2 x D y x2sin x12x答案 D解析 对于 A， f( x) xsin2( x)( xsin2 x) f(x)，为奇函数；对于 B， f( x)( x)2cos( x) x2cos x f(x)，为偶函数；对于 C， f( x)2 x 2 x f(x)，为偶函数；12 x 12
8、x对于 D， y x2sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选 D.(2)已知函数 f(x) ， g(x) ，则下列结论正确的是( )x2x 1 x2A h(x) f(x) g(x)是偶函数B h(x) f(x) g(x)是奇函数C h(x) f(x)g(x)是奇函数D h(x) f(x)g(x)是偶函数答案 A解析 易知 h(x) f(x) g(x)的定义域为 x|x0因为 f( x) g( x) f(x) x2 x 1 x2 x2x1 2x x2 x1 2x x1 2x x2 x2x 1 x2 g(x)，所以 h(x) f(x) g(x)是偶函数故选 A.题型二 函数的周期性及其应用1奇
9、函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且 f(1)2，则 f(4) f(5)的值为( )A2B1C1D2答案 A解析 f(x1)为偶函数， f( x1) f(x1)，则 f( x) f(x2)，又 y f(x)为奇函数，则 f( x) f(x) f(x2)，且 f(0)0.从而 f(x4) f(x2) f(x)， y f(x)的周期为 4. f(4) f(5) f(0) f(1)022.2已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)2 ，且对任意的 x 都有 f(x2) ，则31 fx5f(2020)_.答案 2 3解析 由 f(x2) ，得 f(x4) f(x)，所以函数
10、 f(x)的周期为 4，所1 fx 1 fx 2以 f(2020) f(4)因为 f(22) ，所以 f(4) 2 .故1 f2 1f2 12 3 3f(2020)2 .33若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x)Error!则f f _.(294) (416)答案 516解析 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 f f f f(294) (416) (24 34) (24 76) f f f f(34) ( 76) (34) (76) sin .316 6 5164定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f(x)，当3 xf(2x1
11、)成立的 x 的取值范围为11 x2_答案 (13， 1)解析 由已知得函数 f(x)为偶函数，所以 f(x) f(|x|)，由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|)当 x0 时， f(x)ln(1 x) ，11 x2因为 yln(1 x)与 y 在(0，)上都单调递增，所以函数 f(x)在(0，)上11 x2单调递增由 f(|x|)f(|2x1|)，可得| x|2x1|，两边平方可得 x2(2x1) 2，整理得 3x24 x10 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0，又函数 f(x)(0，12为奇函数，所以在区间 上函数也单调递增，且 f(x)0 时， x0 恒
12、成立ax y1 ，ax2令 y0 得 a x2(x1)， a1.又由当 x1 时， y12020 a0，得 a2021. a 的取值范围是1,2021)1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )A f(x) B f(x)x1x2C f(x)2 x2 x D f(x)cos x答案 B12解析 函数 f(x) 是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意1x22已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 x m，则 f(2)等于( )A3B C. D354 54答案 A解析 由 f(x)为 R 上的奇函数，知 f(0)0，即 f(0)2 0 m0，解得
13、 m1，则 f(2) f(2)(2 21)3.3(2019金华调研)已知 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) y f(|x|)； y f( x)； y xf(x)； y f(x) x.A BC D答案 D解析 由奇函数的定义 f( x) f(x)验证， f(| x|) f(|x|)，为偶函数； f( x) f(x) f( x)，为奇函数； xf( x) x f(x) xf(x)，为偶函数； f( x)( x) f(x) x，为奇函数可知正确，故选 D.4已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为 4，且当 x 时， f(x)(32， 0)log
14、2(3 x1)，则 f(2021)等于( )A4B2C2Dlog 27答案 C解析 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为 4， f(2021) f(45051) f(1) f(1)1 ，且当 x 时，(32， 0) ( 32， 0)f(x)log 2(3 x1)， f(1)log 23(1)12， f(2021) f(1)2.5(2018浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数 a 满足 f(log3a) f( 13loga)2 f(1)，则 a 的取值范围是( )13A(0,3 B.(0，13C. D1
15、,313， 3答案 C解析 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上单调递减，故 f(x)在(，0上单调递增因为 f(log3a) f( 13loga)2 f(1)，所以 f(log3a) f(log 3a)2 f(log3a)2 f(1)，即 f(log3a) f(1) f(1)，所以1log 3a1，解得 a3，故选 C.136已知偶函数 f(x)对于任意 xR 都有 f(x1) f(x)，且 f(x)在区间0,1上是单调递增的，则 f(6.5)， f(1)， f(0)的大小关系是( )A f(0)f(6.5) f(1)B f(6.5) f(0)f(1)C f(1) f(6.5
16、) f(0)D f(1) f(0)f(6.5)答案 A解析 由 f(x1) f(x)，得 f(x2) f(x1) f(x)，函数 f(x)的周期是 2.函数 f(x)为偶函数， f(6.5) f(0.5) f(0.5)， f(1) f(1) f(x)在区间0,1上是单调递增的， f(0)f(0.5)f(1)，即 f(0)f(6.5) f(1)7如果函数 f(x) x2sinx a 的图象过点(，1)且 f(t)2，那么 a_， f( t)_.答案 1 0解析 由已知得 f() 2sin a a1，所以 a1，所以 f(x) x2sinx1，而 f(t) t2sint12，所以 t2sint1，
17、所以 f( t)( t)2sin( t)1 t2sint1110.8若函数 f(x)Error!为奇函数，则 a_， f(g(2)_.答案 0 25解析 由题意，得 a f(0)0.14设 x0，则 x0， f( x) x22 x1 f(x)， g(2x) x22 x1， g(2)4， f(g(2) f(4)168125.9已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时， f(x)4 x，则f f(1)_.(52)答案 2解析 函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且周期为 2， f(2) f(0)0， f(1) f(1) f(12) f(1)， f(1)0， f
18、 f f 1242，(52) ( 12) (12) f f(1)2.(52)10(2018宁波十校联考)定义：函数 f(x)在闭区间 a， b上的最大值与最小值之差为函数 f(x)的极差若定义在区间2 b,3b1上的函数 f(x) x3 ax2( b2) x 是奇函数，则 a b_，函数 f(x)的极差为_答案 1 4解析 由 f(x)在2 b,3b1上为奇函数，所以区间关于原点对称，故2 b3 b10， b1，又由 f( x) f(x)0 可求得 a0，所以 a b1.又 f(x) x33 x， f( x)3 x23，易知 f(x)在(2，1)，(1,2)上单调递增， f(x)在(1,1)上
19、单调递减，所以在2,2上的最大值、最小值分别为 f(1) f(2)2， f(1) f(2)2，所以极差为 4.11设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2 x x2.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式(1)证明 f(x2) f(x)， f(x4) f(x2) f(x) f(x)是周期为 4 的周期函数(2)解 x2,4， x4，2，4 x0,2， f(4 x)2(4 x)(4 x)2 x26 x8. f(4 x) f( x) f(x)，15 f(x) x26 x8，即 f(x) x2
20、6 x8， x2,412设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1 x) f(1 x)，当1 x0 时， f(x) x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间1,2上的表达式解 (1) f(1 x) f(1 x)， f( x) f(2 x)又 f(x2) f(x)， f( x) f(x)又 f(x)的定义域为 R， f(x)是偶函数(2)当 x0,1时， x1,0，则 f(x) f( x) x；从而当 1 x2 时，1 x20，f(x) f(x2)( x2) x2.故 f(x)Error!13(2018浙江杭州四中期中)设函数 f(x)， g(
21、x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，设 h(x)| f(x1)| g(x1)，则下列结论中正确的是( )A h(x)关于(1,0)对称 B h(x)关于(1,0)对称C h(x)关于 x1 对称 D h(x)关于 x1 对称答案 C解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以| f(x)|是偶函数，即| f(x)|与 g(x)均为偶函数，其图象关于 y 轴对称，所以| f(x1)|与 g(x1)的图象都关于直线 x1 对称，即 h(x)| f(x1)| g(x1)的图象关于直线 x1 对称，故选 C.14已知函数 f(x)Error!是偶函数，则 ， 的可能取值是( )A
22、， B 2 3C ， D ， . 3 6 4 34答案 C解析 因为函数 f(x)Error!是偶函数，所以当 x0 时，cos( x )sin( x )，利用两角和差公式展开并整理，16得 sinx(sin cos )cos x(cos sin )0 对 x0 恒成立，因而Error! 将两式两边平方后相加可得，22(sin cos cos sin )0，因而 sin( )1，故 2 k ， kZ，故选 C. 215(2018宁波九校联考)已知函数 f(x)| x22 ax b|(xR)，给出下列命题： f(x)必是偶函数；当 f(0) f(2)时， f(x)的图象关于直线 x1 对称；若
23、a2 b0，则 f(x)在 a，)上是增函数；若 a0，在 a， a上 f(x)有最大值| a2 b|.其中正确的命题序号是_答案 解析 对于，当且仅当 a0 时，函数 f(x)| x22 ax b|为偶函数，错误；对于，当 a0， b2 时，满足 f(0)2 f(2)，此时函数图象不关于直线 x1 对称，错误；对于，当 a2 b0 时， b a20，所以 f(x) x22 ax b，则 f(x)在 a，)上是增函数，正确；对于，当 a1， b4 时，满足 a0，此时 f(x)| x22 x4|在1,1上的最大值为 f(1)|(1) 22(1)4|7|1 24|，错误综上所述，正确命题的序号为
24、.16已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f( x) x2，且对任意的 x1， x20，)均有 (x1 x2)若 f(4m2) f(2m)6 m28 m20，求实数 m 的取值fx1 fx2x1 x2 x1 x22范围解 设 g(x) f(x) ，因为 g(x) g( x) f(x) f( x) 0，故 g(x)为奇x22 x22 x22函数又gx1 gx2x1 x2 fx1 fx2 x2 x212x1 x2 0，fx1 fx2x1 x2 x1 x22故 g(x)在 R 上单调递增，17g(4m2) g(2m) f(4m2) f(2m) (4m2) 2(2 m)2 f(4m2) f(2m)126 m28 m20，所以 g(4m2) g(2m)，所以 4m22 m，解得 m1.
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