1、110.2 排列与组合最新考纲 考情考向分析1.了解排列、组合的概念.2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.1.排列与组合的概念名称 定义排列 按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 A 表示.mn(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元
2、素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C 表示.mn3.排列数、组合数的公式及性质公式 (1)A n(n1)( n2)( n m1)mn n！n m！(2)C mnAmnAm nn 1n 2n m 1m！ n！m！ n m！性质(3)0！1；A n！n(4)C C ；C C Cmn n mn mn 1 mn m 1n概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 C A A .mnm mn2
3、(2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示 解排列组合综合应用题要从“分析” “分辨” “分类” “分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是“位置” ；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素
4、完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(4)(n1)！ n！ nn！.( )(5)若组合式 C C ，则 x m 成立.( )xn mn(6)kC nC .( )kn k 1n题组二 教材改编2.P27A 组 T76 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D解析 “插空法” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A 43224.343.P19 例 4用数字 1，2，3，4，
5、5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120答案 C解析 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，12 34共有 A A 48(种)排法，所以偶数的个数为 48.1234题组三 易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A.192 种 B.216 种C.240 种 D.288 种答案 B3解析 第一类：甲在最左端，有 A 54321120(种)排法；5第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A 4432196(种)排法.4所以共有 12096216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，教育部选派 6
6、 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A.180B.240C.540D.630答案 C解析 依题意，选派方案分为三类：一个国家派 4 名，另两个国家各派 1 名，有 A 90(种)；一个国家派 3 名，一个国家派 2 名，一个国家派 1 名，有 C C CC46C12C1A2 3 3623A 360(种)；每个国家各派 2 名，有 A 90(种)，故不同的选派方案种数为13C26C24C2A3 39036090540.6.寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A， B， C， D， E 五个座位(一排共五个
7、座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.(用数字作答)答案 45解析 设 5 名同学也用 A， B， C， D， E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC， BDAC， BCDA， CADB， CDAB， CDBA， DABC， DCAB， DCBA，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 9545(种).题型一 排列问题1.用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比 20000 大，并且百位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有( )A.96
8、个 B.78 个C.72 个 D.64 个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比 20000 大，则首位必须是 2，3，4，5 这 4 个数字中的一个，当首位是 3 时，百位数不是数字 3，符合要求的五位数有 A 24(个)；当首位是42，4，5 时，由于百位数不能是数字 3，则符合要求的五位数有 3(A A )54(个)，因4 3此共有 542478(个)这样的五位数符合要求.故选 B.42.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答)答案 1560解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数
9、，所以全班共写了 A 40391560(条)留言.2403.6 名同学站成 1 排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法.答案 480解析 方法一 (位置优先法)先从其他 5 人中安排 2 人站在最左边和最右边，再安排余下 4人的位置，分为两步：第 1 步，从除甲外的 5 人中选 2 人站在最左边和最右边，有 A 种站法；25第 2 步，余下 4 人(含甲)站在剩下的 4 个位置上，有 A 种站法.4由分步乘法计数原理可知，共有 A A 480(种)不同的站法.254方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他 5 人的位置，分为两步
10、：第 1 步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有 A 种站法；14第 2 步，余下 5 人站在剩下的 5 个位置上，有 A 种站法.5由分步乘法计数原理可知，共有 A A 480(种)不同的站法.145思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二 组合问题例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中
11、男、女队长各 1 名.现选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2)至少有 1 名女运动员；(3)队长中至少有 1 人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员.解 (1)分两步完成：第一步，选 3 名男运动员，有 C 种选法；36第二步，选 2 名女运动员，有 C 种选法.245由分步乘法计数原理可得，共有 C C 120(种)选法.36 24(2)方法一 “至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法共有 C C C C C C C C 246
12、(种).1446 2436 3426 416方法二 “至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” ，可用间接法求解.从 10 人中任选 5 人有 C 种选法，其中全是男运动员的选法有 C 种.所以“至少有 1 名女510 56运动员”的选法有 C C 246(种).510 56(3)方法一 (直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为 C ；48“只有女队长”的选法种数为 C ；48“男、女队长都入选”的选法种数为 C ，38所以共有 2C C 196(种)选法.48 38方法二 (间接法)从 10 人中任选 5 人有 C 种选法，510其中不选队长的方法有 C 种.所以“至少有 1
13、 名队长”的选法有 C C 196(种).58 510 58(4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有 C49种选法，其中不含女运动员的选法有 C 种，所以不选女队长时的选法共有(C C )种.所48 45 48 45以既要有队长又要有女运动员的选法共有 C C C 191(种).49 48 45思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至
14、少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练 1 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C 561 种取法，234某一种假货必须在内的不同取法有
15、561 种.(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 种或者 C C C 5984 种取法.34 35 234 34某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种.6(3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C C 2100 种取法.120 215恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2100 种.(4)选取 2 种假货有 C C 种，选取 3 种假货有 C 种，共有选取方式120 215 315C C C 21004552555(种).120 215 315至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2555 种.(5)方法一 (间接法)选取 3 种商品的总数为
16、 C ，选取 3 种假货有 C 种，因此共有选取方式35 315C C 65454556090(种).35 315至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6090 种.方法二 (直接法)选取 0 种假货有 C 种，选取 1 种假货有 C C 种，选取 2 种假货有 C C 种，320 15 20 215 120因此共有选取方式 C C C C C 6090(种).320 215 120 15 20至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6090 种.题型三 排列与组合的综合问题命题点 1 相邻问题例 23 名男生、3 名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A.2B.9C.7
17、2D.36答案 C解析 可分两步完成：第一步，把 3 名女生作为一个整体，看成一个元素，3 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有 A 种排法；第二步，3 名女生排在一起有 A2种排法，3 名男生排在一起有 A 种排法，故排法种数为 A A A 72.3 3 233命题点 2 相间问题例 3 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声” “小品
18、1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”.对于第一种情况，形式为“小品 1 歌舞 1 小品 2相声” ，有 A C A 36(种)安排方法；21323同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“小品 1相声小品 2” ，有 A A 48(种)安排方法，故共有 363648120(种)安234排方法.7命题点 3 特殊元素(位置)问题例 4(2018浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事 A， B， C， D 四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作， A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事 B 项工作，则不同的分配方案的种
19、数为( )A.96B.120C.132D.240答案 C解析 当甲选 A 时，共有 C C A 36(种)分配方案；当甲不选 A 时，若 B 安排两人，共有 C24132C A 24(种)分配方案，若 C 或 D 安排两人，共有 C C C A 72(种)分配方案.所以一共14232 1413232有 362472132(种)分配方案.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则按元素(位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练 2(1)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品
20、 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种.答案 36解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A A 种方法，将2 4产品 A， B， C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A A 种方2 3法.于是符合题意的摆法共有 A A A A 36(种).24 23(2)(2017浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法.(用数字作答)答案 660解析 方法一 只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有
21、 C 种方法；再选 3 名男生，有 C 种方12 36法；然后排队长、副队长位置，有 A 种方法.由分步乘法计数原理知，共有24C C A 480(种)选法.123624有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C 种方法；然后排队长、副队长位置，有 A 种方法.由26 24分步乘法计数原理知，共有 C A 180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有2624480180660(种)不同的选法.方法二 不考虑限制条件，共有 A C 种不同的选法，28 26而没有女生的选法有 A C 种，26 24故至少有 1 名女生的选法有 A C A C 840180660(种).2826 262481
22、.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream” ，其中 China 又可以简写为 CN，从“CNDream”中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A.360 种 B.480 种 C.600 种 D.720 种答案 C解析 从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，共有 C A 600 种，故选 C.4552.(2018浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4 名志愿者分配到主会场附近的 3 个路口维持交通，每个路口至少安排 1 名志愿者，则不同的分配方案种数为( )A.12B.36C.72D.1
23、08答案 B解析 由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从 4 名志愿者中选出 2 名志愿者作为一组，其余 2 名志愿者各自为一组，共有 C 种选法；第二步，将24上述三组与 3 个路口对应，共有 A 种分配方案.故不同的分配方案种数为 C A 36.故选 B.3 2433.(2018浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到 A， B， C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到 A 景点的方案有( )A.18 种 B.12 种 C.36 种 D.24 种答案 D解析 甲单独一人时，则甲只能去 B， C 两个景点中的一个，其余三人分为两组
24、，然后分别去剩余的两个景点，则有 C C A 12(种)；甲与另外一人为一组，去 B， C 两个景点中12232的一个，其余两人分别各去一个景点，则有 C C A 12(种).由分类加法计数原理可得总的13122方案为 24 种，故选 D.4.(2018杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共 10 张，其中黑色卡片3 张.已知从盒中任意摸出 2 张卡片，摸出的 2 张卡片中至少有 1 张是白色的情况有 35 种，则盒中红色卡片的张数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 设盒中白色卡片有 x 张，则 C C 35，210 210 x x219 x700， x5 或 x14(
25、舍去)，红色卡片的张数为 10352.故选 B.5.(2019台州质检)有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，9与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )A.144B.216C.288D.432答案 D解析 第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C C A 18(种)排法；第二步剩余的学生全排列，共有 A 24(种)排法，根据分步乘法计13132 4数原理得排法共有 1824432(种)，故选 D.6.(2018浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、 “三位一体”综合评
26、价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018 年有3 所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收 24 名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是( )A.252B.253C.222D.223答案 C解析 采用隔板法，在 24 名学生排列所形成的 23 个间隔中，任插入 2 个隔板，分成三组，共有 C 253 种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1 种；有两组人数相同的人数23组合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，
27、(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10330 种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253130222 种.故选 C.7.(2018浙江)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1260解析 不含有 0 的四位数有 C C A 720(个).25 23 4含有 0 的四位数有 C C C A 540(个).25 13 13 3综上，四位数的个数为 7205401260.8.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4
28、 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答)答案 60解析 分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A 种分法；34第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人，相当于把 3 张中奖奖券分两组再分给 4 人中的 2 人，共有 C A 种分法.23 24总获奖情况共有 A C A 60(种).34 23249.要从甲、乙等 8 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答)答案 12010解析 先从除了甲、乙以外的 6 人中选一人，安排在甲乙中间，有 C A 12(种)，把这三162个人看成一个整体，与从剩下
29、的五人中选出的一个人全排列，有 C A 10(种)，故不同的152发言顺序共有 1210120(种).10.用数字 0，1，2，3，4 组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_个.答案 240解析 由题意知本题是一个分步计数问题，从 1，2，3，4 四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取 3 个在中间三个位置排列，共有 A 60(个)，根据分步乘法计数原35理知，有 604240(个).11.(2018温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一
30、节，则不同的功课安排有_种情况.答案 336解析 当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有 A A 种情况；当语文和数学有一2 34科安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有 C C A C A 种情况，所以不同的功2412312 2课安排一共有 A A C C A C A 336(种)情况.234 2412312212.某宾馆安排 A， B， C， D， E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A， B 不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法.(用数字作答)答案 114解析 5 个人住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为
31、(3，1，1)时，有 C A 60(种)， A， B 住同一房间有 C A 18(种)，故有35 3 13 3601842(种)，当为(2，2，1)时，有 A 90(种)， A， B 住同一房间有C25C23A2 3C A 18(种)，23 3故有 901872(种)，根据分类加法计数原理可知，共有 4272114(种).13.7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A.120B.240C.360D.480答案 C解析 前排 3 人有 4 个空，从甲、乙、丙 3 人中选 1 人插入
32、，有 C C 种方法，对于后排，14 13若插入的 2 人不相邻，有 A 种方法；若相邻，有 C A 种，故共有 C C (A C A )25 15 2 1413 25 152360(种)，故选 C.1114.设三位数 n abc，若以 a， b， c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 n 有多少个？解 a， b， c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0，即 a， b， c1，2，3，9.若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 n1，由于三位数中三个数字都相同，所以 n1C9；若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为 n2，由于三位数中只有 219个不
33、同数字，设为 a， b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组( a， b)共有 2C组，但当大数为底时，设 ab，必须满足 ba2b，此时，不能构成三角形的数字是29a 9 8 7 6 5 4 3 2b 4，3，2，1 4，3，2，1 3，2，1 3，2，1 1，2 1，2 1 1共 20 种情况.同时，每个数组( a， b)中的两个数字填上三个数位，有 C 种情况，23故 n2C (2C 20)156.23 29综上， n n1 n2165.15.设集合 A( x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7)|xi1，0，1， i1，2，3，4，5，6，7，那么集合 A 中满足条
34、件“1| x1| x2| x3| x7|4”的元素个数为( )A.938B.900C.1200D.1300答案 A解析 A 中元素为有序数组( x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7)，题中要求有序数组的 7 个数中仅有 1 个1，仅有 2 个1，仅有 3 个1 或仅有 4 个1，所以共有C 2C 22C 23C 24938(个).17 27 37 4716.(2018浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有 7 个球，其中红色球 2 个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各 1 个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2 个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有_种不同的排法(用数字回答).答案 408解析 不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有 A 种排法，4再将 2 个红色球(排一起)和黄色球插入 5 个空隙中，有 A 种排法，即此时排法共有25A A 480(种)，而最左边排白色球的排法共有 A A 72(种)，故符合条件的排法共有425 32448072408(种).12
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