2019高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数课件北师大版选修1_1.ppt

1、 3 计算导数 学 习 目 标 思 维 脉 络 1 . 能根据 导数的定义求几种常用函数的导数 , 并能熟练运用 . 在公式推导过程中注意创新思维的培养 . 2 . 掌握 基本初等函数的求导公式 , 并能利用这些公式求基本初等函数的导数 . 1.导数 (导函数 ) 对于函数 f(x)在区间上的每一点 x处 ,满足 : (1)导数 f(x)存在 ; 称 f(x)为 f(x)的 导函数 ,简称为 导数 . 名师点拨 导数与导函数都称为导数 ,这要加以区分 :求一个函数的导数 ,就是求导函数 ;求一个函数在给定点处的导数 ,就是求函数在某点处的导数值 .它们之间的关系是函数 y=f(x)在 x0处的

2、导数就是导函数 f(x)在 x0处的函数值 . ( 2 ) f ( x ) 是关于 x 的函数 , 且 f ( x ) = l im 0 f ( x + x ) - f ( x ) x , 【 做一做 1】 若 f(x)=2x2+3x+1,则f(x)= ,f(1)= ,f(-2)= . 解析 :y=f(x+x)-f(x)=2(x+x)2+3(x+x)+1-2x2-3x-1=2(x)2+4xx+3x, 当 x=1时 ,f(1)=7,当 x=-2时 ,f(-2)=-5. 答案 :4x+3 7 -5 f ( x ) = lim 0 y x = x 0 2 ( ) 2 + 4 + 3 = 4 x+ 3

3、 . 2.导数公式表 (其中三角函数的自变量单位是弧度 ) 名师点拨 由于根式函数可以转化为幂函数的形式 ,因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题 .一般地 ,对于函数 f ( x ) = ,有 f ( x ) = = ,从而 f ( x ) = ( ) = - 1 . 函 数 导函数 函 数 导函数 y = c ( c 是常数 ) y = 0 y= s i n x y = c os x y = x( 为实数 ) y = x - 1y= c os x y = - s i n x y = ax( a 0 , a 1 ) y = axl n a y= exy = exy= l og a

4、 x ( a 0 , a 1 ) y =1x ay= l n x y =1xy = t a n x y =1 2y= c ot x y = -1 2【做一做 2 】 ( 1 ) 若 f ( x ) =x5, 则 f ( x ) = . ( 2 ) 若 f ( x ) = c os x , 则 f 6= . ( 3 ) 若 f ( x ) =1, 则 f ( x ) = . ( 4 ) 若 f ( x ) = l n x , 则 f ( 3 ) = . 答案 : ( 1 ) 5 x 4 ( 2 ) - 12 ( 3 ) - 12 3 ( 4 ) 13 思考辨析 判断下列说法是否正确 ,正确的在后

5、面的括号内打“ ” ,错误的打“ ”. (1)若 f(x)=x3,则 f(1)=1.( ) 答案 :(1) (2) (3) (4) ( 2 ) 若 f ( x ) =1, 则 f ( x ) = l n x . ( ) ( 3 ) s i n6= c os6=32. ( ) ( 4 )( l n x ) =1. ( ) 探究一 探究二 【例 1】 已知直线 y=kx-4是曲线 y=x2的一条切线 ,求实数 k的值 . 分析 根据导函数的几何意义 ,曲线上某点处的导数值即为曲线在该点处的切线的斜率 . 探究一 利用定义求导数 解 f ( x ) = l i m 0( x + x )2- x2 x

6、= x 0( 2 x+ x ) = 2 x , 设切点坐标为 ( x 0 , y 0 ), 根据题意有 = 2 0 , 0 = 02 , 0 = 0 - 4 ,解得 k= 4 . 探究三 思维辨析 探究一 探究二 反思感悟 1.函数的导数与在点 x0处的导数不是同一概念 ,在点 x0处的导数是函数的导数在 x=x0处的函数值 . 2.求函数的导数共三个步骤 : (1)求函数的增量 x=f(x+x)-f(x); ( 2 ) 求平均变化率 = ( + ) - ( ) ; ( 3 ) 取极限并求极限值 ,导数 f ( x ) = l im 0f ( x + x ) - f ( x ) x . 探究三

7、 思维辨析 探究一 探究二 变式训练 1 求函数 f ( x ) = - 1 的导数 . 解 f ( x ) = l i m 0 y x= x 0-1 + - 1 = l i m 0 ( + ) = l i m 01 ( + )=1 2. 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究二 利用导数公式求导数 【例 2】 求出下列函数的导数 . 分析 分清函数类型 ,按求导公式求解 ,其中 (3)(4)要先变形 ,再利用公式 . 解 (1)y=(ex)=ex. (2)y=(10x)=10xln 10. (3)y=(x2x3)=(x5)=5x4. ( 1 ) y= e x ;( 2 ) y= 10 x ;

8、( 3 ) y = x 2 x 3 ;( 4 ) y= x 34 ;( 5 ) y= lo 12 x . ( 4 ) y= x 34= 34 , y = ( 34 ) =34-14 =34 x4. ( 5 ) y =1x 12. 探究三 思维辨析 探究一 探究二 反思感悟 利用求导公式求函数的导数的两个关注点 (1)解决函数的求导问题 ,要牢记求导公式 ,这是保证计算正确的前提 . (2)对较为复杂的函数应先利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形 ,如根式化成分数指数幂的形式等 . 探究三 思维辨析 探究一 探究二 变式训练 2 求下列函数的导数 . ( 1 ) y = x . ( 2 )

9、 y= x 35. ( 3 ) y= l og 2 x 2 - l og 2 x . ( 4 ) y= - 2s i nx21 - 2 2x4. 探究三 思维辨析 探究一 探究二 解 ( 1 ) y = ( x x ) = ( x32 ) =3212 =32 . ( 2 ) y = ( x35) = ( 35 ) =35-25 =35 x25. ( 3 ) y= l og 2 x2- l og 2 x= l og 2 x , y = ( l og 2 x ) =1x 2. ( 4 ) y= - 2s i nx21 - 2 2x4= 2s i nx22 2x4- 1 = 2s i nx2c os

10、x2= s i n x , y = ( s i n x ) = c os x . 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究三 导数的应用 【例 3 】 若曲线 y= -12 在点 ( a , -12 ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 18 , 求 a 的值 . 分析 先求切线方程 求切线的横纵截距 利用面积公式列方程求 a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 y = -12-32 ( x 0 ), 故在点 ( a , -12 ) 处的切线的斜率 k= -12-32 , 所以切线方程为 y - -12 = -12-32 ( x - a ), 易得切线在 x 轴、 y

11、轴上的截距分别为 3 a ,32-12 , 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=12 3 a 32-12 =9412 = 18 , a= 64 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟 导数的综合应用的解题策略 (1)导数在实际问题中的应用非常广泛 ,如运动物体在某一时刻的瞬时速度等 ,解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义 ,准确求出导数 . (2)利用基本初等函数的求导公式 ,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题 .解题的关键是正确确定切线的斜率 ,进而求出切点坐标 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 3已知函数 f(x)在 R上满足

12、 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程 . 解 由 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令 x=2-x,得 f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 即 2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4, 联立 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得 f(x)=x2, f(x)=2x,f(2)=4,即所求切线斜率为 4, 切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因记错公式导致求导失误 【典例】 给出下列结论 : (cos x)=sin x; 其中正确的有 . 易错

13、分析 此类问题出错的主要原因是基本初等函数的导数公式记忆有误 ,关键是不能熟练掌握和应用导数公式 ,故需加强记忆 ,求导问题先要对函数式进行合理变形 ,再套用求导公式求解 . s i n4= c os4; 若 y=1 2, 则 y = -1; -1=12 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 :因为 ( c o s x ) = - s i n x ,所以 错误 ; s i n4=22,而 22= 0 ,所以 错误 ; 1 2= ( x - 2 ) = - 2 x - 3 ,所以 错误 ; -1= ( - -12 ) =12-32 =12 ,所以 正确 . 答案 : 纠错心得 对于教材中出

14、现的基本初等函数的导数公式 ,要在解题过程中应用自如 ,必须做到以下两点 :一是理解 ,如 s i n4=22是常数 ,而常数的导数一定为零 ,就不会出现 s i n4= c o s4这样的错误结果 ;二是准确记忆 . 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 给出下列结论 : (3)若 f(x)=3x,则 f(1)=3. 其中正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 :C ( 1 ) 若 y= 1 3 , 则 y = - 3 4 . ( 2 ) 若 y= x3 , 则 y = 13 3 . 解析 : ( x3 ) = ( 13 ) = 13 - 23 = 13 1 2

15、3 ,所以 ( 2 ) 错 . ( 1 )( 3 )均正确 . 1 2 3 4 5 1 . y=1x 23的导数为 ( ) A .23x-13 B . 23 C . -23 D . -23-53 解析 : y = ( - 23 ) = - 23 - 53 . 答案 :D 1 2 3 4 5 2.观察 (x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可得 :若定义在 R上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数 ,则 g(-x)等于 ( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析 :观察上述式子 ,可知偶函数的导函数是

16、奇函数 ,因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数 ,所以 g(x)为奇函数 ,故 g(-x)=-g(x). 答案 :D 1 2 3 4 5 3 . 曲线 y= - s i n x 在点 3 , - 32 处的切线方程为 . 解析 : y= - s i n x , y = - c os x . 切线的斜率为 - c os3= -12. 切线方程为 y+32= -12 -3, 即 x+ 2 y+ 3 3= 0 . 答案 : x+ 2 y+ 3 3 = 0 1 2 3 4 5 4 . 函数 y = x 2 ( x 0 ) 的图像在点 ( a k , 2 ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标

17、为a k+ 1 , k 为正整数 , a 1 = 16 , 则 a n = . 解析 : f ( x ) = 2 x , f ( a k ) = 2 a k , 切线方程为 y - 2 = 2 ak ( x - a k ) . 令 y= 0 ,得 x=12a k , a k+ 1 =12a k . 又 a 1 = 16 , a n = 16 12 - 1= 12 - 5. 答案 : 12 - 5 1 2 3 4 5 5.求过点 Q(2,9)且与曲线 y=2x2+3相切的直线方程 . 解 点 Q(2,9)不在曲线上 ,故设过点 Q的切线的切点为 T(x0,y0), 由已知得 y=4x,则切线的斜率为 4x0, 即切线 QT的斜率为 4或 12, 过点 Q的切线方程为 y=4x+1或 y=12x-15. k QT = 0 - 9 0 - 2, 2 02 - 6 0 - 2= 4 x 0 , 2 02 - 8 x 0 + 6 = 0 ,解得 x 0 = 1 或 x 0 = 3 , XINZHI DAOXUE 新知导学 DANGTANG JIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页