1、13.9 函数模型及其应用最新考纲 考情考向分析1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征2.能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) ax b (a， b 为常数， a0)反比例函数模型 f(x) b (k， b 为常数且 k0)kx二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0)指数函数模型f(x) bax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且a1)对数函数
2、模型f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0， a0且 a1)幂函数模型 f(x) axn b (a， b 为常数， a0)2三种函数模型的性质函 数 性 质 y ax(a1) ylogax(a1) y xn(n0)在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同2值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logax1)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度( )(5)“指数爆炸”是指数型函数 y abx c(a
3、0， b0， b1)增长速度越来越快的形象比喻( )题组二 教材改编2P102 例 3某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )3A收入最高值与收入最低值的比是 31B结余最高的月份是 7 月C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同D前 6 个月的平均收入为 40 万元答案 D解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 31，故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)，故 B 正确；由题图可知，1 至2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C
4、 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为 (406030305060)45(万元)，故 D 错误163P104 例 5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为 C(x) x22 x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，12该企业一个月应生产该商品数量为_万件答案 18解析 利润 L(x)20 x C(x) (x18) 2142，12当 x18 时， L(x)有最大值4P112A 组 T7一枚炮弹被发射后，其升空高度 h 与时间 t 的函数关系为 h130 t5 t2，则该函数的定义域是_答案 0,26解析 令 h0，解得 0
5、t26，故所求定义域为0,26题组三 易错自纠5国家规定个人稿费纳税办法：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11.2%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A2800 元 B3000 元C3800 元 D3818 元答案 C解析 由题意，知纳税额 y(单位：元)与稿费(扣税前) x(单位：元)之间的函数关系式为yError!由于此人纳税 420 元，所以 8004000 时，令 0.112x420，解得 x3750(舍去)，4故这个人应得稿费(扣税前
6、)为 3800 元6某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_答案 1p 1q 1解析 设年平均增长率为 x，则(1 x)2(1 p)(1 q)， x 1.1 p1 q7已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y alog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到_只答案 200解析 由题意知 100 alog3(21)， a100， y100log 3(x1)当 x8 时， y100log 39200.题型一 用函数图象刻画变化过程1.高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示
7、，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v f(h)的大致图象是( )答案 B解析 v f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选 B.2设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )答案 D解析 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除 A，C.又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D.53汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1
8、 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 根据图象所给数据，逐个验证选项根据图象知，当行驶速度大于 40 千米/时时，消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以
9、80 千米/时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案题型二 已知函数模型的实际问题例 1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
10、“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p at2 bt c(a， b， c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟6答案 3.75解析 根据图表，把( t， p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!消去 c 化简得Error!解得Error!所以 p0.2 t21.5 t2 2 2 ，所以当15(t2 152t 22516) 4516 15(t 154) 1316t 3.75 时， p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟15
11、4(2)某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系： Q8300170 p p2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)( )A30 元 B60 元C28000 元 D23000 元答案 D解析 设毛利润为 L(p)元，则由题意知L(p) pQ20 Q Q(p20)(8300170 p p2)(p20) p3150 p211700 p166000，所以 L( p)3 p2300 p11700.令 L( p)0，解得 p30 或 p130(舍去)当 p(0,30)时， L( p)0
12、，当 p(30，)时， L( p)0， m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元答案 4.24解析 m6.5， m6，则 f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L (x0)，512 (x2 8x)7则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大答案 4解析 2 4( x0)，x2 8x 4当且仅当 x4 时， min4，(x2 8x)当 x4 时， Lmax 4 (万元)512 4
13、32题型三 构建函数模型的实际问题命题点 1 构造一次函数、二次函数模型例 2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.答案 19解析 由图象可求得一次函数的解析式为 y30 x570，令 30x5700，解得 x19.(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01A.y2 x2 B y (x
14、21)12C ylog 2x D y 1logx答案 B解析 由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.命题点 2 构造指数函数、对数函数模型例 3 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐8到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，已14知到今年为止，森林剩余面积为原来的 .22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(00)型函数ax例 4(1)某汽车运输公司购买了一批
15、豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_9答案 5解析 根据图象求得 y( x6) 211，年平均利润 12 ，yx (x 25x) x 10，当且仅当 x5 时等号成立25x要使平均利润最大，客车营运年数为 5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 平方米，且高度不低于3米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y3米要使防洪堤的上
16、面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x_米答案 2 3解析 由题意可得 BC (2 x40 时，10W xR(x)(16 x40) 16 x7360.40000x所以 WError!(2)当 040 时， W 16 x7360，40000x由于 16 x2 1600，40000x 40000x 16x当且仅当 16 x，即 x50(40，)时，取等号，40000x所以 W 取最大值 5760.综合，当年产量 x32 万只时， W 取最大值 6104 万美元思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适
17、当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制跟踪训练 2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，至少应过滤_次才能达到市场要求(参考数据：13lg20.3010，lg30.4771)答案 8解析 设至少过滤 n 次才能达到市场要求，则 2% n0.1%，即 n ，(113) (23) 120所以 nlg 1lg2，所以 n7.39，所以 n8.23(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20000 元，每天需要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售
18、总收益R(元)与门面经营天数 x 的关系是 R(x)Error!则当总利润最大时，该门面经营的天数是_答案 300解析 由题意，总利润yError!当 0 x400 时， y (x300) 225000，12所以当 x300 时， ymax25000；11当 x400 时， y60000100 x280)，则有( p0.25)%，280p% x 280p 2%x解得 x320.故该公司的年收入为 320 万元5某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过
19、 200 万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)( )A2017 年 B2018 年C2019 年 D2020 年答案 D解析 设从 2016 年起，过了 n(nN *)年该民企全年投入的研发资金超过 200 万元，则130(112%) n200，则 n 3.8，由题意取 n4，则lg 2013lg1.12 0.30 0.110.05n20162020.故选 D.6某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10m3的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际
20、用水为( )A13m 3B14m 3C18m 3D26m 3答案 A解析 设该职工用水 xm3时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 yError!则 10m( x10)2 m16 m，解得 x13.7某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 ye kt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时， y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为_个答案 2ln2 1024解析 当 t0.5 时， y2，212ek， k2ln2， ye 2tln2，当 t5 时， ye 10ln22 101024.8.某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 12 月
21、 21 日至 1 月 7 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿_千克14答案 1909解析 前 10 天满足一次函数关系，设为 y kx b(k0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得Error!解得 k ， b ，所以 y x ，209 709 209 709则当 x6 时， y .19099.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为 ym，则由相似三角形性质可得 ，x40 40 y40解得 y40
22、 x，所以面积 S x(40 x) x240 x( x20) 2400(00，则(150 x)100150 x2 21020，150 x100150 x当且仅当 150 x ，100150 x即 x140 时等号成立，此时， Pmax20120100.16所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元13商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 b(ba)以及实数 x(0x1)确定实际销售价格 c a x(b a)这里， x 被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得( c a)是( b c)和( b a)的
23、等比中项据此可得，最佳乐观系数 x_.答案 5 12解析 由题意得 x ，( c a)2( b c)(b a)，c ab a b c( b a)( c a)，( c a)2( b a)2( b a)(c a)，两边同除以( b a)2，得 x2 x10，解得 x .0 x1， x . 152 5 1214一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为 k，除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里/时时，每小时的燃料费是 6 元若匀速行驶 10 海里，求这艘轮船的速度为多少时，总费用最小？解 设每小时的总费用为 y 元，则 y kv296，又当 v1
24、0 时， k1026，解得 k0.06，所以每小时的总费用 y0.06 v296，匀速行驶 10 海里所用的时间为 小时，故总费用为10vW y (0.06v296)0.6 v 2 48，10v 10v 960v 0.6v960v当且仅当 0.6v ，即 v40 时等号成立960v故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/时15物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过17一定时间 t(单位：min)后的温度是 T，则 T Ta( T0 Ta)12th，其中 Ta称为环境温度，h 称为半衰期现有一杯用 85热水冲的速溶咖啡，放在 21的房间中，如果咖啡降到37
25、需要 16min，那么这杯咖啡要从 37降到 29，还需要_min.答案 8解析 由题意知 Ta21.令 T085， T37，得 3721(8521)162h， h8.令 T037， T29，则 2921(3721)812t， t8.16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服用毒品后 y 与 t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于 0.50 微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间解 (1)由题中图象，设 yError!当 t1 时，由 y4，得 k4；由 1 a4，得 a3.(12)所以 yError!(2)由 y0.50，得Error!或Error!解得 t4，因此服用毒品后重度躁动状态持续184 (小时)18 31818
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