1、19.5 椭 圆最新考纲 考情考向分析1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆
2、；(2)若 a c，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围 a x a b y b b x b a y a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点性质顶点坐标A1( a，0)， A2(a，0)B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)，A2(0， a)B1( b，0)，B2(b，0)2轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距 |F1F2|2 c离心率 e (0，1)caa， b， c 的关系 a2 b2 c2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若 2a| F1F2|或 2a1.x20a2 y20b24.直线
3、与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式 .(1)直线与椭圆相离 0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2构成 PF1F2的周长为 2a2 c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( )(2)方程 mx2 ny21( m0， n0， m n)表示的曲线是椭圆.( )(3) 1( a b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( )y2a2 x2b23(4) 1( ab0)与 1( ab0)的焦距相等.( )x2a2
4、y2b2 y2a2 x2b2题组二 教材改编2.P49T4椭圆 1 的焦距为 4，则 m 等于( )x210 m y2m 2A.4B.8C.4 或 8D.12答案 C解析 当焦点在 x 轴上时，10 mm20，10 m( m2)4， m4.当焦点在 y 轴上时， m210 m0， m2(10 m)4， m8. m4 或 8.3.P80T3(1)过点 A(3，2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的方程为( )x29 y24A. 1 B. 1x215 y210 x225 y220C. 1 D. 1x210 y215 x220 y215答案 A解析 由题意知 c25，可设椭圆方程为 1( 0)，则 1
5、，解得x2 5 y2 9 5 4 10 或 2(舍去)，所求椭圆的方程为 1.x215 y2104.P49T6已知点 P 是椭圆 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1， F2为顶点的x25 y24三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_.答案 或(152， 1) (152， 1)解析 设 P(x， y)，由题意知 c2 a2 b2541，所以 c1，则 F1(1，0)， F2(1，0).由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把y1 代入 1，得 x ，又 x0，所以 x ，x25 y24 152 152所以 P 点坐标为 或 .(152， 1) (152， 1)
6、题组三 易错自纠5.(2018浙江余姚中学质检)已知方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值x2m2 y22 m4范围是( )A.m2 或 m2C.12 或22 m0，解得 m2 或2b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 ，过 F2的直线 lx2a2 y2b2 33交 C 于 A， B 两点，若 AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )3A. 1 B. y21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24答案 A解析 AF1B 的周长为 4 ，4 a4 ，3 3 a ，离心率为 ， c1， b ，333 a2 c2 2椭圆 C 的方程
7、为 1.故选 A.x23 y225第 1 课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 A解析 由条件知| PM| PF|，| PO| PF| PO| PM| OM| R|OF|. P 点的轨迹是以 O， F 为焦点的椭圆.2.已知 ABC 的顶点 B， C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一x23个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周
8、长是( )A.2 B.6C.4 D.123 3答案 C解析 由椭圆的方程得 a .设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得3|BA| BF| CA| CF|2 a，所以 ABC 的周长为|BA| BC| CA| BA| BF| CF| CA|(| BA| BF|)(| CF| CA|)2 a2 a4 a4 .33.椭圆 y21 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个x24交点为 P，则| PF2|等于( )A. B. C. D.472 32 3答案 A解析 F1( ，0)， PF1 x 轴，3 P ，| PF1| ，| PF2|4 .( 3， 12)
9、 12 12 724.设 F1， F2分别是椭圆 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任意一点，点 M 的坐标为x225 y216(6，4)，则| PM| PF1|的最小值为_.6答案 5解析 由椭圆的方程可知 F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2 a| PF2|.| PM| PF1| PM|(2 a| PF2|)| PM| PF2|2 a| MF2|2 a，当且仅当 M， P， F2三点共线时取得等号，又|MF2| 5，2 a10，| PM| PF1|5105，即| PM| PF1|的最6 32 4 02小值为5.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求
10、焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二 椭圆的标准方程命题点 1 定义法例 1 (1)(2019丽水调研)已知两圆 C1：( x4) 2 y2169， C2：( x4) 2 y29，动圆 M在圆 C1内部且和圆 C1内切，和圆 C2外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )A. 1 B. 1x264 y248 x248 y264C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248答案 D解析 设圆 M 的半径为 r，则| MC1| MC2|(13 r)(3 r)168| C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1
11、， C2为焦点的椭圆，且 2a16，2 c8，即 a8， c4， b 4 ，a2 c2 3故所求的轨迹方程为 1.x264 y248(2)在 ABC 中， A(4，0)， B(4，0)， ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是( )A. 1( y0) B. 1( y0)x225 y29 y225 x29C. 1( y0) D. 1( y0)x216 y29 y216 x29答案 A解析 由| AC| BC|188108 知，顶点 C 的轨迹是以 A， B 为焦点的椭圆( A， B， C 不7共线).设其方程为 1( ab0)，则 a5， c4，从而 b3.由 A， B， C 不共线知
12、x2a2 y2b2y0.故顶点 C 的轨迹方程是 1( y0).x225 y29命题点 2 待定系数法例 2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ，( ， )，则(32， 52) 3 5椭圆的标准方程为_.答案 1y210 x26解析 设椭圆的方程为 mx2 ny21( m， n0， m n).由Error! 解得 m ， n .16 110椭圆方程为 1.y210 x26(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点 F1， F2在 x 轴上， P(2， )是椭圆上一3点，且| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为_.答案 1x28 y
13、26解析 椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，可设椭圆方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2 P(2， )是椭圆上一点，且| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，3Error! 又 a2 b2 c2， a2 ， b ， c ，2 6 2椭圆的标准方程为 1.x28 y26思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2 ny21( m0， n0， m n)的形式.跟踪训练 1(1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴
14、上，离心率为 ，且椭圆 G 上一32点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为( )A. 1 B. 1x236 y29 x29 y236C. 1 D. 1x24 y29 x29 y24答案 A解析 依题意设椭圆 G 的方程为 1( ab0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为x2a2 y2b2812，2 a12， a6，椭圆的离心率为 ， e ，即 ，解32 ca 1 b2a2 32 1 b236 32得 b29，椭圆 G 的方程为 1，故选 A.x236 y29(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为3 5y225 x29_.答案 1y220 x24解析 所求椭
15、圆与椭圆 1 的焦点相同，y225 x29其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它的标准方程为 1( ab0).y2a2 x2b2 c216，且 c2 a2 b2，故 a2 b216.又点( ， )在所求椭圆上，3 5 1，即 1. 52a2 32b2 5a2 3b2由得 b24， a220，所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24题型三 椭圆的几何性质命题点 1 求离心率的值(或范围)例 3 (1)设椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点，x2a2 y2b2PF2 F1F2， PF1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36
16、13 12 33答案 D解析 方法一 如图，在 Rt PF2F1中， PF1F230，| F1F2|2 c，9| PF1| ，| PF2|2 ctan30 .2ccos3043c3 23c3| PF1| PF2|2 a，即 2 a，可得 c a.43c3 23c3 3 e .ca 33方法二 (特殊值法)：在 Rt PF2F1中，令| PF2|1， PF1F230，| PF1|2，| F1F2| .3 e .2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 33(2)椭圆 1( ab0)， F1， F2为椭圆的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 为椭圆上一x2a2 y2b2点，| OP| a，且|
17、 PF1|，| F1F2|，| PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )24A. B. C. D.24 23 63 64答案 D解析 设 P(x， y)，则| OP|2 x2 y2 ，a28由椭圆定义得| PF1| PF2|2 a，| PF1|22| PF1|PF2| PF2|24 a2，又| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等比数列，| PF1|PF2| F1F2|24 c2，则| PF1|2| PF2|28 c24 a2，( x c)2 y2( x c)2 y28 c24 a2，整理得 x2 y25 c22 a2，即 5 c22 a2，整理得 ，a28 c2a2 38椭圆的离心率
18、 e .ca 64(3)(2018杭州调研)已知椭圆 1( abc0， a2 b2 c2)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，若以 F2为圆心， b c 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT|的最小值不小于 (a c)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_.3210答案 35， 22)解析 因为| PT| (bc)，|PF2|2 b c2而| PF2|的最小值为 a c，所以| PT|的最小值为 .a c2 b c2依题意，有 (a c)，a c2 b c232所以( a c)24( b c)2，所以 a c2( b c)，所以 a c2 b，所以
19、( a c)24( a2 c2)，所以 5c22 ac3 a20，所以 5e22 e30.又 bc，所以 b2c2，所以 a2 c2c2，所以 2e23 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0，19，).故选 A.思维升华 (1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于 a， b， c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常用方法如下：直接求出 a， c，利用离心率公式 e 求解.ca由 a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e 求解.1 b2a2由椭圆的定义
20、求离心率， e ，而 2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2 c 是ca 2c2a焦距，从而与焦点三角形联系起来.构造 a， c 的齐次式.离心率 e 的求解中可以不求出 a， c 的具体值，而是得出 a 与 c 的关系，从而求得 e，一般步骤如下：()建立方程：根据已知条件得到齐次方程 Aa2 Bac Cc20；()化简：两边同时除以 a2，化简齐次方程，得到关于 e 的一元二次方程 A Be Ce20；()求解：解一元二次方程，得 e 的值；()验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围 e(0，1)确定离心率 e 的值.若得到齐次不等式，可以类似求出离心率 e 的取值范围.(2)椭圆几何性
21、质的应用技巧与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，12 a x a， b y b， 0b0)中， F 为右焦点， B 为上顶点， O 为x2a2 y2b2坐标原点，直线 y x 交椭圆于第一象限内的点 C，若 S BFO S BFC，则椭圆的离心率等于( )baA. B.22 17 22 17C. D. 122 13 2答案 A解析 联立直线 y x 与椭圆 1，得在第一象限的交点为 C ，又因为 Sba x2a2 y2b2 (22a， 22b)BFO S BFC，所以直线 BF 与直线 y x
22、的交点为线段 OC 的中点，即线段 OC 的中点ba在直线 BF： 1 上，则 1，化简得椭圆的离心率 e ，(24a， 24b) xc yb 24ac 24bb ca 22 17故选 A.(3)(2018温州高考适应性测试)正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 1 上，若椭圆的x2a2 y2b2焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.(5 12 ， 1) (0， 5 12 )C. D.(3 12 ， 1) (0， 3 12 )答案 B解析 由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线 y x 与椭圆的交点，即，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以 c0，所以 e43 e21
23、0，又 03 B.a3 或 a3 或6a60，解得 a3 或62)上的动弦 EF 过 的一个焦点(动x2m 6 y2m 2弦不在 x 轴上)，若 的另一个焦点与动弦 EF 所构成的三角形的周长为 20，则椭圆 的离心率为( )A. B. C. D.15 12 25 45答案 C解析 由椭圆的定义，得 4a20，解得 a5.又 c2 a2 b2 m6( m2)4，所以c2，所以椭圆的离心率 e ，故选 C.ca 253.(2018浙江省高考模拟试卷)已知椭圆的方程为 1，矩形 ABCD 的四个顶点都在椭x212 y24圆上，若椭圆的焦点在矩形的内部，则矩形的长与宽的比值的取值范围为( )A.(1
24、，2) B.(1，3)C.( ，) D.(1， )6 6答案 C解析 根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于 x 轴， y 轴，且椭圆与矩形都以原点 O 为对称中心，14如图是矩形的边过焦点时的情形，由椭圆方程 1，知当 x2 时， y ，故 Ax212 y24 2 233，此时，矩形的长与宽的比值为 ，由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽(22，233) 6的比值大于 ，故选 C.64.设椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，且满足 9，则x216 y212 PF1 PF2 |PF1|PF2|的值为( )A.8B.10C.12D.15答案 D解析 由 椭
25、 圆 方 程 1， 可 得 c2 4， 所 以 |F1F2| 2c 4， 而 ， 所 以 |x216 y212 F1F2 PF2 PF1 | |，两边同时平方，得| |2| |22 | |2，所以|F1F2 PF2 PF1 F1F2 PF1 PF1 PF2 PF2 |2| |2| |22 161834，根据椭圆定义，得PF1 PF2 F1F2 PF1 PF2 |PF1| PF2|2 a8，(| PF1| PF2|)2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|64，所以342| PF1|PF2|64，所以| PF1|PF2|15.故选 D.5.2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣
26、布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1 c1 a2 c2； a1 c1 a2 c2； a1c2.c1a1c2a2其中正确式子的序号是( )A.B.C.D.答案 D解析 观察图形可知 a1 c1a2 c2，即式不正确； a1 c1 a2 c2|
27、PF|，即式正确；15由 a1 c1 a2 c20， c1c20 知， a1c2， ，即a1 c1c1 a2 c2c2 a1c1a2c2 c1a1c2a2式正确，式不正确.故选 D.6.(2018浙江省金华十校期末)椭圆 M： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， Px2a2 y2b2为椭圆 M 上任一点，且| PF1|PF2|的最大值的取值范围是2 b2，3 b2，椭圆 M 的离心率为e， e 的最小值是( )1eA. B.22 2C. D.66 63答案 A解析 由椭圆的定义可知| PF1| PF2|2 a，| PF1|PF2| 2 a2，(|PF1| |PF2|2 )2 b2
28、 a23 b2，即 2a22 c2 a23 a23 c2， ，即 e .12 c2a2 23 22 63令 f(e) e ，则 f(e)在 上是增函数，1e 22， 63当 e 时， e 取得最小值 .22 1e 22 2 227.(2018浙江七彩阳光联盟联考)已知椭圆的方程为 1，过椭圆中心的直线交椭圆x29 y24于 A， B 两点， F2是椭圆的右焦点，则 ABF2的周长的最小值为_， ABF2的面积的最大值为_.答案 10 2 5解析 设 F1是椭圆的左焦点.如图，连接 AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知| AF2| BF2|2 a6，所以要使 ABF2的周长最小，必有| AB
29、|2 b4，所以 ABF2的周长的最小值为10. 2ABFS 12 2c|yA| |yA|2 ，所以 ABF2面积的最大值为 2 .12 5 5 5168.设 F1， F2为椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，经过 F1的直线交椭圆 C 于 A， B 两x2a2 y2b2点，若 F2AB 是面积为 4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为_.3答案 1x29 y26解析 F2AB 是面积为 4 的等边三角形， AB x 轴， A， B 两点的横坐标为 c，代3入椭圆方程，可求得| F1A| F1B| .b2a又| F1F2|2 c， F1F2A30， 2c.b2a 33又 2ABS 2c 4
30、 ，12 2b2a 3a2 b2 c2，由解得 a29， b26， c23，椭圆 C 的方程为 1.x29 y269.已知椭圆 C1： 1( ab0)与椭圆 C2： 1( ab0)相交于 A， B， C， D 四点，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2若椭圆 C1的一个焦点为 F( ，0)，且四边形 ABCD 的面积为 ，则椭圆 C1的离心率 e 为2163_.答案 22解析 联立Error!两式相减得 ，又 a b，x2 y2a2 x2 y2b2所以 x2 y2 ，a2b2a2 b2故四边形 ABCD 为正方形， ，(*)4a2b2a2 b2 163又由题意知 a2 b22，将其代入(*)
31、式整理得 3b42 b280，所以 b22，则 a24，所以椭圆 C 的离心率 e .2210.已知 A， B， F 分别是椭圆 x2 1(00，则椭圆的离心率的取值范围为_.答案 (0，22)17解析 如图所示，线段 FA 的垂直平分线为 x ，线段 AB 的中点为 .1 1 b22 (12， b2)因为 kAB b，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率 k ，1b所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y .b2 1b(x 12)把 x p 代入上述方程可得 y q.1 1 b22 b2 1 b22b因为 p q0，所以 0，1 1 b22 b2 1 b22b化为 b .1 b2又 0| F1F
32、2|，所以点 M 的轨迹是以 F1， F2为焦点的椭圆，其中长轴长为 4，焦距为 2，则短半轴长为 ，3所以点 M 的轨迹方程为 1.x24 y2312.已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)的离心率 e ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、32焦点坐标、顶点坐标.解 椭圆方程可化为 1， m0.x2m y2mm 318 m 0， m ，mm 3 mm 2m 3 mm 3 a2 m， b2 ， c .mm 3 a2 b2 mm 2m 3由 e ，得 ， m1.32 m 2m 3 32椭圆的标准方程为 x2 1， a1， b ， c .y214 12 32椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2
33、 和 2b1，焦点坐标为 F1 ， F2 ，四个(32， 0) (32， 0)顶点的坐标分别为 A1(1，0)， A2(1，0)， B1 ， B2 .(0， 12) (0， 12)13.(2018浙江省台州适应性考试)已知椭圆 C 的中心为原点 O， F(5，0)为椭圆 C 的左焦点， P 为椭圆 C 上一点，且满足| OP| OF|，| PF|6，则椭圆 C 的标准方程为( )A. 1 B. 1x249 y224 x224 y249C. 1 D. 1x249 y225 x225 y249答案 A解析 如图，设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，椭圆 C 的右焦点为 M，x2a2 y2b2
34、连接 PM，则| FM|2| OF|10，由| OP| OF| OM|知， FP PM，又| PF|6，所以| PM|8，所以 2a| PF| PM|14，所以 a7，又 c5，所以102 62b2 a2 c2492524，所以椭圆 C 的标准方程为 1.x249 y22414.(2018浙江省镇海中学模拟)设椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两x2a2 y2b2点 A， B 关于原点对称，且满足 0，| FB| FA|2| FB|，则椭圆 C 的离心率的取值FA FB 范围是( )19A. B.22， 53 53， 1)C. D. 1，1)22， 3 1 3答案 A解析
35、 如图，作出椭圆的左焦点 F，分别连接 AB， AF， BF，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF为平行四边形.由 0，知 FA FB，所以四边形FA FB AFBF为矩形，所以| AB| FF|2 c.设| AF| m，| AF| n，则由椭圆的定义知 m n2 a，在 Rt AF F 中， m2 n24 c2.由，得 mn2( a2 c2)，则 .mn nm 2c2a2 c2令 t，得 t .nm 1t 2c2a2 c2由| FB| FA|2| FB|，得 t1，2，nm所以 t ，即 2 ，1t 2c2a2 c2 2， 52 2e21 e2 52解得 e ，故选 A.22 5315.(2
36、018嘉兴测试)椭圆 1( ab0)，直线 l1： y x，直线 l2： y x， P 为椭x2a2 y2b2 12 12圆上任意一点，过 P 作 PM l1且与 l2交于点 M，作 PN l2且与 l1交于点 N，若|PM|2| PN|2为定值，则椭圆的离心率为_.答案 32解析 设 P(x0， y0)，则直线 PM 的方程为 y x y0，直线 PN 的方程为12 x02y x y0，分别与直12 x0220线 l2， l1的方程联立可得 M ， N ，从而(x02 y0， x04 y02) (x02 y0， x04 y02)|PM|2| PN|2 x y .又点 P(x0， y0)在椭圆
37、上，所以 b2x a2y a2b2.又| PM|2| PN|25820 5220 20 20为定值，所以 ，从而 e2 ，从而 e .b2a25852 14 a2 b2a2 34 3216.已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1( c， 0)， F2(c， 0)，若椭圆上存在x2a2 y2b2点 P 使 ，求该椭圆的离心率的取值范围.1 cos2 PF1F21 cos2 PF2F1 a2c2解 由 ，得 .1 cos2 PF1F21 cos2 PF2F1 a2c2 ca sin PF2F1sin PF1F2又由正弦定理得 ，sin PF2F1sin PF1F2 |PF1|PF2|所以 ，即| PF1| |PF2|.|PF1|PF2| ca ca又由椭圆定义得| PF1| PF2|2 a，所以| PF2| ，| PF1| ，2a2a c 2aca c因为 PF2是 PF1F2的一边，所以有 2c 0，所以 e22 e10(0 e1)，解得椭圆离心率的取值范围为( 1，1).221
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