1、2 充分条件与必要条件,一,二,三,四,思考辨析,一、充分条件,名师点拨定义中pq,即如果具备了条件p,就可以保证结论q成立,所以p是q的充分条件;从集合的角度来认识充分条件,若p表示的集合为A,q表示的集合为B,pq,就有AB. 【做一做1】 “x5”是“x7”的 条件. 答案:充分,一,二,三,四,思考辨析,二、必要条件,名师点拨若pq,则称p是q的充分条件,同时,我们称q是p的必要条件,所谓必要,即q是p成立的必不可少的条件,缺其不可;从集合的角度来认识必要条件,若p表示的集合为A,q表示的集合为B,pq,就有AB. 【做一做2】 “ab=0”是“a=0”的 条件. 答案:必要,一,二,
2、三,四,思考辨析,三、充要条件 充要条件对于p和q,如果有pq,又有qp,那么,记作pq.这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件;同时,q既是p的充分条件,也是p的必要条件.我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.也称p与q是等价的 名师点拨如果pq,那么p与q互为充要条件,也可以说p与q是等价的;从集合的角度来认识充要条件,若p表示的集合为A,q表示的集合为B,pq,就有A=B.,一,二,三,四,思考辨析,【做一做3】 在ABC中“AB”是“sin Asin B”的 条件.,解析:在三角形中由大角对大边可知ABab,再结合正弦定理,Asin B;反之,仍然结合正弦定理及大边对大角可得出
3、sin Asin BAB.因此在ABC中,“AB”是“sin Asin B”的充要条件.,答案:充要,一,二,三,四,思考辨析,四、充分、必要条件的四种情形 设原命题为“若p,则q”,则其逆命题为“若q,则p”,得p与q的关系有以下四种情形:,一,二,三,四,思考辨析,名师点拨如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表:,一,二,三,四,思考辨析,【做一做4】 设点P(x,y),则“x=2,且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的 条件. 解析:将(2,-1)代入直线方程,符合方程,即“x=2且y=-1”可推出“点P在直线l:x+y-1=0上”;而点P在直线l
4、上,则点P不一定就是(2,-1)点,即“点P在直线l:x+y-1=0上”推不出“x=2且y=-1”.故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的充分而不必要条件. 答案:充分而不必要,一,二,三,四,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真. ( ) (2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件. ( ) (3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的. ( ) (4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,充分条件、必要条件和充要
5、条件的判断 【例1】 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件). (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; (2)p:x1,q:x21; (3)p:ABC有两个角相等,q:ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab0; (5)在ABC中,p:AB,q:BCAC; (6)p:a=3,q:(a+2)(a-3)=0; (7)p:a2,q:a5; (8)p:ab,q: 1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,思维点拨:判断p是q的什么条件,主要判断pq及qp两命题的真假,若pq为真,则p是q的充分条件;若qp为真,则p是q
6、的必要条件;若pq,则p是q的充要条件. 解:(1)因为pq,q p, 所以p是q的充分不必要条件. (2)因为pq,q p, 所以p是q的充分不必要条件. (3)因为p q,qp, 所以p是q的必要不充分条件. (4)因为当ab=0时,|ab|=ab, 所以“|ab|=ab”不能推出“ab0”,即p不能推出q. 而当ab0时,有|ab|=ab,即qp. 所以p是q的必要不充分条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(5)在ABC中,ABBCAC.所以p是q的充要条件. (6)a=3(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0 a=3.所以p是q的充分不必要条件. (7)a2 a5,
7、但a5a2,所以p是q的必要不充分条件.,反思感悟充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1.定义法:(1)分清命题的条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论. (2)找推式:判断“pq”及“qp”的真假. (3)根据推式及条件得出结论. 2.集合法:写出集合A=x|p(x)及B=x|q(x),利用集合间的包含关系进行判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1(1)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是( ),D.若xy,则x2y2 (2)“a=-2”是“直线l1:(a+1)x+y-2=0与直线l2:ax+(2a+2)y+1=0互相垂直”的( ) A.必要不充分条件 B.
8、充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:(1)B项中,x2=1x=1或x=-1;C项中,当x=yy2, 所以B,C,D中p不是q的充分条件. (2)由l1l2,得a(a+1)+2a+2=0,解得a=-1或a=-2,故选B. 答案:(1)A (2)B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,充分条件、必要条件的探求 【例2】已知集合M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0. (1)求实数a的取值范围,使它成为MP=x|5x8的充要条件; (2)求实数a的一个值,使它成为MP=x|5x8的一个充分但不必要条件. 思维点拨:(1)利用集合M和MP
9、,通过分析求得a的取值范围. (2)借助(1)的结论,根据充分但不必要条件所满足的关系,确定a的值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)由MP=x|5x8,得-3a5, 因此MP=x|5x8的充要条件是a|-3a5. (2)求实数a的一个值,使它成为MP=x|5x8的一个充分但不必要条件,就是在集合a|-3a5中取一个值,如取a=0,此时必有MP=x|5x8;反之,MP=x|5x8未必有a=0,故a=0是MP=x|5x8的一个充分不必要条件. 反思感悟解答本例(2)时,需借助(1)的结论,即求某一个结论的充分不必要条件或必要不充分条件时,一般是先求出这个结论的充要条件.成为MP=x|
10、5x8的一个充分不必要条件,从集合的包含关系来看,即为确定集合MP=x|5x8的一个真子集即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知p:xk,q: 1,如果q是p的必要不充分条件,那么k的取值范围是 .,因为q是p的必要不充分条件,所以k2.,答案:(2,+),探究一,探究二,探究三,思维辨析,充要条件的证明 【例3】 已知x,y都是非零实数,且xy,求证: 的充要条件是xy0. 思维点拨:充要条件的证明可用其定义,即条件结论且结论条件.如果每一步的推出都是等价的(),也可以把两个方面的证明合并在一起,用“”写出证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思
11、维辨析,反思感悟充要条件的证明方法 (1)定义法:分别证明充分性和必要性两个方面.在解题时要避免出现把充分性当必要性来证明的错误,这就需要先分清条件与结论,若从条件推出结论,就是充分性;若从结论推出条件,就是必要性. (2)等价法:就是从条件开始,逐步推出结论,或者从结论开始,逐步推出条件,但是每一步都是可逆的,即反过来也能推出,故必要性(或者充分性)也可以不再重复证明,仅作为说明即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 思维点拨:本题中ab0是前提.证明充要条件即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性
12、与充分性都成立. 证明:先证必要性:a+b=1,b=1-a, a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.必要性成立. 再证充分性:a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, (a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又ab0,a0,且b0,从而a2-ab+b20, a+b-1=0,即a+b=1,故充分性成立. 综上,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,误将“必要条件”充当“充要条
13、件”致误 【典例】 函数f(x)=(a+1)tan2x+3sin x+a2-3a-4为奇函数的充要条件是( ) A.a=4 B.a=-1 C.a=4或a=-1 D.aR 易错分析:由f(x)为奇函数,定义域中有0,一定有f(0)=0,但反过来,由f(0)=0不能说明f(x)为奇函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,该定义域关于原点对称. f(x)为奇函数且0A,f(0)=0,即a2-3a-4=0,a=4或a=-1. 当a=-1时,易证f(x)=3sin x(xA)是奇函数; 当a=4时,f(x)=5tan2x+3sin x(xA),f(x)=5tan2x+3sin x(xA)既不是奇函数也
14、不是偶函数,不合题意, a=4应舍去.故选B. 纠错心得运用必要条件探求充要条件时,一定要进行验证,千万不可以把“必要条件”充当“充要条件”.,1 2 3 4 5,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件,答案:A,1 2 3 4 5,2.已知,是两个不同的平面,直线a,直线b.命题p:a与b无公共点,命题q:,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: ,无公共点a,b无公共点,但a,b无公共点不能推出,无公共点,即不能推出,所以p是q的必要不充分条件. 答案:B,1 2 3 4 5,3.函数y=x2+bx+c,x0,+)是单调函数的充要条件是 .,答案:b0,1 2 3 4 5,4.设p: 1,q:(x-a)x-(a+1)0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .,由q,得B=x|axa+1. 又q是p的必要不充分条件,则AB,1 2 3 4 5,5.已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证:点P在直线l上,证明:必要性:设点P在直线l上, 则由共线向量基本定理知,点P在直线AB上,即点P在直线l上.,
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