2019高中数学第三章圆锥曲线与方程椭圆方程及性质的综合应用（习题课）课件北师大版选修2_1.ppt

1、习题课椭圆方程及性质的综合应用,一,二,一、焦点三角形问题,3.求解焦点三角形问题时,通常要利用椭圆的定义并结合正弦定理、余弦定理等知识进行求解.,一,二,二、直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆一共有三种位置关系:相交、相切、相离. 2.判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0与椭圆方程 (ab0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,记该方程的判别式为.那么:若0,则直线与椭圆相交;若=0,则直线与椭圆相切;若0,则直线与椭圆相离.,一,二,解析:由已知得a=2,b= ,c=1, 所以MF1F2的周长等于2a+2c=4+2=6. 答案:B,一,二,【做一

2、做2】 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( ),解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,这里c=1,a=2,故轨迹方程为 =1. 答案:C,一,二,【做一做3】 直线y=3x-1与椭圆 =1的公共点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个,得11x2-6x-7=0,所以0,故直线与椭圆相交,有2个公共点. 答案:C,一,二,【做一做4】 已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点,交椭

3、圆于A,B两点,则弦AB的长度等于 .,探究一,探究二,思想方法,与椭圆有关的轨迹问题 【例1】 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹. 思维点拨:根据动圆与圆C1,C2的位置关系,得到动圆圆心P满足的条件,即P与圆C1,C2的圆心的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.,探究一,探究二,思想方法,解:由条件,两圆半径分别是3和13,消去r,得|PC1|+|PC2|=16, 即点P到两定点C1,C2的距离之和为定值16. 又16|C1C2|=8, 所以点P的轨迹是椭圆.,探究一,探究

4、二,思想方法,反思感悟解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之和是否是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值大于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是椭圆(或椭圆的一部分).,探究一,探究二,思想方法,变式训练1设A(-2,0),B(2,0),ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程为 .,解析:由ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6|AB|=4. 根据椭圆的定义知,顶点C是在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=6,c=2, 所以

5、b2=a2-c2=5. 又因为A,B,C三点构成三角形, 所以点C不能在x轴上,探究一,探究二,思想方法,直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式的符号,建立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式,通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.,探究一,探究二,思想方法,(2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.,当m=0时,d

6、最大,此时直线方程为y=x.,探究一,探究二,思想方法,反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式的符号决定位置关系.同时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.,探究一,探究二,思想方法,变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点. (1)求线段AB的中点坐标; (2)求OAB的面积.,因为该一元二次方程的0,所以点A,B不同, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,探究一,探究二,思想方法

7、,探究一,探究二,思想方法,函数与方程思想椭圆中的最值问题 【典例】 如图,点A,B分别是椭圆 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF.(1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 分析:(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PAPF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.,探究一,探究二,思想方法,解:(1)由已知可得A(-6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),探究一,探究二,思

8、想方法,又-6m6,解得m=2. 设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,探究一,探究二,思想方法,方法点睛与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性,涉及数学知识的多种知识点,如几何、三角、函数等,亦与椭圆的定义、方程紧密联系,解决此类问题可利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理,另外应充分注意椭圆中x,y的范围,常可化为闭区间上的二次函数的最值来求解.,探究一,探究二,思想方法,(1)求椭圆C的标准方程;,探究一,探究二,思想方法,1 2 3 4 5,答案:C,1 2 3 4 5,答案:B,1 2 3 4 5,3.若点O和点F分别为椭圆 +y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的

9、任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析:依题意可得F(-1,0),设P(x,y), 则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2. 因为 +y2=1, 所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2, 故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2. 答案:B,1 2 3 4 5,的内切圆周长为,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 .,1 2 3 4 5,(1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.,(2)当lx轴时不合题意, 故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),1 2 3 4 5,