1、16.2 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 考情考向分析1.理解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实
2、数 1， 2，使 a 1e1 2e2.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则a b( x1 x2， y1 y2)， a b( x1 x2， y1 y2)， a( x 1， y 1)，| a| .x21 y21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ( x2 x1， y2 y1)，| | .AB AB x2 x12 y2 y123平面向量共线的坐标表示设 a( x1， y1)， b(
3、 x2， y2)，其中 b0. a， b 共线 x1y2 x2y10.概念方法微思考1若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示 不一样因为向量有方向，而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时，与直2线的夹角相同当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示 不一定当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底( )(2)若 a， b 不共线，且 1a 1b 2
4、a 2b，则 1 2， 1 2.( )(3)在等边三角形 ABC 中，向量 与 的夹角为 60.( )AB BC (4)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成 .( )x1x2 y1y2(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( )(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变( )题组二 教材改编2P97 例 5已知 ABCD 的顶点 A(1，2)， B(3，1)， C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_答案 (1,5)解析 设 D(x， y)，则由 ，得(4,1)(5 x,6 y)，AB DC 即Error! 解得Error!
5、3P119A 组 T9已知向量 a(2,3)， b(1,2)，若 ma nb 与 a2 b 共线，则_.mn答案 12解析 由向量 a(2,3)， b(1,2)，得 ma nb(2 m n,3m2 n)， a2 b(4，1)由 ma nb 与 a2 b 共线，得 ，所以 .2m n4 3m 2n 1 mn 12题组三 易错自纠4设 e1， e2是平面内一组基底，若 1e1 2e20，则 1 2_.答案 035已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 (4，3)，则向量 _.AC BC 答案 (7，4)解析 根据题意得 (3,1)，AB (4，3)(3,1)(7，4)BC AC AB 6已知向
6、量 a( m,4)， b(3，2)，且 a b，则 m_.答案 6解析 因为 a b，所以(2) m430，解得 m6.题型一 平面向量基本定理的应用例 1 如图，已知 OCB 中， A 是 CB 的中点， D 是将 分成 21 的一个内分点， DC 和 OA 交于OB 点 E，设 a， b.OA OB (1)用 a 和 b 表示向量 ， ；OC DC (2)若 ，求实数 的值OE OA 解 (1)由题意知， A 是 BC 的中点，且 ，由平行四边形法则，OD 23OB 得 2 ，OB OC OA 所以 2 2 a b，OC OA OB (2 a b) b2 a b.DC OC OD 23 5
7、3(2)由题意知， ，故设 x .EC DC EC DC 因为 (2 a b) aEC OC OE (2 )a b， 2 a b.DC 534所以(2 )a b x .(2a53b)因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理，得Error!解得Error!故 .45思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等(3)强化共线向量定理的应用跟踪训练 1 在 ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 ， Q 是 BC
8、的中点， AQ 与 CP 的CP 23CA 13CB 交点为 M，又 t ，则 t 的值为_CM CP 答案 34解析 ，CP 23CA 13CB 3 2 ，CP CA CB 即 2 2 ，CP CA CB CP 2 ，AP PB 即 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示 A， M， Q 三点共线， x (1 x)CM CQ CA ( x1) ，x2CB AC 而 ， .CB AB AC CM x2AB (x2 1)AC 5又 ，CP CA PA AC 13AB 由已知 t ，可得CM CP t ，x2AB (x2 1)AC ( AC 13AB )又 ， 不共线，AB AC Error! 解
9、得 t .34题型二 平面向量的坐标运算例 2(1)已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若 3 a，则点 N 的坐标为( )MN A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)答案 A解析 设 N(x， y)，则( x5， y6)(3,6)， x2， y0.(2)已知 A(2,4)， B(3，1)， C(3，4)设 a， b， c， a mb nc(m， nR)，则 m n_.AB BC CA 答案 2解析 由已知得 a(5，5)， b(6，3)， c(1,8) mb nc(6 m n，3 m8 n)，Error! 解得Error! m n2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利
10、用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解跟踪训练 2 线段 AB 的端点为 A(x,5)， B(2， y)，直线 AB 上的点 C(1,1)，使| |2| |，则 x y_.AC BC 答案 2 或 6解析 由已知得 (1 x，4)，2 2(3,1 y)AC BC 由| |2| |，可得 2 ，AC BC AC BC 6则当 2 时，有Error!AC BC 解得Error!此时 x y2；当 2 时，有Error!AC BC 解得Error!此时 x y6.综上可
11、知， x y2 或 6.题型三 向量共线的坐标表示命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标例 3 已知 O 为坐标原点，点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_答案 (3,3)解析 方法一 由 O， P， B 三点共线，可设 (4 ，4 )，OP OB 则 (4 4,4 )AP OP OA 又 (2,6)，AC OC OA 由 与 共线，得(4 4)64 (2)0，AP AC 解得 ，34所以 (3,3)，OP 34OB 所以点 P 的坐标为(3,3)方法二 设点 P(x， y)，则 ( x， y)，OP 因为 (4,4)，且 与 共线，OB
12、 OP OB 所以 ，x4 y4即 x y.又 ( x4， y)， (2,6)，且 与 共线，AP AC AP AC 7所以( x4)6 y(2)0，解得 x y3，所以点 P 的坐标为(3,3)命题点 2 利用向量共线求参数例 4 已知平面向量 a(2，1)， b(1,1)， c(5,1)，若( a kb) c，则实数 k 的值为( )A B.114 12C2 D.114答案 B解析 因为 a(2，1)， b(1,1)，所以 a kb(2 k，1 k)，又 c(5,1)，由( a kb) c，得(2 k)15( k1)，解得 k ，故选 B.12思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(
13、1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则a b 的充要条件是 x1y2 x2y1”(2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a( R)跟踪训练 3(1)已知 a(2， m)， b(1，2)，若 a( a2 b)，则 m 的值是( )A4B1C0D2答案 A解析 a2 b(4， m4)，由 a( a2 b)，得 2(m4)4 m， m4，故选 A.(2)已知向量 ( k,12)， (4,5)， ( k,10)，且 A， B， C 三点共线，则实数 k 的值OA OB OC 是_答案 23解析 (4 k，7)，AB O
14、B OA (2 k，2)AC OC OA A， B， C 三点共线，8 ， 共线，AB AC 2(4 k)7(2 k)，解得 k .231已知 M(3，2)， N(5，1)，且 ，则 P 点的坐标为( )MP 12MN A(8,1) B.( 1， 32)C. D(8，1)(1，32)答案 B解析 设 P(x， y)，则 ( x3， y2)MP 而 (8,1) ，12MN 12 ( 4， 12)Error! 解得Error! P .故选 B.( 1， 32)2若向量 (2,0)， (1,1)，则 等于( )AB DC AD AC BC A(3,1) B(4,2)C(5,3) D(4,3)答案 B
15、解析 (3,1)，又 (1,1)，AC AD DC BD AD AB 则 (1,1)，所以 (4,2)故选 B.BC BD DC AC BC 3已知向量 a(1,2)， b(2， t)，且 a b，则| a b|等于( )A. B. C. D52 5 10答案 B解析 根据题意可得 1t2(2)，可得 t4，所以 a b(1，2)，从而可求得| a b| ，故选 B.1 4 54已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)， b( m，3 m2)，且平面内的任一向量 c都可以唯一的表示成 c a b( ， 为实数)，则实数 m 的取值范围是( )A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，
16、)9答案 D解析 由题意知向量 a， b 不共线，故 2m3 m2，即 m2.5在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)， B(0,1)， C 为坐标平面内第一象限内一点， AOC ，且| OC|2，若 ，则 等于( ) 4 OC OA OB A2 B. C2D42 2 2答案 A解析 因为| OC|2， AOC ，所以 C( ， )， 4 2 2又 ，OC OA OB 所以( ， ) (1,0) (0,1)( ， )，2 2所以 ， 2 .2 26已知向量 m 与向量 n(3，sin A cosA)共线，其中 A 是 ABC 的内角，则(sinA，12) 3角 A 的大小为( )A.
17、 B. C. D. 6 4 3 2答案 C解析 m n，sin A(sinA cosA) 0，3322sin 2A2 sinAcosA3，31cos2 A sin2A3，sin 1，3 (2A 6) A(0，)，2 A . 6 ( 6， 116 )2 A ，解得 A ，故选 C. 6 2 37已知向量 a(1， x)， b( x,3)，若 a 与 b 共线，则| a|_.答案 2解析 由 a 与 b 共线得 13 x20，解得 x ，所以| a| 2.3 12 328设向量 a， b 满足| a|2 ， b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为5_答案 (4，2)解析 b(2
18、,1)，且 a 与 b 的方向相反，设 a(2 ， )( 0)10| a|2 ，4 2 220， 24， 2. a(4，2)59(2018全国)已知向量 a(1,2)， b(2，2)， c(1， )若 c(2 a b)，则 _.答案 12解析 由题意得 2a b(4,2)，因为 c(2 a b)，所以 4 2，得 .1210已知向量 (1，3)， (2，1)， ( k1， k2)，若 A， B， C 三点能构成三OA OB OC 角形，则实数 k 应满足的条件是_答案 k1解析 若点 A， B， C 能构成三角形，则向量 ， 不共线AB AC (2，1)(1，3)(1,2)，AB OB OA
19、( k1， k2)(1，3)( k， k1)，AC OC OA 1( k1)2 k0，解得 k1.11已知 a(1,0)， b(2,1)，(1)当 k 为何值时， ka b 与 a2 b 共线；(2)若 2 a3 b， a mb 且 A， B， C 三点共线，求 m 的值AB BC 解 (1) ka b k(1,0)(2,1)( k2，1)，a2 b(1,0)2(2,1)(5,2) ka b 与 a2 b 共线，2( k2)(1)50，即 2k450，得 k .12(2)方法一 A， B， C 三点共线， ，AB BC 即 2a3 b (a mb)，Error! 解得 m .32方法二 2 a
20、3 b2(1,0)3(2,1)(8,3)，AB 11 a mb(1,0) m(2,1)(2 m1， m)，BC A， B， C 三点共线， ，AB BC 8 m3(2 m1)0，即 2m30， m .3212.如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为 120， 与 的夹角为OA OB OC OA OB OA OC 30，且| | |1，| |2 .若 ( ， R)，求 的值OA OB OC 3 OC OA OB 解 方法一 如图，作平行四边形 OB1CA1，则 ，OC OB1 OA1 因为 与 的夹角为 120， 与 的夹角为 30，OA OB OA OC 所以 B1OC90.
21、在 Rt OB1C 中， OCB130，| |2 ，OC 3所以| |2，| |4，OB1 B1C 所以| | |4，OA1 B1C 所以 4 2 ，OC OA OB 所以 4， 2，所以 6.方法二 以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1,0)， B ，(12， 32)C(3， )3由 ，OC OA OB 12得Error! 解得Error!所以 6.13.如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得 DE CD，若点 P 为 CD 的中点，且 ，则 等于( )AP AB AE A3B. C2D152答案 B解析 由题意，设正方形的边长为 1，建立平面直角坐标
22、系如图，则 B(1,0)， E(1,1)， (1,0)， (1,1)，AB AE ( ， )，AP AB AE 又 P 为 CD 的中点， ，AP (12， 1)Error! ， 1， .32 5214在矩形 ABCD 中， AB1， AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 AP ，则 的最大值为( )AB AD A3B2 C. D22 5答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 C 点坐标为(2,1)13设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，则 CE BD. CD1， BC2， BD ，12 22 5EC ，即圆 C 的半径为 ，BCCDBD 25 255
23、255 P 点的轨迹方程为( x2) 2( y1) 2 .45设 P(x0， y0)，则Error!( 为参数)，而 ( x0， y0)， (0,1)， (2,0)AP AB AD (0,1) (2,0)(2 ， )，AP AB AD x01 cos ， y01 sin .12 55 255两式相加，得 1 sin 1 cos255 552sin( )3 ，(其 中 sin 55， cos 255)当 2 k ， kZ 时， 取得最大值 3. 2故选 A.15如图，在圆的内接四边形 ABCD 中，对角线 BD 为圆的直径， AB ， AD4， CD1，5点 E 在 BC 上，且 t (tR)，
24、则 的值为_AE 310AB AC AE AC 答案 997解析 方法一 易知 AB AD，以 A 为坐标原点， AB， AD 所在直线分别为 x， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B( ，0)， D(0,4)，设 C(x， y)，由 CD1，得5x2( y4) 21.14又对角线 BD 为圆的直径，所以 2( y2) 2 ，(x52) 214由，可得 C .(357， 307)则 2 .AE AC (310AB 710AC ) AC 310AB AC 710AC 310 5 357 710 (357)2 (307)2 997方法二 cos ADCcos( ADB CD
25、B)cos ADBcos CDBsin ADBsin CDB .421 121 521 2521 27在 ADC 中，由余弦定理得， AC2 AD2 CD22 ADCDcos ADC4 21 2241 (27)，1357所以 AE AC (310AB 710AC ) AC 2310AB AC 710AC AC2310 AB2 AC2 BC22 710 .310 52 1357 202 710 1357 99716.在直角梯形 ABCD 中， AB AD， DC AB， AD DC2， AB4， E， F 分别为 AB， BC 的中点，点 P 在以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DEM 上变动(如图所示)若 ，其中AP ED AF ， R，则 2 的取值范围是_答案 22， 12解析 建立如图所示的平面直角坐标系，15则 A(0,0)， E(2,0)，D(0,2)， F(3,1)，P(cos ，sin ) ，( 2 2)即 (cos ，sin )， (2,2)， (3,1)AP ED AF ，AP ED AF (cos ，sin ) (2,2) (3,1)，cos 2 3 ，sin 2 ， (3sin cos )， (cos sin )，18 142 sin cos sin .12 12 22 ( 4) ， . 2 2 34 4 4 sin .22 22 ( 4) 1216
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