1、19.8 曲线与方程最新考纲 考情考向分析了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.f(x0， y0)0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)0 上的充要条件吗？提示 是.如果曲线 C 的方程是 f(x， y)0
2、，则曲线 C 上的点的坐标满足 f(x， y)0，以f(x， y)0 的解为坐标的点也都在曲线 C 上，故 f(x0， y0)0 是点 P(x0， y0)在曲线f(x， y)0 上的充要条件.22.方程 y 与 x y2表示同一曲线吗？x提示 不是同一曲线.3.若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2，0)的距离小 1，则点 P 的轨迹是什么图形？提示 依题意知，点 P 到直线 x2 的距离等于它到点(2，0)的距离，故点 P 的轨迹是抛物线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解
3、；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程 x2 xy x 的曲线是一个点和一条直线.( )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( )(3)y kx 与 x y 表示同一直线.( )1k(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )题组二 教材改编2.P37T3已知点 F ，直线 l： x ，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直(14， 0) 14线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( )A.双曲线 B.椭圆 C
4、.圆 D.抛物线答案 D解析 由已知| MF| MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线.3.P35 例 1曲线 C： xy2 上任一点到两坐标轴的距离之积为_.答案 2解析 在曲线 xy2 上任取一点( x0， y0)，则 x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为| x0|y0| x0y0|2.4.P37B 组 T1若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1， l2分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为_.答案 x y10解析 设 M 的坐标为( x， y)，则 A， B 两点的坐标分别是(2 x， 0)
5、，(0，2 y)，连接3PM， l1 l2.| PM| OM|，而| PM| ，| OM| .x 12 y 12 x2 y2 ，x 12 y 12 x2 y2化简，得 x y10，即为所求的轨迹方程.题组三 易错自纠5.方程(2 x3 y1)( 1)0 表示的曲线是( )x 3A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10，x 3即 2x3 y10( x3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.6.已知 M(1，0)， N(1，0)，| PM| PN|2，则动点 P 的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线左支C.一条射线
6、D.双曲线右支答案 C解析 由于| PM| PN| MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线.7.已知 M(2，0)， N(2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_.答案 x2 y24( x2)解析 连接 OP，则| OP|2， P 点的轨迹是去掉 M， N 两点的圆，方程为x2 y24( x2).题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程.解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r
7、11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r242| MN|.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，34其方程为 1( x2).x24 y23思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中
8、的变量 x 或 y 进行限制.跟踪训练 1 在 ABC 中，| BC|4， ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且| BD| CD|2 ，则2顶点 A 的轨迹方程为_.答案 1( x )x22 y22 2解析 以 BC 的中点为原点，中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系， E， F 分别为两个切点.则| BE| BD|，| CD| CF|，|AE| AF|.所以| AB| AC|2 ).x22 y22 2题型二 直接法求轨迹方程例 2 已知抛物线 C： y22 x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点.(1)若
9、F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明： AR FQ；(2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知， F ，设 l1： y a， l2： y b，(12， 0)则 ab0，且 A ， B ， P ， Q ， R .(a22， a) (b22， b) ( 12， a) ( 12， b) ( 12， a b2 )记过 A， B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x( a b)y ab0.由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab0.记 AR 的斜率为 k1， FQ 的斜率为 k2，5则 k1 b k2.a b1 a2 a ba2 a
10、b 1a aba b 0 12 12所以 AR FQ.(2)解 设过 AB 的直线为 l，设 l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)，则 S ABF |b a|FD| |b a| ， S PQF .12 12 |x1 12| |a b|2由题意可得| b a| ，|x112| |a b|2所以 x11 或 x10(舍去).设满足条件的 AB 的中点为 E(x， y).当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE可得 (x1).2a b yx 1而 y，所以 y2 x1( x1).a b2当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1，0)，满足方程 y2 x1.所以
11、所求轨迹方程为 y2 x1.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a， b)为动点， F1， F2分别为椭圆 1( ab0)的左、右焦点，已知 F1PF2为等腰三角形.x2a2 y2b2(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2与椭圆相交于 A， B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足 2，求点 M 的AM B
12、M 轨迹方程.解 (1)设 F1( c， 0)， F2(c， 0)(c0).由题意，可得| PF2| F1F2|，即 2 c，a c2 b2整理得 2 2 10，(ca) ca6得 1(舍去)或 ，所以 e .ca ca 12 12(2)由(1)知 a2 c， b c，可得椭圆方程为 3x24 y212 c2，直线 PF2的方程为3y (x c).3A， B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理，得 5x28 cx0.解得 x10， x2 c，85代入直线方程得Error!Error!不妨设 A ， B(0， c).(85c， 335c) 3设点 M 的坐标为( x， y)，则 ，
13、 ( x， y c).AM (x 85c， y 335c) BM 3由 y (x c)，得 c x y.333于是 ， ( x， x)，AM (8315y 35x， 85y 335x) BM 3由 2，AM BM 即 x x2.(8315y 35x) (85y 335x) 3化简得 18x216 xy150.3将 y 代入 c x y，18x2 15163x 33得 c 0.所以 x0.10x2 516x因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 xy150( x0).3题型三 相关点法求轨迹方程例 3 (2018丽水调研)如图所示，抛物线 E： y22 px(p0)与圆 O： x2 y28 相
14、交于 A， B两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C， D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 l1， l2， l1与 l2相交于点 M.(1)求 p 的值；(2)求动点 M 的轨迹方程.7解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2，2)，代入 y22 px，解得 p1.(2)由(1)知抛物线 E： y22 x.设 C ， D ， y10， y20，切线 l1的斜率为 k，则切线(y212， y1) (y22， y2)l1： y y1 k ，(xy212)代入 y22 x，得 ky22 y2
15、 y1 ky 0，由 0，解得 k ，211y1 l1的方程为 y x ，1y1 y12同理 l2的方程为 y x .1y2 y22联立Error! 解得Error!易知 CD 的方程为 x0x y0y8，其中 x0， y0满足 x y 8， x02，2 ，20 20 2由Error! 得 x0y22 y0y160，则Error! 代入Error!可得 M(x， y)满足Error!可得Error!代入 x y 8，并化简，得 y21，20 20x28考虑到 x02，2 ，知 x4，2 ，2 2动点 M 的轨迹方程为 y21， x4，2 .x28 2思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设
16、被动点坐标为( x， y)，主动点坐标为( x1， y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练 3 如图，动圆 C1： x2 y2 t2，16 时，点 P 的轨迹是椭圆，故选 C.4.设过点 P(x， y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与点 P关于 y 轴对称， O 为坐标原点.若 2 ，且 1，则点 P 的轨迹方程是( )BP PA OQ AB A. x23 y21( x0， y0)32B. x23 y21( x0， y0)32C.3x2 y21(
17、 x0， y0)32D.3x2 y21( x0， y0)32答案 A解析 设 A(a， 0)， B(0， b)， a0， b0.由 2 ，BP PA 得( x， y b)2( a x， y)，所以Error!即 a x0， b3 y0.32由题意得，点 Q( x， y)，故由 1，得( x， y)( a， b)1，OQ AB 即 ax by1.将 a， b 代入 ax by1 得所求的轨迹方程为 x23 y21( x0， y0).故选 A.32105.在 ABC 中， B(2，0)， C(2，0)， A(x， y)，给出 ABC 满足的条件，就能得到动点 A 的轨迹方程.下表给出了一些条件及方
18、程：条件 方程 ABC 周长为 10 C1： y225 ABC 面积为 10 C2： x2 y24( y0) ABC 中， A90 C3： 1( y0)x29 y25则满足条件，的轨迹方程依次为( )A.C3， C1， C2 B.C1， C2， C3C.C3， C2， C1 D.C1， C3， C2答案 A解析 ABC 的周长为 10，即| AB| AC| BC|10，又| BC|4，所以|AB| AC|6| BC|，此时动点 A 的轨迹为椭圆，与 C3对应； ABC 的面积为 10，所以|BC|y|10，即| y|5，与 C1对应；因为 A90，所12以 (2 x， y)(2 x， y) x
19、2 y240，与 C2对应.故选 A.AB AC 6.(2015浙江)如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60， B 为斜足，平面 上的动点P 满足 PAB30，则点 P 的轨迹是( )A.直线 B.抛物线C.椭圆 D.双曲线的一支答案 C解析 可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB与平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知， P 的轨迹为椭圆.故选 C.7.已知两定点 A(2，0)， B(1，0)，如果动点 P 满足| PA|2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的11图形的面积为_.答案 4解析 设 P(x， y)，由|
20、 PA|2| PB|，得 2 ，x 22 y2 x 12 y23 x23 y212 x0，即 x2 y24 x0. P 的轨迹为以(2，0)为圆心，2 为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于 4.8.直线 1 与 x， y 轴交点的中点的轨迹方程是_.xa y2 a答案 x y1( x0 且 x1)解析 直线 1 与 x， y 轴的交点为 A(a， 0)， B(0，2 a)，设 AB 的中点为 M(x， y)，xa y2 a则 x ， y1 ，消去 a，得 x y1.因为 a0 且 a2，所以 x0 且 x1.a2 a29.已知圆的方程为 x2 y24，若抛物线过点 A(1，0)， B(1，
21、0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_.答案 1( y0)x24 y23解析 设抛物线焦点为 F，过 A， B， O 作准线的垂线 AA1， BB1， OO1，则|AA1| BB1|2| OO1|4，由抛物线定义得| AA1| BB1| FA| FB|，所以|FA| FB|42，故 F 点的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点).10.如图， P 是椭圆 1( ab0)上的任意一点， F1， F2是它的两个焦点， O 为坐标原点，x2a2 y2b2且 ，则动点 Q 的轨迹方程是_.OQ PF1 PF2 答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ，OQ
22、PF1 PF2 又 2 2 ，PF1 PF2 PM PO OP 设 Q(x， y)，则 ，OP 12OQ ( x2， y2)12即 P 点坐标为 ，又 P 在椭圆上，(x2， y2)则有 1，即 1.( x2)2a2( y2)2b2 x24a2 y24b211.已知定圆 M：( x3) 2 y216 和圆 M 所在平面内一定点 A，点 P 是圆 M 上一动点，线段PA 的垂直平分线 l 交直线 PM 于点 Q.(1)讨论 Q 点的轨迹可能是下面情形中的哪几种：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点.(2)若定点 A(5，0)，试求 QMA 的面积的最大值.解 (1)由题意知| QP| QA|，
23、当 A 在圆 M 外时，| MA|4，且| QA| QM| PM|4| MA|，所以 Q 点的轨迹是以 M， A 为焦点的椭圆，见图(2).当 A 在圆 M 上时， l 过定点 M， l 与 PM 的交点 Q 就是点 M，所以点 Q 的轨迹就是一个点，见图(3).当 A 与 M 重合时， l 与 PM 的交点 Q 就是 PM 的中点，所以点 Q 的轨迹就是圆，见图(4).综上所述， Q 点的轨迹可能是四种.(2)因为 A(5，0)在圆 M 内，由(1)知，点 Q 的轨迹是以 M， A 为焦点的椭圆，且| MA|22 c，| MP|42 a，所以 b ，3由椭圆的几何性质可知， Q 为短轴端点时
24、， S MQA最大，所以 S MQA的最大值为 2cb .12 312.(2018浙江省普通高中高考模拟考试)已知抛物线 C： x22 py(p0)过点 M(2，4).13(1)求抛物线 C 的方程；(2)若过点 P(1，1)的直线 l 交抛物线 C 于 P1， P2两点，点 Q 在线段 P1P2上，且满足 ，求点 Q 的轨迹方程.1|PP1| 1|PP2| 2|PQ|解 (1)把点 M(2，4)代入抛物线 C： x22 py(p0)得 48 p，所以 p ，所以抛物线 C 的方程为 x2 y.12(2)显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y1 k(x1).联立，得Error!消去
25、 y 得 x2 kx( k1)0，所以 k24( k1)0，所以 k22 .2 2设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， Q(x， y)，则 x1 x2 k， x1x2 k1，又点 P1， P2， Q 均在直线 l 上，所以 y1 k(x1)， y11 k(x11)， y21 k(x21).由 得 ，1|PP1| 1|PP2| 2|PQ| 1x1 12 y1 12 1x2 12 y2 12 2x 12 y 12即 .1|x1 1| 1|x2 1| 2|x 1|又( x11)( x21) x1x2 x1 x21 k1 k120，点 Q 在线段 P1P2上，所以 x11， x21， x
26、1 均同号，所以 ，1x1 1 1x2 1 2x 1所以 x2 1 ，x1x2 x1 x2 1x1 x2 2 2 kk 2y k(x1)1 .3k 2k 2由得 k (x1)，代入得 y12 x，2 2xx 1所以 2x y10( x1).又 k22 ，2 2所以 x ( 1， 1)，且 x1.2 kk 2 2 2所以点 Q 的轨迹方程为 2x y10，x( 1，1)(1， 1).2 21413.若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(5，0)， B(5，0)距离之差的绝对值为 8，则称曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )A.x y5 B.x2 y29C. 1
27、D.x216 yx225 y29答案 B解析 M 到平面内两点 A(5，0)， B(5，0)距离之差的绝对值为 8， M 的轨迹是以A(5，0)， B(5，0)为焦点的双曲线，方程为 1.x216 y29A 项，直线 x y5 过点(5，0)，故直线与 M 的轨迹有交点，满足题意；B 项， x2 y29 的圆心为(0，0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项， 1 的右顶点为(5，0)，故椭圆 1 与 M 的轨迹有交点，满足题意；x225 y29 x225 y29D 项，方程代入 1，可得 y 1，即 y29 y90， 0，满足题意.x216 y29 y2914.设点 P(
28、x， y)是曲线 a|x| b|y|1( a0， b0)上的动点，且满足 x2 y2 2y 12 ，则 a b 的取值范围为( )x2 y2 2y 1 2 2A.2，) B.1，2C.1，) D.(0，2答案 A解析 设 F1(0，1)， F2(0，1)，则满足 2 的点 P 的轨迹是以 F1(0，1)， F2(0，1)为焦点x2 y 12 x2 y 12 2的椭圆，其方程为 1.x21 y22曲线 a|x| b|y|1( a0， b0)为如图所示的菱形 ABCD，C ， D .(1a， 0) (0， 1b)由于 2 ，x2 y 12 x2 y 12 2所以菱形 ABCD 在椭圆上或其内部，所
29、以 1， ，即 a1， b .1a 1b 2 2215所以 a b1 2. 故选 A.2 22215.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2，0)和 F2(2，0)的距离的积等于常数 a2(a24)的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2的面积不大于 a2.12其中，所有正确结论的序号是_.答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(2，0)， F2(2，0)的距离的积是 4，又 a24，所以曲线 C不过原点，即错误；设动点 P 在曲线 C 上，因为 F1(2，0)， F2(2，0)关于原点对称，所以| PF1|P
30、F2| a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为 12FPSA |PF1|PF2|sin F1PF2 |PF1|PF2| a2，12 12 12即 F1PF2的面积不大于 a2，即正确.1216.在 ABC 中，已知 A(2，0)， B(2，0)， G， M 为平面上的两点且满足 0，|GA GB GC | | |， ，求顶点 C 的轨迹方程.MA MB MC GM AB 解 设 C(x， y)(y0)，则由 0，GA GB GC 可知 G 为 ABC 的重心，得 G .(x3， y3)又| | | |，即 M 为 ABC 的外心，MA MB MC 所以点 M 在 y 轴上，又 ，则有 M .GM AB (0， y3)由| | |，所以 x2 24 ，MC MA (y y3) y29所以顶点 C 的轨迹方程为 1， y0.x24 y21216
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