1、1重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算T 8双曲线的几何性质T 5双曲线的几何性质T 112018双曲线的几何性质T 11直线的方程及椭圆的几何性质T 12直线与抛物线的位置关系T 16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T 102017双曲线的几何性质T 15双曲线的几何性质T 9双曲线的渐近线及标准方程T 5双曲线的几何性质与标准方程T 52016 抛物线与圆的综合问题T10双曲线的定义、离心率问题T 11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T 11(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是
2、每年高考必考的内容以选择题、填空题的形式考查，常出现在第 412 或 1516 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 1920 题的位置，一般难度较大保分考点练后讲评考 点 一 圆 锥 曲 线 的 定 义1. 设 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1椭 圆 的 定 义 x29 y25的中点在 y 轴上，则 的值为( )|PF2|PF1|A. B.514 59C. D.49 513解析：选 D 如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的中点，所以 OM PF2，可
3、得 PF2 x 轴，|PF2| ，| PF1|2 a| PF2| ，所以 .b2a 53 133 |PF2|PF1| 5132. 已知双曲线的虚轴长为 4，离心率 e ， F1， F2分别是双曲线的左、双 曲 线 的 定 义 62右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A， B 两点，且| AB|是| AF2|与| BF2|的等差中项，2则| AB|等于( )A8 B42 2C2 D82解析：选 A 由题意可知 2b4， e ，于是 a2 .2| AB| AF2| BF2|，ca 62 2| AB| AF1| BF1| AF2| BF2|，得| AB| AF2| AF1| BF2| BF1
4、|4 a8.23. 过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若抛 物 线 的 定 义 |AF|2| BF|6，则 p_.解析：设直线 AB 的方程为 x my ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1 x2，将直线 AB 的p2方程代入抛物线方程得 y22 pmy p20，所以 y1y2 p2，4 x1x2 p2.设抛物线的准线为l，过 A 作 AC l，垂足为 C，过 B 作 BD l，垂足为 D，因为| AF|2| BF|6，根据抛物线的定义知，| AF| AC| x1 6，| BF| BD| x2 3，所以p2 p2x1 x23， x1
5、x29 p，所以( x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2 p2，即 18p720，解得p4.答案：4解题方略 圆锥曲线的定义(1)椭圆：| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)；(2)双曲线：| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)；(3)抛物线：| MF| d(d 为 M 点到准线的距离)注意 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.圆锥曲线的标准方程 保分考点练后讲评考 点 二大稳定 常 规 角 度 考 双 基1. 已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐近线方程双 曲 线 的 标 准 方 程 x2a2 y2b2 5为 2xy0，则双曲线
6、的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：选 A 易知双曲线 1( a0， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程x2a2 y2b2为 2xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 .结合 c2 a2 b2，可得ba 5 53a2， b4，所以双曲线的方程为 1.x24 y2162. 若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正椭 圆 的 标 准 方 程 三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为 ，则椭圆的标准方程为_3解析：设长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c，由已知得
7、Error!又 a2 b2 c2，Error!椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y212答案： 1 或 1x212 y29 x29 y2123. 若抛物线 y22 px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距抛 物 线 的 标 准 方 程 离分别为 10 和 6，则抛物线的标准方程为_解析：因为抛物线 y22 px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为 6，若设该点为 P，则 P(x0，6)因为 P 到抛物线焦点 F 的距离为 10，(p2， 0)根据抛物线的定义得 x0 10.p2因为 P 在抛物线上，所以 362 px0.由解得 p2， x09 或 p18， x01，所
8、以抛物线的标准方程为 y24 x 或 y236 x.答案： y24 x 或 y236 x解题方略 求解圆锥曲线标准方程的思路定型 就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的 a2， b2或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y22 ax 或 x22 ay(a0)，椭圆常设为 mx2 ny21( m0， n0)，双曲线常设为 mx2 ny21( mn0)小创新 变 换 角 度 考 迁 移1. 已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点为 F，点 B 是双 曲 线 与 向 量 交 汇 x2a2 y2b2虚轴的一个端点，线段 BF 与
9、双曲线 C 的右支交于点 A，若 2 ，且| |4，则BA AF BF 双曲线 C 的方程为( )A. 1 B. 1x26 y25 x28 y2124C. 1 D. 1x28 y24 x24 y26解析：选 D 不妨设 B(0， b)，由 2 ， F(c,0)，可得 A ，代入双曲线BA AF (2c3， b3)C 的方程可得 1，49 c2a2 19 .b2a2 32又| | 4， c2 a2 b2，BF b2 c2 a22 b216.由可得， a24， b26，双曲线 C 的方程为 1.x24 y262. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线抛 物 线 在 物 理 知 识 中 的
10、 创 新 反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点若抛物线 y24 x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光线从点 M(3，1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为( )A. B43 43C D43 169解析：选 B 将 y1 代入 y24 x，可得 x ，即 A .由抛物线的光学性质可知，14 (14， 1)直线 AB 过焦点 F(1,0)，所以直线 AB 的斜率 k .1 014 1 433. 如图，记椭圆 1， 1 内部椭 圆 中 的 创 新 x225 y29 y225 x29重叠
11、区域的边界为曲线 C， P 是曲线 C 上的任意一点，给出下列四个命题： P 到 F1(4,0)， F2(4,0)， E1(0，4)， E2(0,4)四点的距离之和为定值；曲线 C 关于直线 y x， y x 均对称；曲线 C 所围区域的面积必小于 36；曲线 C 的总长度不大于 6.其中正确命题的序号为_解析：对于，若点 P 在椭圆 1 上，则 P 到 F1(4，0)， F2(4,0)两点的距离x225 y295之和为定值，到 E1(0，4)， E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于，联立两个椭圆的方程Error!得 y2 x2，结合椭圆的对称性知，曲线 C 关于直线 y x， y
12、 x 均对称，故正确；对于，曲线 C 所围区域在边长为 6 的正方形内部，所以其面积必小于36，故正确；对于，曲线 C 所围区域的内切圆为半径为 3 的圆，所以曲线 C 的总长度必大于圆的周长 6，故错所以正确命题的序号为.答案：增分考点深度精研考 点 三 圆 锥 曲 线 的 几 何 性 质析母题 高 考 年 年 “神 ”相 似典例 (1)(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，x2a2 y2b2A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120 ，36则 C 的离心率为( )A. B.23 12C.
13、D.13 14(2)已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线与抛物线 y22 px(p0)的准线x2a2 y2b2分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点若双曲线的离心率为 ， AOB 的面积为 2，则 p( )5A2 B1C2 D33(3)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线与双x2a2 y2b2曲线的右支交于 A， B 两点，若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2(e 为双曲线离心率)的值为_解析 (1)如图，作 PB x 轴于点 B.由题意可设|F1F2| PF2|2，则 c1.由 F1F2P120 ，可得|PB|
14、，| BF2|1，故| AB| a11 a2，tan 3 PAB ，解得 a4，所以 e .|PB|AB| 3a 2 36 ca 14(2)不妨设 A 点在 B 点上方，由双曲线的离心率为 ，得 1 e25，解得 2，5b2a2 ba所以双曲线的两条渐近线方程为 y x2 x.又抛物线的准线方程为 x ，则交点的ba p2坐标为 A ， B ，所以| AB|2 p.由 AOB 的面积为 2，得 |AB| 2，即(p2， p) ( p2， p) 12 p262p 2，解得 p2，故选 A.12 p2(3)如图所示，因为|AF1| AF2|2 a，| BF1| BF2|2 a，| AF1| AF2
15、| BF2|，所以| BF2|2 a，| BF1|4 a.所以| AF1|2 a，2|AF2|2 a2 a.2因为| F1F2|2| AF1|2| AF2|2，所以(2 c)2(2 a)2(2 a2 a)2，2 2所以 e252 .2答案 (1)D (2)A (3)52 2练子题 高 考 年 年 “形 ”不 同1本例(3)若变为：已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过点x2a2 y2b2F2的直线与椭圆交于 A， B 两点，若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e2_.解析：设| F1F2|2 c，| AF1| m，因为 F1AB 是以 A 为直角顶点的
16、等腰直角三角形，所以| AB| AF1| m，| BF1| m.2由椭圆的定义可知 F1AB 的周长为 4a，所以 4a2 m m，即 m2(2 )a.2 2所以| AF2|2 a m(2 2) a.2因为| AF1|2| AF2|2| F1F2|2，所以 4(2 )2a24( 1) 2a24 c2，2 2所以 e296 .2答案：96 22本例(3)若变为： F1， F2为双曲线的两个焦点，点 A 在双曲线上，且 AF2F1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_解析：注意到| F2A| F1A|，不妨设| F2A| F1A|.因为 AF2F1为等腰直角三角形，则| F2A| F1F2| F1
17、A| 11.2所以 e 1.ca |F1F2|F2A| |F1A| 12 1 2答案： 123本例(3)中，若双曲线上存在一点 P，使得 ，求双曲线离心率的取值 sin PF1F2sin PF2F1 ac7范围解：如图所示，由Error!得| PF1| ，2acc a且| PF2| .2a2c a又由| PF1| a c，可得 a c，即2acc ae22 e10，解得 1 e 1，又因为 e1，所以双曲线离心率的取值范围为(1， 12 2 2解题方略1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a， b， c 的等量关系或不等关系，然后把
18、 b 用 a， c 代换，求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值ba ab利用渐近线方程设所求双曲线的方程多练强化1(2018全国卷)双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y x B y x2 3C y x D y x22 32解析：选 A e ，ca a2 b2a 3 a2 b23 a2， b a.2渐近线方程为 y x.22(2018阜阳模拟)已知 F1， F2是椭圆 1( a b0)的左、右两个焦点，若x2a2 y2b2椭圆上存在点 P 使得 P
19、F1 PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.55， 1) 22， 1)8C. D.(0，55 (0， 22解析：选 B F1， F2是椭圆 1( a0， b0)的左、右两个焦点，x2a2 y2b2 F1( c,0)， F2(c,0)， c2 a2 b2.设点 P(x， y)，由 PF1 PF2，得( x c， y)(x c， y)0，化简得 x2 y2 c2.联立方程组Error!整理得， x2(2 c2 a2) 0，解得 e .a2c2 22又 0 e1， e1.223以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点已知|AB|4 ，|
20、 DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4C6 D8解析：选 B 设抛物线的方程为 y22 px(p0)，圆的方程为 x2 y2 r2.| AB|4 ，| DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2不妨设 A ， D .(4p， 22) ( p2， 5)点 A ， D 在圆 x2 y2 r2上，(4p， 22) ( p2， 5)Error! 8 5， p4(负值舍去)16p2 p24 C 的焦点到准线的距离为 4.4(2018惠州调研)已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点，过其中y2a2 x2b2一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另
21、一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设 F1(0， c)， F2(0， c)，则过点 F1与渐近线 y x 平行的直线为 y x c，联立Error!ab ab解得Error! 即 M .因为点 M 在以线段 F1F2为直径的圆(bc2a， c2)x2 y2 c2内，故 2 20；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到2直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线
22、相切10 题型二 直线与圆锥曲线的弦长例 2 已知椭圆 C： y21( a1)， F1， F2分别是其左、右焦点，以 F1F2为直径x2a2的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，求线段 AB 长度的取值范围(14， 0)解 (1)因为以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，所以 b c1，即 a ，b2 c2 2所以椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点
23、，即直线 AB 的斜率存在且不为 0.设直线 AB的方程为 y k(x 1)，与 y2 1联立，得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0.x22设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段 AB 的中点为 M，则 x1 x2 ， x1x2 ， y1 y2 k(x11) k(x21) ，4k21 2k2 2k2 21 2k2 2k1 2k2即 M .(2k21 2k2， k1 2k2)所以线段 AB 的垂直平分线的方程为y ，k1 2k2 1k(x 2k21 2k2)设点 P(xP， yP)，令 y0，得 xP .k21 2k2因为 xP ，所以 0 k2 .(14， 0) 12|
24、AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 ( 4k21 2k2)2 42k2 21 2k2 .22 1 k21 2k2 2(1 11 2k2)因为 0 k2 ，所以 1 2，即 | AB|2 .12 32 11 2k2 322 2故线段 AB 长度的取值范围是 .(322， 22)11解题方略 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 y或 x 后得到一元二次方程，当 0 时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为 A(x1， y1)，B(x2， y2)，由根与系数的关系求出 x1 x2， x1x2或 y1 y2， y1y2
25、，则弦长| AB| 1 k2 |y1 y2| x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x21 1k2 1 1k2(k 为直线的斜率且 k0)，当 A， B 两点坐标易求时也可以直接用 y1 y2 2 4y1y2|AB| 求之 x1 x2 2 y1 y2 2多练强化已知点 M 在椭圆 G： 1( ab0)上，且点 M 到两焦点的距离之和为 4(22，233) x2a2 y2b2.3(1)求椭圆 G 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A， B 两点，以 AB 为底作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求 PAB 的面积解：(1)2 a4 ， a2 .3 3又点 M 在椭
26、圆上，(22，233) 1，解得 b24，23 43b2椭圆 G 的方程为 1.x212 y24(2)设直线 l 的方程为 y x m.由Error! 得 4x26 mx3 m2120. 设 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)(x10， b0)的离心率为 ，则点(4,0)x2a2 y2b2 2到 C 的渐近线的距离为( )A. B22C. D2322 2解析：选 D e ， 1.ca 1 b2a2 2 ba双曲线的渐近线方程为 xy0.点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d 2 .42 25已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线 l 与
27、 C 的左、右y28两支分别交于 A， B 两点，且| AF1| BF1|，则| AB|( )A2 B32C4 D2 12解析：选 C 设双曲线的实半轴长为 a，依题意可得 a1，由双曲线的定义可得|AF2| AF1|2 a2，| BF1| BF2|2 a2，又| AF1| BF1|，故| AF2| BF2|4，又|AB| AF2| BF2|，故| AB|4.6(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点若PF1 PF2，且 PF2F160 ，则 C 的离心率为( )A1 B232 3C. D. 13 12 3解析：选 D 在 Rt PF1F2中， PF2
28、F160 ，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距| F1F2|2，则| PF2|1，| PF1| ，3由椭圆的定义可知，方程 1 中，x2a2 y2b22a1 ，2 c2，得 a ， c1，31 3215所以离心率 e 1.ca 21 3 3二、填空题7已知双曲线 y21( a0)的渐近线方程为 y x，则其焦距为_x2a2 33解析：由渐近线方程 y x，可得 ，解得 a ，33 1a 33 3故 c 2，故焦距为 4. 3 2 1答案：48设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心
29、率为_解析：设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2由题意可知，直线 l 过焦点，且垂直于 x 轴，将 x c 代入双曲线方程，解得y ，b2a则| AB| ，由| AB|22 a，2b2a则 b22 a2，所以双曲线的离心率 e .ca 1 b2a2 3答案： 39已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x1，直线 l 与抛物线 C 交于 M， N 两点，若线段 MN 的中点为(1,1)，则直线 l 的方程为_解析：依题意易得抛物线的方程为 y24 x，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，因为线段 MN 的中点为(1,1)，故 x1 x22， y1 y22，则 x
30、1 x2，由Error!两式相减得y y 4( x1 x2)，所以 2，故直线 l 的方程为 y12( x1)，即21 2y1 y2x1 x2 4y1 y22x y10.答案：2 x y10三、解答题10(2018石家庄模拟)设 A， B 为曲线 C： y 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 2.x22(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线AB 的方程解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ， x1 x22，x212 x2216故直线 AB 的斜率
31、k 1.y1 y2x1 x2 x1 x22(2)由 y ，得 y x.x22设 M(x3， y3)，由题设知 x31，于是 M .(1，12)设直线 AB 的方程为 y x m，故线段 AB 的中点为 N(1,1 m)，| MN| .|m12|将 y x m 代入 y ，得 x22 x2 m0.x22由 48 m0，得 m ， x1,21 .12 1 2m从而| AB| |x1 x2|2 .2 2 1 2m由题设知| AB|2| MN|，即 ，解得 m ，2 1 2m |m12| 72所以直线 AB 的方程为 y x .7211(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F
32、 且斜率为 k(k0)的直线l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1 或 k1(舍去)4k2 4k2因此 l 的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的
33、垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!17因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.12已知直线 x ky30 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点，且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.(1)求椭圆 C 的标准方程(2)已知圆 O： x2 y21，直线 l： mx ny1，试证：当点 P(m， n)在椭圆 C 上运动时，直线 l 与圆 O 恒相交，并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 l 的取值范围解：(1)设椭圆 C 的方程为 1
34、( ab0)，x2a2 y2b2直线 x ky30 所经过的定点是(3,0)，即点 F(3,0)因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8，所以 a38， a5，所以 b25 23 216，所以椭圆 C 的方程为 1.x225 y216(2)因为点 P(m， n)在椭圆 C 上，所以 1，即 n216 .m225 n216 16m225又原点到直线 l： mx ny1 的距离 d 0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A， B 两点， D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 AB l，且 ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线
35、，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切解：(1) AB l，| AB|2 p.又| FD| p， S ABD p21. p1，故抛物线 C 的方程为 x22 y.18(2)证明：设直线 AB 的方程为 y kx ，p2由Error! 消去 y 得， x22 kpx p20. x1 x22 kp， x1x2 p2.其中 A ， B .(x1，x212p) (x2， x22p) M ， N .(kp， k2pp2) (kp， p2) kAN .x212p p2x1 kpx212p p2x1 x1 x22x21 p22px1 x22x21 x1x22px1 x22 x1p又 x22 py，即
36、y ， y .x22p xp抛物线 x22 py 在点 A 处的切线斜率 k .x1p直线 AN 与抛物线相切2(2018贵阳适应性考试)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 M 为短轴的上端点， 0，过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A， BMF1 MF2 两点，且| AB| .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G， H 两点若 k1， k2分别为直线 MH， MG 的斜率，求 k1 k2的值解：(1)由 0，得 b c.MF1 MF2 因为过 F2垂直于 x 轴的直线交椭圆
37、 C 于 A， B 两点，且| AB| ，所以 .2b2a 22又 a2 b2 c2，联立，解得 a22， b21，故椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)设直线 l 的方程为 y1 k(x2)，即 y kx2 k1，将 y kx2 k1 代入 y21，x22得(12 k2)x24 k(2k1) x8 k28 k0，19由题设可知 16 k(k2)0，设 G(x1， y1)， H(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，4k 2k 11 2k2 8k2 8k1 2k2k1 k2 2k 2ky1 1x1 y2 1x2 kx1 2k 2x1 kx2 2k 2x2 2k 2 4k 2k 1
38、1 2k28k2 8k1 2k2 (2k 1) 1，所以 k1 k21.3(2019 届高三唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中，长为 1 的线段的两端点2C， D 分别在 x 轴， y 轴上滑动， .记点 P 的轨迹为曲线 E.CP 2 PD (1)求曲线 E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A， B 两点， ，当点 M 在曲OM OA OB 线 E 上时，求直线 l 的方程解：(1)设 C(m,0)， D(0， n)， P(x， y)由 ，得( x m， y) ( x， n y)，CP 2 PD 2所以Error! 得Error!由| | 1，得 m2 n2
39、( 1) 2，CD 2 2所以( 1) 2x2 y2( 1) 2，2 2 1 22 2整理，得曲线 E 的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ，OM OA OB 知点 M 的坐标为( x1 x2， y1 y2)易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx1，代入曲线 E 的方程，得( k22)x22 kx10，则 x1 x2 ，2kk2 2所以 y1 y2 k(x1 x2)2 .4k2 2由点 M 在曲线 E 上，知( x1 x2)2 1， y1 y2 22即 1，解得 k22.4k2 k2 2 2 8 k2 2 220此时直线 l 的方
40、程为 y x1.24.如图，椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F，右顶点、上顶x2a2 y2b2点分别为点 A， B，且| AB| |BF|.52(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若点 M 在椭圆 C 的内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点， M 为线(1617， 217)段 PQ 的中点，且 OP OQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程解：(1)由已知| AB| |BF|，52得 a，a2 b252即 4a24 b25 a2,4a24( a2 c2)5 a2，所以 e .ca 32(2)由(1)知 a24 b2，所以椭圆 C 的方程可化为 1.x24b2 y2b2
41、设 P(x1， y1)，Q( x2， y2)，由 1， 1，x214b2 y21b2 x24b2 y2b2可得 0，x21 x24b2 y21 y2b2即 0， x1 x2 x1 x24b2 y1 y2 y1 y2b2即 (y1 y2)0，从而 kPQ 2， 3217 x1 x24 417 y1 y2x1 x2所以直线 l 的方程为 y 2 ，217 x ( 1617)即 2x y20.联立Error! 消去 y，得 17x232 x164 b20.则 32 21617( b24)0 b ，21717x1 x2 ， x1x2 .3217 16 4b217因为 OP OQ， 0，即 x1x2 y1y20，OP OQ 21x1x2(2 x12)(2 x22)0，5x1x24( x1 x2)40，从而 40，解得 b1，5 16 4b217 12817所以椭圆 C 的方程为 y21.x24综上，直线 l 的方程为 2x y20，椭圆 C 的方程为 y21.x24
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