1、1重点增分专题十三 统计、统计案例全国卷 3年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷2018统计图的识别与分析T 3折线图、线性回归方程模型问题T 18茎叶图的应用及独立性检验T 182017频率分布直方图、独立性检验T 18折线图的识别与分析T 3统计图表的识别与分析T 42016 折线图、相关性检验、线性回归方程及其应用T 18(1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在 34 题的位置(2)统计与统计案例在解答题中多出现在 18或 19题，多考查直方图、茎叶图及数字特征计算、统计案例的应用保分考点练后讲评考
2、点 一 抽 样 方 法1. 福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01,02,03，32,33 这简 单 随 机 抽 样 33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6个号码，选取方法是从第 1行第 9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为( )81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A12 B33C06 D16解析：选
3、C 被选中的红色球号码依次为 17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的红色球号码为 06，故选 C.2. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调分 层 抽 样 查的一共有 20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱 喜爱 一般 不喜欢4 800 7 200 6 400 1 6002电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选 100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A25,25,25,25 B48,72,64,16C20,40,30,10 D24,36,32,8解析：选 D 因为抽
4、样比为 ，10020 000 1200所以每类人中应抽选的人数分别为 4 800 24，7 200 36,6 1200 1200400 32, 1 600 8.故选 D.1200 12003. 某班共有学生 56人，学号依次为 1,2,3，56，现用系统抽样的方法系 统 抽 样 抽取一个容量为 4的样本，已知学号为 2,30,44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为_解析：由题意得，将 56人按学号从小到大分成 4组，则分段间隔为 14，所以抽取的学号依次为 2,16,30,44，故还有一位同学的学号为 16.答案：16解题方略 系统抽样和分层抽样中的计算(1)系统抽样总体容量为 N，
5、样本容量为 n，则要将总体均分成 n组，每组 个(有零头时要先去掉)Nn若第一组抽到编号为 k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k ， k( n1) .Nn Nn(2)分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比总体中各层的数量之比保分考点练后讲评考 点 二 用 样 本 估 计 总 体大稳定 常 规 角 度 考 双 基1. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20户家庭频 数 分 布 表 中 的 数 字 特 征 某月的用电量，如下表所示：用电量/度 120 140 160 180 200户数 2 3 5 8 2则这 20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( )A180
6、,170 B160,180C160,170 D180,1603解析：选 A 用电量为 180度的家庭最多，有 8户，故这 20户家庭该月用电量的众数是 180；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是 160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是 170.故选 A.2. 甲、乙两名同学在 7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其茎 叶 图 中 的 数 字 特 征 中甲同学成绩的众数是 85，乙同学成绩的中位数是 83，则成绩较稳定的是_.解析：根据众数及中位数的概念易得 x5， y3，故甲同学成绩的平均数为85，乙同学成绩的平均数为78 79 80 85 85 92 9678
7、5，故甲同学成绩的方差为 (49362549121)72 81 81 83 91 91 967 1740，乙同学成绩的方差为 (169161643636121) 40，故成绩较稳定17 3987的是甲答案：甲3. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物频 率 分 布 直 方 图 中 的 数 字 特 征 果实样本测量重量的数据(单位：克)，按照27.5,32.5)，32.5,37.5)，37.5,42.5)，42.5,47.5)，47.5,52.5分为 5组，其频率分布直方图如图所示(1)求图中 a的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值x作
8、代表)解：(1)由 5(0.0200.0400.075 a0.015)1，得 a0.050.(2)各组中点值和相应的频率依次为中点值 30 35 40 45 50频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075300.1350.2400.375450.25500.07540，xs2(10) 20.1(5) 20.20 20.3755 20.2510 20.07528.75.4解题方略1方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大2从频率分布直方图中得出有关数据的方法频率 频率
9、分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示 ，频率组距频 率组 距 频 率组 距频率比 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，各小长方形高的比也就是频率比众数 最高小长方形底边中点的横坐标中位数 平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标平均数 频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和小创新 变 换 角 度 考 迁 移1. 空气质量指数 AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空统 计 中 的 创 新 气污染状况越严重，空气质量越差某地环保部门统计了该地区 12月 1日至 12月 24日连续 24天的空气质量指数 AQI，根据得到的数据绘制出如图所
10、示的折线图则下列说法错误的是( )A该地区在 12月 2日空气质量最好B该地区在 12月 24日空气质量最差C该地区从 12月 7日到 12月 12日 AQI持续增大D该地区的空气质量指数 AQI与这段日期成负相关解析：选 D 12 月 2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A 正确；12 月 24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B 正确；12 月 7日到 12月 12日 AQI在持续增大，所以 C正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数 AQI整体呈上升趋势，所以空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误2. 为保障食品安全，某市质量监督局对某超市与 基 本 不 等 式 的 交 汇
11、进行食品安全检查，如图所示是某品牌食品中某元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为 11.75，则 的最小值为( )4a 1b5A9 B.92C3 D.73解析：选 C 根据茎叶图中的数据得，该组数据的平均数 (a111320 b)x1411.75， a b3， (a b) 52 (54)3.4a 1b 13(4a 1b) 13(5 4ba ab) 13 4baab 13当且仅当 a2 b，即 a2， b1 时取“” 的最小值为 3.故选 C.4a 1b3. 九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五借 助 数 学 文 化 考 查 百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出
12、关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问：各几何？”其意为：今有甲带了 560钱，乙带了 350钱，丙带了 180钱，三人一起出关，共需要交关税 100钱，依照钱的多少按比例出钱，则丙应出_钱(所得结果四舍五入，保留整数)解析：甲持 560钱，乙持 350钱，丙持 180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，丙应出100 16 17(钱)180560 350 180 56109答案：17增分考点广度拓展考 点 三 统 计 案 例分点研究 题型一 回归分析在实际问题中的应用例 1 某商店为了更好地规划某种商品的进货量，从某一年的销售数据中，随机抽取了 8组数据
13、作为研究对象，如下表所示( x为该商品的进货量， y为销售天数)：x/吨 2 3 4 5 6 8 9 11y/天 1 2 3 3 4 5 6 8(1)根据上表数据在如图所示的网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出 y关于 x的线性回归方程 x ；y b a (3)根据(2)中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品 24吨，预测需要销售的天6数参考公式和数据： ， .b ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 a y b x356， iyi241.8i 1x2i8i 1x解 (1)散点图如图所示：(2)依题意，得 (234568911)6，x18 (12334568)4，y
14、18又 356， iyi241，8i 1x2i8i 1x所以 ，b 8i 1xiyi 8x y8i 1x2i 8x2 241 864356 862 49684 6 ，a 4968 1134故线性回归方程为 x .y 4968 1134(3)由(2)知，当 x24 时， 24 17，y 4968 1134故若该商店一次性进货 24吨，则预计需要销售 17天解题方略 求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线 x 必经过样本点的中y b a 心( ， )快速选择x y7(2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤为： 题型二 独立性检验在实际问
15、题中的应用例 2 (2018全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由(2)求 40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过 m的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的
16、效率有差异？附： K2 ，n ad bc 2 a b c d a c b d解 (1)第二种生产方式的效率更高理由如下：()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 min，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 8min，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于 80 m
17、in；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于 80 min.因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7上的最多，关于茎 7大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高(以上给出了 4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)(2)由茎叶图知 m 80.79 812列联表如下：超过
18、m 不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15(3)因为 K2 106.635，所以有 99%的把握认为两种生产40 1515 55 220202020方式的效率有差异解题方略 独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成 22列联表；(2)根据公式 K2 (其中 n a b c d)计算出n ad bc 2 a b c d a c b dK2的观测值；(3)比较 K2的观测值与临界值的大小，作出统计推断多练强化1(2018全国卷)下图是某地区 2000年至 2016年环境基础设施投资额 y(单位：亿元)的折线图9为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变
19、量 t的两个线性回归模型根据 2000年至 2016年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2，17)建立模型： 30.413.5 t；根据 2010年至 2016年的数据(时间变量 t的值依次为y 1,2，7)建立模型： 9917.5 t.y (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解：(1)利用模型，可得该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1(亿元)y 利用模型，可得该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元)y (2)利用模型得
20、到的预测值更可靠理由如下：()从折线图可以看出，2000 年至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5 t上下，这说明利用 2000年至 2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010年至 2016年的数据建立的线性模型 9917.5 t可以较好地描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利y 用模型得到的预测值更可靠()从计算结果
21、看，相对于 2016年的环境基础设施投资额 220亿元，由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠(以上给出了 2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)2(2019 届高三湖北五校联考)通过随机询问 100名性别不同的大学生是否爱好某10项运动，得到如下 22列联表：男 女 总计爱好 40不爱好 25总计 45 100(1)将题中的 22列联表补充完整；(2)能否有 99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由附：P(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10
22、.828K2 .n ad bc 2 a b c d a c b d解：(1)题中的 22列联表补充如下：男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 15 25 40总计 55 45 100(2)由(1)表中数据得 K2 8.256.635，所以有 99%的100 4025 2015 255456040把握认为是否爱好该项运动与性别有关.概率与统计的综合问题 增分考点讲练冲关考 点 四典例 (2018福州质量检测)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取 200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为 Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：当 Z95 时，产品为正品；当 Z95时，产品为
23、次品公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利 90元；若是次品，则亏损 30元，记 为生产一件这种产品的利润，求随机变量 的分布列和数学期望；11(2)由频率分布直方图可以认为， Z服从正态分布 N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2近似为样本方差 s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)x利用该正态分布，求 P(87.8Z112.2)；某客户从该公司购买了 500件这种产品，记 X表示这 500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用的结果，求 E(X)附： 12.2.150若 Z N( ， 2)，则 P( Z )0.682 7.P( 2 Z 2
24、)0.954 5.解 (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.0330.0240.0080.002)100.67，所以随机变量 的分布列为 90 30P 0.67 0.33所以 E( )900.67(30)0.3350.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2分x别为700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02x100，s2(30) 20.02(20) 20.09(10)20.220 20.3310 20.2420 20.0830 20.02150.因为 Z N(100,150)，从而 P(87.
25、8Z112.2) P(10012.2 Z10012.2)0.682 7.由知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的概率为 0.682 7，依题意知 X B(500,0.682 7)，所以 E(X)5000.682 7341.35.解题方略 解决概率与统计综合问题的一般步骤12多练强化(2018郑州第一次质量测试)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于 12月 4日到 12月 31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各 200名员工 12月 5日到 12月 14日共 10天的低碳出行的人数，画出
26、茎叶图如图所示：(1)若甲单位数据的平均数是 122，求 x；(2)现从图中的数据中任取 4天的数据(甲、乙两个单位中各取 2天)，记抽取的 4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于 130的天数分别为 1， 2，令 1 2，求 的分布列和数学期望解：(1)由题意知105107113115119126(120 x)132134141122，110解得 x8.(2)由题得 1的所有可能取值为 0,1,2， 2的所有可能取值为 0,1,2，因为 1 2，所以随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于 130的天数为 3，乙单位低碳出行的人数不低于 130的天
27、数为 4，所以P( 0) ；C27C26C210C210 745P( 1) ；C17C13C26 C27C14C16C210C210 9122513P( 2) ；C23C26 C27C24 C17C13C16C14C210C210 13P( 3) ；C23C16C14 C17C13C24C210C210 22225P( 4) .C23C24C210C210 2225所以 的分布列为 0 1 2 3 4P 745 91225 13 22225 2225E( )0 1 2 3 4 .745 91225 13 22225 2225 75数学建模回归分析问题的求解典例 (2018汕头模拟)二手车经销商
28、小王对其所经营的 A型号二手汽车的使用年数 x与销售价格 y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数 x 2 3 4 5 6 7售价 y 20 12 8 6.4 4.4 3zln y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10下面是 z关于 x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 z与 x的关系，请用相关系数加以说明(2)求 y关于 x的回归方程并预测某辆 A型号二手车当使用年数为 9年时售价约为多少？( ， 小数点后保留两位有效数字)b a (3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于 7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号
29、二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？14参考公式：回归方程 x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：y b a ， .b ni 1 xi x yi yni 1 xi x 2ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 a y b xr .ni 1 xi x yi yni 1 xi x 2ni 1 yi y 2参考数据： iyi187.4， izi47.64， 139, 4.18, 6i 1x6i 1x6i 1x2i6i 1 xi x 213.96, 1.53，ln 1.460.38，ln 0.711 80.34.6i 1 yi y 26i 1 zi z 2解 (1)因为 (234567
30、)4.5，x16 (32.482.081.861.481.10)2，z16且 izi47.64, 4.18, 1.53，6i 1x6i 1 xi x 26i 1 zi z 2所以 r 0.99，6i 1 xi x zi z6i 1 xi x 26i 1 zi z 2 47.64 64.524.181.53所以 z与 x的相关系数大约为 0.99，说明 z与 x的线性相关程度很高(2)由已知，得 0.36，b 6i 1xizi 6 x z6i 1x2i 6x2 47.64 64.52139 64.52所以 20.364.53.62，a z b x15所以 z与 x的线性回归方程是 0.36 x3
31、.62.z 又 zln y，所以 y关于 x的回归方程是 e 0.36 x3.62 .y 令 x9，得 e 0.3693.62 1.46，y 即预测某辆 A型号二手车当使用年数为 9年时售价约 1.46万元(3)当 0.711 8 时，e 0.36 x3.62 0.711 8e ln 0.711 8e 0.34 ，y 所以0.36 x3.620.34，解得 x11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过 11年素养通路本题是典型的回归分析问题，在实际问题中收集数据，画散点图，可以用线性回归模型拟合变量关系，再用最小二乘法求出回归方程，进而用回归模型对实际问题进行预测，考查了数学建模这一核心素养
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